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| as componentes de <math>\Psi</math> representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: <math>\Phi_1</math> (<math>\Phi_2</math>) representa a função de onda do elétron com spin up (down), e <math>\Phi_3</math> (<math>\Phi_4</math>) representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto <math>\Psi(\boldsymbol{x},t)</math> é chamado de ''spinor''. | | as componentes de <math>\Psi</math> representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: <math>\Phi_1</math> (<math>\Phi_2</math>) representa a função de onda do elétron com spin up (down), e <math>\Phi_3</math> (<math>\Phi_4</math>) representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto <math>\Psi(\boldsymbol{x},t)</math> é chamado de ''spinor''. |
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| =Dedução da equação de Dirac em duas dimensões= | | =Dedução da equação de Dirac em uma e duas dimensões= |
| Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em duas dimensões, <math>x</math> e <math>y</math>. A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema. | | Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em uma e duas dimensões, <math>x</math> e <math>y</math>. A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema. |
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| ==Construção do Hamiltoniano completo== | | ==Construção do Hamiltoniano completo== |
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Linha 164: |
| \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial t} = -i(V + V_{sc} + 1) \Phi_1 -\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial x} + i\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial y} \\ | | \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial t} = -i(V + V_{sc} + 1) \Phi_1 -\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial x} + i\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial y} \\ |
| \dfrac{\partial \Phi_4}{\partial t} = -i(V - V_{sc} - 1) \Phi_4 -\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial x} - i\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial y} | | \dfrac{\partial \Phi_4}{\partial t} = -i(V - V_{sc} - 1) \Phi_4 -\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial x} - i\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial y} |
| | \end{cases} |
| | </math> |
| | </center> |
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| | Por fim, a equação em uma dimensão (<math>x</math>) é facilmente obtida: basta fazer <math>\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial y} = \dfrac{\partial \Phi_4}{\partial y} = 0</math> |
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| | <center> |
| | <math> |
| | \begin{cases} |
| | \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial t} = -i(V + V_{sc} + 1) \Phi_1 -\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial x} \\ |
| | \dfrac{\partial \Phi_4}{\partial t} = -i(V - V_{sc} - 1) \Phi_4 -\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial x} |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| </math> | | </math> |
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| </center> | | </center> |
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| =Método de Crank-Nicholson= | | =Método de Crank-Nicolson= |
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| O método de Crank-Nicholson(CN) consiste em uma média entre um método explícito e outro implícito no espaço. Utilizará-se a notação <math>\mathbf{\Phi^{n+1/2} _j}</math> para representar justamente a média entre ambos os métodos, ou seja: | | O método de Crank-Nicolson (CN) consiste em uma média entre um método explícito e outro implícito no espaço. Utilizar-se-á a notação <math>\mathbf{\Phi^{n+1/2} _j}</math> para representar justamente a média entre ambos os métodos, ou seja: |
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| <center> | | <center> |
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| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| V^{n+1/2} _j\mathbf{\Phi^{n+1/2} _j} = \frac{ V^{n+1} _j\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^{n} _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2}
| | V^{n+1/2} _j\mathbf{\Phi^{n+1/2} _j} = \frac{ V^{n+1} _j\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^{n} _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2} |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
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| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| i \delta_t \mathbf{\Phi^n _j} = [-i\sigma_1\delta_x + \sigma_3] \mathbf{\Phi^{n+1/2} _j} + [V^{n+1/2} _jI_2] \mathbf{\Phi^{n+1/2} _j}
| | i \delta_t \mathbf{\Phi^n _j} = [-i\sigma_1\delta_x + \sigma_3] \mathbf{\Phi^{n+1/2} _j} + [V^{n+1/2} _jI_2] \mathbf{\Phi^{n+1/2} _j} |
| </math> | | </math>, |
| </center> | | </center> |
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| Onde <math>\delta_t, \delta_x </math> são as discretizações explícitas das derivadas.
| | onde <math>\delta_t, \delta_x </math> são as discretizações explícitas das derivadas. |
| Para que seja possível aplicar e estudar o método é necessário passar da notação matricial para escalar: | | |
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| | Para que seja possível aplicar e estudar o método, é necessário passar da notação matricial para escalar: |
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| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| i \delta_t \mathbf{\Phi^n _j} = -i\sigma_1\delta_x(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}) + \sigma_3(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}) + I_2 (\frac{V^{n+1} _j \mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^n _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2}) | | i \delta_t \mathbf{\Phi^n _j} = -i\sigma_1\delta_x\left(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}\right) + \sigma_3\left(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}\right) + I_2 \left(\frac{V^{n+1} _j \mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^n _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2}\right) |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
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| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| i \frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} - \mathbf{\Phi^n _j}}{\Delta t} = -\frac{i}{2}\sigma_1[\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n+1} _{j-1}}}{2h} + \frac{\mathbf{\Phi^n _{j+1}} - \mathbf{\Phi^n _{j-1}}}{2h} ] + \sigma_3(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}) + I_2 (\frac{V^{n+1} _j \mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^n _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2}) | | i \frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} - \mathbf{\Phi^n _j}}{\Delta t} = -\frac{i}{2}\sigma_1\left[\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n+1} _{j-1}}}{2h} + \frac{\mathbf{\Phi^n _{j+1}} - \mathbf{\Phi^n _{j-1}}}{2h} \right] + \sigma_3\left(\frac{\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \mathbf{\Phi^n _j}}{2}\right) + I_2 \left(\frac{V^{n+1} _j \mathbf{\Phi^{n+1} _j} + V^n _j\mathbf{\Phi^n _j}}{2}\right) |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
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| Isolando cada tempo em um lado da igualdade: | | Isolando cada tempo em um lado da igualdade: |
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Linha 298: |
| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| [I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2]\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1[\mathbf{\Phi^{n+1} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n+1} _{j-1}}] = </math>
| | \left[I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2\right]\mathbf{\Phi^{n+1} _j} + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left[\mathbf{\Phi^{n+1} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n+1} _{j-1}}\right] = </math> |
| <math> | | <math> |
| [I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _j I_2]\mathbf{\Phi^{n} _j} - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1[\mathbf{\Phi^{n} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n} _{j-1}}] | | \left[I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _j I_2\right]\mathbf{\Phi^{n} _j} - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left[\mathbf{\Phi^{n} _{j+1}} - \mathbf{\Phi^{n} _{j-1}}\right] |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
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| Abrindo as matrizes <math>\sigma_1, \sigma_3</math> e <math>I_2</math> , e operando-as sobre o vetor <math>\mathbf{\Phi}</math> na equação tem-se: | | |
| | Abrindo as matrizes <math>\sigma_1, \sigma_3</math> e <math>I_2</math> e operando-as sobre o vetor <math>\mathbf{\Phi}</math> na equação, tem-se: |
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| <center> | | <center> |
Linha 320: |
Linha 335: |
| \psi^{n+1} _{1,j+1} - \psi^{n+1} _{1,j-1} \\ | | \psi^{n+1} _{1,j+1} - \psi^{n+1} _{1,j-1} \\ |
| \psi^{n+1} _{4,j+1} - \psi^{n+1} _{4,j-1} \\ | | \psi^{n+1} _{4,j+1} - \psi^{n+1} _{4,j-1} \\ |
| \end{bmatrix} = </math> | | \end{bmatrix} = |
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| <math>
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| \left(\begin{bmatrix} | | \left(\begin{bmatrix} |
| 1 & 0 \\ | | 1 & 0 \\ |
Linha 356: |
Linha 369: |
| </center> | | </center> |
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| Pode-se realizar as operações matriciais e escrever duas equações escalares. Para facilitar notação utilizará-se <math>f^n _j = \psi^n _{1,j}</math> e <math>g^n _j = \psi^n _{4,j}</math>: | | |
| | Pode-se realizar as operações matriciais e escrever duas equações escalares. Para facilitar a notação, utiliza-se <math>f^n _j = \psi^n _{1,j}</math> e <math>g^n _j = \psi^n _{4,j}</math>: |
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| <center> | | <center> |
Linha 367: |
Linha 381: |
| </center> | | </center> |
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| Tem-se então um número <math>n</math> de equações onde <math>n</math> é o número de elementos do espaço discretizado. Portanto o primeiro termo das duas equações gera uma matriz diagonal pois multiplica os termos espaciais dependentes de <math>x_j</math>, já o segundo termo gera uma matriz tridiagonal com diagonal principal nula. Nota-se que os primeiros termos dos dois lados da igualdade são um o conjugado do outro, define-se, portanto, <math>\alpha^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^{n+1} _j + 1)</math> e <math>\beta = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^{n+1} _j - 1)</math>. | | |
| | Tem-se então um número <math>n</math> de equações onde <math>n</math> é o número de elementos do espaço discretizado. Portanto o primeiro termo das duas equações gera uma matriz diagonal, pois multiplica os termos espaciais dependentes de <math>x_j</math>; já o segundo termo gera uma matriz tridiagonal com diagonal principal nula. Nota-se que os primeiros termos dos dois lados da igualdade são o conjugado um do outro: define-se, portanto, <math>\alpha^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^{n+1} _j + 1)</math> e <math>\beta = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^{n+1} _j - 1)</math>. |
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| <center> | | <center> |
Linha 383: |
Linha 398: |
| </center> | | </center> |
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| Considerando que o potencial V é só função da posição, escreve-se o método como: | | |
| | Considerando que o potencial <math>V</math> é só função da posição, escreve-se o método como: |
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| <center> | | <center> |
Linha 393: |
Linha 409: |
| \end{cases} | | \end{cases} |
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| </math> | | </math>, |
| </center> | | </center> |
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| Onde:
| | onde |
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| <center> | | <center> |
Linha 406: |
Linha 422: |
| \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | | \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |
| 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \alpha \\ | | 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \alpha \\ |
| \end{bmatrix}; | | \end{bmatrix}; \quad |
| B = \begin{bmatrix} | | B = \begin{bmatrix} |
| 0 & \frac{\Delta t}{4h} & 0 & \cdots & 0\\ | | 0 & \frac{\Delta t}{4h} & 0 & \cdots & 0\\ |
Linha 413: |
Linha 429: |
| \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ | | \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ |
| 0 & \cdots & \cdots & -\frac{\Delta t}{4h} & 0 \\ | | 0 & \cdots & \cdots & -\frac{\Delta t}{4h} & 0 \\ |
| \end{bmatrix}; | | \end{bmatrix}; \quad |
| C = \begin{bmatrix} | | C = \begin{bmatrix} |
| \beta & 0 & 0 & \cdots & 0\\ | | \beta & 0 & 0 & \cdots & 0\\ |
Linha 420: |
Linha 436: |
| \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | | \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |
| 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \beta \\ | | 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \beta \\ |
| \end{bmatrix}; | | \end{bmatrix} |
| </math> | | </math>. |
| </center> | | </center> |
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| Por fim, pode-se escrever o método resolvendo o sistema: | | Por fim, pode-se escrever o método resolvendo o sistema |
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| <center> | | <center> |
Linha 433: |
Linha 449: |
| g^{n+1} = J^{-1}G g^n - J^{-1}H f^n \\ | | g^{n+1} = J^{-1}G g^n - J^{-1}H f^n \\ |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| </math> | | </math>, |
| </center> | | </center> |
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| Onde <math>D = (B^{-1}A^* + C^{-1}B)</math>, <math>E = (I - C^{-1}C^*)</math>, <math>F = (B^{-1}A - C^{-1}B)</math>, <math>G = (A^{-1}A^* + I)</math>, <math>H = (A^{-1}B + B^{-1}C^*)</math> e <math>J= (A^{-1}B - B^{-1}C)</math>.
| | onde <math>D = (B^{-1}A^* + C^{-1}B)</math>, <math>E = (I - C^{-1}C^*)</math>, <math>F = (B^{-1}A - C^{-1}B)</math>, <math>G = (A^{-1}A^* + I)</math>, <math>H = (A^{-1}B + B^{-1}C^*)</math> e <math>J= (A^{-1}B - B^{-1}C)</math>. |
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| Com isso, condições iniciais e de contorno bem estabelecidas, já é possível aplicar o método, dado que todas essas matrizes dependem somente dos parâmetros do sistema.
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| =Estabilidade Crank-Nicholson= | | Com isso, e com condições iniciais e de contorno bem estabelecidas, já é possível aplicar o método, dado que todas essas matrizes dependem somente dos parâmetros do sistema. |
| Utilizará-se o método de Von-Neumann para analisar a estabilidade do método para a equação de Dirac unidimensional, para supõe-se que a função $\mathbf{\Phi^{n} _j}$ pode ser dada pela série de fourier:
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| | =Estabilidade Crank-Nicolson= |
| | Utilizar-se-á o método de von Neumann para analisar a estabilidade do método de Crank-Nicolson para a equação de Dirac unidimensional. Para tanto, supõe-se que a função <math>\mathbf{\Phi^{n} _j}</math> pode ser dada pela série de Fourier |
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| <center> | | <center> |
Linha 449: |
Linha 466: |
| </center> | | </center> |
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| Devido à indepêndencia linear de cada termo do somatório, ao substituir na equação do método haverá uma equação para cada ente do somatório. Se o módulo da razão $\frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}} \le 1$ então é pode-se dizer que o método estável, já que dessa forma garante-se uma não divergência. | | Devido à independência linear de cada termo do somatório, ao substituir na equação do método haverá uma equação para cada ente do somatório. Se <math>\left|\frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}}\right| \le 1</math>, então pode-se dizer que o método estável, já que dessa forma garante-se uma não divergência. |
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| Aplica-se um termo geral da série de índice $k$ no método CN para a equação de dirac 1D. | | Aplica-se um termo geral da série de índice <math>k</math> no método CN para a equação de Dirac 1D: |
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| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| [I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2]\mathbf{A}^{n+1}e^{ikqjh} + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\mathbf{A}^{n+1}[e^{ikq(j+1)h} - e^{ikq(j-1)h}] =</math> | | \left[I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2\right]\mathbf{A}^{n+1}e^{ikqjh} + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\mathbf{A}^{n+1}\left[e^{ikq(j+1)h} - e^{ikq(j-1)h}\right] = |
| <math>
| | \left[I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2\right]\mathbf{A}^{n}e^{ikqjh} - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\mathbf{A}^{n}\left[e^{ikq(j+1)h} - e^{ikq(j-1)h}\right] |
| [I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2]\mathbf{A}^{n}e^{ikqjh} - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\mathbf{A}^{n}[e^{ikq(j+1)h} - e^{ikq(j-1)h}] | |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
Linha 465: |
Linha 481: |
| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| [I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1(e^{ikqh} - e^{-ikqh}) ]\mathbf{A}^{n+1}=</math> | | \left[I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left(e^{ikqh} - e^{-ikqh}\right)\right]\mathbf{A}^{n+1}= |
| <math>
| | \left[I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left(e^{ikqh} - e^{-ikqh}\right)\right]\mathbf{A}^{n} |
| [I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1(e^{ikqh} - e^{-ikqh})]\mathbf{A}^{n} | |
| </math> | | </math> |
|
| |
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| <math> | | <math> |
| [I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1(\frac{\sin (kqh)}{2i}) ]\mathbf{A}^{n+1}= | | \left[I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 + \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2i}\right)\right]\mathbf{A}^{n+1}= |
| | \left[I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2i}\right)\right]\mathbf{A}^{n} |
| </math> | | </math> |
|
| |
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| <math> | | <math> |
| [I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 - \frac{\Delta t}{4h}\sigma_1(\frac{\sin (kqh)}{2i})]\mathbf{A}^{n}
| | \left[I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 - \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)\right]\mathbf{A}^{n+1}= |
| </math>
| | \left[I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 + \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)\right]\mathbf{A}^{n} |
| | |
| <math>
| |
| [I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 - \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1(\frac{\sin (kqh)}{2}) ]\mathbf{A}^{n+1}= | |
| </math>
| |
| | |
| <math>
| |
| [I_2 - \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 - \frac{i}{2}\Delta t V^{n} _jI_2 + \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1(\frac{\sin (kqh)}{2})]\mathbf{A}^{n} | |
| </math> | | </math> |
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| </center> | | </center> |
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| Nota-se que os termos que multiplicam o fator <math>\mathbf{A}</math> são o conjugado um do outro, define-se <math>z = I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 - \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1(\frac{\sin (kqh)}{2})</math>, dessa maneira: | | Nota-se que os termos que multiplicam o fator <math>\mathbf{A}</math> são o conjugado um do outro. Define-se <math>z = I_2 + \frac{i}{2}\Delta t\sigma_3 + \frac{i}{2}\Delta t V^{n+1} _j I_2 - \frac{i\Delta t}{4h}\sigma_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)</math>; dessa maneira: |
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| <center> | | <center> |
Linha 494: |
Linha 503: |
| \frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}} = \frac{z^*}{z} | | \frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}} = \frac{z^*}{z} |
| </math> | | </math> |
| | </center> |
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| | <center> |
| <math> | | <math> |
| |\frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}}| = |\frac{z^*}{z}| = \frac{|z^*|}{|z|} = 1 | | \left|\frac{\mathbf{A}^{n+1}}{\mathbf{A}^{n}}\right| = \left|\frac{z^*}{z}\right| = \frac{|z^*|}{|z|} = 1 |
| </math> | | </math>, |
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| </center> | | </center> |
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| Onde <math>z</math> é sempre diferente de zero, dado que a parte real é dada por uma matriz identidade constante.
| | onde <math>z</math> é sempre diferente de zero, visto que a parte real é dada por uma matriz identidade constante. |
| Mostra-se, portanto, que a razão entre os coeficientes da série de fourier nunca divergem, ou seja, o método é incondicionalmente estável.
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| | Mostra-se, portanto, que a razão entre os coeficientes da série de Fourier nunca diverge, ou seja, o método é incondicionalmente estável. |
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Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller
Introdução
A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin , como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.
A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.
Assim como a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:
onde, como anteriormente, os autovalores de correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.
A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:
Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.
Diferentemente da equação de Schrödinger, aqui não representa apenas uma função de onda, mas sim um conjunto de quatro delas. Usando a notação
,
as componentes de representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: () representa a função de onda do elétron com spin up (down), e () representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto é chamado de spinor.
Dedução da equação de Dirac em uma e duas dimensões
Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em uma e duas dimensões, e . A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema.
Construção do Hamiltoniano completo
Consideremos uma partícula sob ação de um potencial (onde ), que afeta a energia potencial da partícula, e de um potencial "escalar" , que afeta a massa de repouso da mesma. Seguindo uma das propostas possíveis para o Hamiltoniano, temos
onde ; e são matrizes 4x4 adimensionais e é o vetor momento linear da partícula.
Pode-se mostrar que e devem satisfazer certos vínculos, limitando as escolhas possíveis para essas matrizes. A escolha mais simples e usualmente adotada consiste em tomar
Sendo , podemos escrever o produto escalar como
Portanto, em notação matricial o Hamiltoniano pode ser escrito como
Unidades naturais e redução para duas dimensões
A fim de simplificar o formalismo, adotamos as chamadas "unidades naturais", onde . Note que isso equivale a reescalar as quantidades físicas do problema por um fator adequado. Ao fazer , também assumimos que a partícula está no limite relativístico.
Além disso, queremos estudar o problema em duas dimensões. Observamos que ; logo, . Portanto, temos o Hamiltoniano simplificado
Forma explícita final
Retornando ao problema original, queremos resolver
Novamente utilizando a notação matricial, obtemos
Realizando a multiplicação matricial, pode-se ver que se obtém dois sistemas acoplados: com e com . Escolhendo o sistema de com :
Simplificando e isolando a derivada temporal, obtemos por fim
Por fim, a equação em uma dimensão () é facilmente obtida: basta fazer
Discretização
A equação de Dirac 1D pode ser escrita, na forma matricial, como:
Onde e é matriz identidade de dimensão 2.\\
Para discretizar uma equação diferencial parcial como essa, é necessário discretizar o espaço e o tempo. Convenciona-se como um passo finito de tempo e como um passo finito no espaço, de tal forma que , onde são números inteiros. Define-se a notação e também . Discretiza-se as derivadas parciais explicitamente com uma expansão em série de taylor da própria função:
Considerando uma derivada discretizada e truncando na primeira ordem:
O processo é completamente análogo para a derivada espacial, porém para facilitar a aplicação do método mantém-se o espaço centrado em , em outras palavras faz-se uma expansão em torno de , obtendo:
Com isso, obtém-se uma equação para um método explícito no tempo da equação de Dirac 1D.
Pode-se também desenvolver um método implícito no tempo fazendo a expansão de em torno de , obtendo:
Ao aplicar esta aproximação na equação discretizada basta dar um passo a frente em todos os elementos, obtendo um método implícito no tempo, já que há dependência com .
Método de Crank-Nicolson
O método de Crank-Nicolson (CN) consiste em uma média entre um método explícito e outro implícito no espaço. Utilizar-se-á a notação para representar justamente a média entre ambos os métodos, ou seja:
Define-se a notação:
Dessa maneira, enuncia-se o método CN para a equação de Dirac 1D como:
,
onde são as discretizações explícitas das derivadas.
Para que seja possível aplicar e estudar o método, é necessário passar da notação matricial para escalar:
Isolando cada tempo em um lado da igualdade:
Abrindo as matrizes e e operando-as sobre o vetor na equação, tem-se:
Pode-se realizar as operações matriciais e escrever duas equações escalares. Para facilitar a notação, utiliza-se e :
Tem-se então um número de equações onde é o número de elementos do espaço discretizado. Portanto o primeiro termo das duas equações gera uma matriz diagonal, pois multiplica os termos espaciais dependentes de ; já o segundo termo gera uma matriz tridiagonal com diagonal principal nula. Nota-se que os primeiros termos dos dois lados da igualdade são o conjugado um do outro: define-se, portanto, e .
Considerando que o potencial é só função da posição, escreve-se o método como:
,
onde
.
Por fim, pode-se escrever o método resolvendo o sistema
,
onde , , , , e .
Com isso, e com condições iniciais e de contorno bem estabelecidas, já é possível aplicar o método, dado que todas essas matrizes dependem somente dos parâmetros do sistema.
Estabilidade Crank-Nicolson
Utilizar-se-á o método de von Neumann para analisar a estabilidade do método de Crank-Nicolson para a equação de Dirac unidimensional. Para tanto, supõe-se que a função pode ser dada pela série de Fourier
Devido à independência linear de cada termo do somatório, ao substituir na equação do método haverá uma equação para cada ente do somatório. Se , então pode-se dizer que o método estável, já que dessa forma garante-se uma não divergência.
Aplica-se um termo geral da série de índice no método CN para a equação de Dirac 1D:
Divide-se tudo por e isola-se :
Nota-se que os termos que multiplicam o fator são o conjugado um do outro. Define-se ; dessa maneira:
,
onde é sempre diferente de zero, visto que a parte real é dada por uma matriz identidade constante.
Mostra-se, portanto, que a razão entre os coeficientes da série de Fourier nunca diverge, ou seja, o método é incondicionalmente estável.
Referências
- The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London A, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
- SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
- BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.
- SOFF, G. et al. Solution of the Dirac Equation for Scalar Potentials and its Implications in Atomic Physics. Zeitschrift für Naturforschung A, v. 28, n. 9, p. 1389–1396, 1 set. 1973.
- THALLER, B. The Dirac equation. Berlin: Springer, 2010.