Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

$\nabla ^{2}\psi +\lambda e\psi$

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[(\frac{\partial u}{\partial x})^2 + \frac{\partial u}{\partial y})^2\right] <math> where f(z)=u+iv is an arbitrary analytic function with z=x+iy . In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for f(z) . If r2=x2+y2 , then Walker's solution is 8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2 where a is some finite radius. This solution decays at infinity for any n , but becomes infinite at the origin for n<1 , becomes finite at the origin for n=1 and becomes zero at the origin for n>1 . Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper. Radially symmetric forms If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in n dimension becomes ψ″+n−1rψ′+λeψ=0 where r is the distance from the origin. With the boundary conditions ψ′(0)=0,ψ(1)=0 and for λ≥0 , a real solution exists only for λ∈[0,λc] , where λc is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is λc=0.8785 for n=1 , λc=2 for n=2 and λc=3.32 for n=3 . For n=1, 2 , two solution exists and for 3≤n≤9 infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point λ=2(n−2) . For n≥10 , the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by λc=2(n−2) . Multiplicity of solution for n=3 was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all n by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren. The solution for n=1 that is valid in the range λ∈[0,0.8785] is given by ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)] where ψm=ψ(0) is related to λ as eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2). The solution for n=2 that is valid in the range λ∈[0,2] is given by ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2] where ψm=ψ(0) is related to λ as (λeψm+8)2−64eψm=0. </source><br /> == Método de Relaxação == Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty} ).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

${\frac {\partial \psi }{dt}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)$.

Onde $\alpha$ é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.