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| == A equação da onda == | | == [[Pêndulos Estocásticos]] == |
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| == Método FTCS == | | == [[Lançamento Oblíquo Estocástico]] == |
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| === Sobre estabilidade === | | == [[Equações de Lotka-Volterra Estocásticas]] == |
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| == Análise espectral == | | == [[Corda Vibrante]] == |
| Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear
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| === Supremacia da álgebra linear === | | == [[Equação de Ginzburg-Landau complexa]] == |
| O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{2\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{2\pi} \}_{f \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
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| <math>
| | == [[Equação de Dirac]] == |
| s(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega
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| </math>
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| E podemos extrair suas coordenadas (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base
| | == [[Equação de Schrödinger Unidimensional]] == |
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| | == [[Equação de Liouville-Bratu-Gelfand]] == |
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| <math>
| | == [[Equação de Lotka-Volterra Competitiva Estocástica]] == |
| \begin{aligned}
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| a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(\omega t)dt \\
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| b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}sen(\omega t)dt
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| \end{aligned}
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| </math>
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| Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math>
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| == Condição inicial para uma corda de violão == | |
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| == Notas ==
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| <references>
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| <ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{2\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que é desejável é a seguinte propriedade
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| <math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math>
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| que é safisteita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} = 1/\sqrt{2\pi} </math>
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| </ref>
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| </references>
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