Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica

As Equações de Lotka-Volterra fornecem um modelo para a previsão de sistemas biológicos considerando diversas relações entre populações. Exploraremos no vigente trabalho a relação de competitividade. Dividiremos, para tanto, o trabalho em três partes principais, considerando duas e três populações, mostrando os gráficos de evolução temporal do número de indivíduos de cada espécie e os espaços de fase, e generalizando para N populações.

Equação de Fokker-Planck

${\frac {\partial P(x_{1},t)}{dt}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {x_{1}+\alpha _{12}x_{2}}{K_{2}}}\right)P(x_{1},t)\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}P(x_{1},t)}{\partial x_{1}^{2}}}$

Equações para Duas Populações

O modelo logístico utilizado para duas espécies disputando um território pode ser descrito pelo seguinte par de equações:

${\frac {dx_{1}}{dt}}=r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {\alpha _{12}x_{2}}{K_{1}}}\right)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=r_{2}x_{2}\left(1-{\frac {\alpha _{21}x_{1}}{K_{2}}}\right)$

com $x_{1}$ e $x_{2}$ sendo as duas populações consideradas, $r_{1}$ e $r_{2}$, o crescimento inerente per-capita, $K_{1}$ e $K_{2}$, a capacidade de carga e $\alpha _{12}$ e $\alpha _{21}$, o efeito que a espécie um tem na espécie dois e vice-versa.

Equações para Três Populações

${\frac {dx_{1}}{dt}}=r_{1}x_{1}\left(1-{\frac {\alpha _{12}x_{2}+\alpha _{13}x_{3}}{K_{1}}}\right)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=r_{2}x_{2}\left(1-{\frac {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{23}x_{3}}{K_{2}}}\right)$

${\frac {dx_{3}}{dt}}=r_{3}x_{3}\left(1-{\frac {\alpha _{31}x_{1}+\alpha _{32}x_{2}}{K_{1}}}\right)$

Equações para N Populações

${\frac {dx_{i}}{dt}}=r_{i}x_{i}\left(1-{\frac {\sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}x_{j}}{K_{i}}}\right)$