Lançamento Oblíquo Estocástico: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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* <math>g</math> é a aceleração da gravidade
* <math>g</math> é a aceleração da gravidade
Para modelar o ruido produzido pela densidade abordamos dois regimes o primeiro considera a densidade constante ao longo da trajetoria e portanto sera trata como uma EDE com ruido aditivo com <math>B_(X(t),t)=\</math>


* <math>k</math> é o coeficiente de arrasto
* <math>k</math> é o coeficiente de arrasto

Edição das 11h33min de 17 de agosto de 2024

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial em uma direção que faz um angulo com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais e verticais

onde:

  • é a massa do projétil
  • é a aceleração da gravidade

Para modelar o ruido produzido pela densidade abordamos dois regimes o primeiro considera a densidade constante ao longo da trajetoria e portanto sera trata como uma EDE com ruido aditivo com Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle B_(X(t),t)=\}

  • é o coeficiente de arrasto

Introduzindo e podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados. A integração numérica por Euler é dirta a partir das relações a cima e nos da uma trajetoria para comparação quando adicionar o termo de ruido:

Utilizando as seguintes condições iniciais e podemos atualizar a posição

Equação diferencial estocástica

A equação diferencial estocástica a ser resolvida é:

Caso o termo for uma constante, exemplo em que a densidade do ar não muda significativamente, o ruído é dito aditivo. Então, a integração da equação é direta, resultando em:

onde é o incremento de Wiener, um processo estocástico com distribuição gaussiana de largura .

Entretanto, quando o termo depende do processo estocástico, o ruído é dito multiplicativo e devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis, etc se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

com o detalhe que o argumento de é, na realidade, cálculado na média de X entre os limites do intervalo de integração. Ou seja, ao escrever a equação em diferenças finitas, obtém-se:

Agora, é necessário explicitar na equação acima, porém, a dependência de não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento. Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por: