Equação de Dirac

Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin ${\frac {1}{2}}$, como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Assim como a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\boldsymbol {x}},t)=H\Psi ({\boldsymbol {x}},t)$

onde, como anteriormente, os autovalores de $H$ correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.

A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.

Diferentemente da equação de Schrödinger, aqui $\Psi ({\boldsymbol {x}},t)$ não representa apenas uma função de onda, mas sim um conjunto de quatro delas. Usando a notação

$\Psi ={\begin{bmatrix}\Phi _{1}\\\Phi _{2}\\\Phi _{3}\\\Phi _{4}\end{bmatrix}}$,

as componentes de $\Psi$ representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: $\Phi _{1}$ ($\Phi _{2}$) representa a função de onda do elétron com spin up (down), e $\Phi _{3}$ ($\Phi _{4}$) representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto $\Psi ({\boldsymbol {x}},t)$ é chamado de spinor.

Dedução da equação de Dirac em duas dimensões

Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em duas dimensões, $x$ e $y$. A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema.

Construção do Hamiltoniano completo

Consideremos uma partícula sob ação de um potencial $V({\boldsymbol {x}};t)$ (onde ${\boldsymbol {x}}=(x,y,z)^{T}$), que afeta a energia potencial da partícula, e de um potencial "escalar" $V_{sc}({\boldsymbol {x}};t)$, que afeta a massa de repouso da mesma. Seguindo uma das propostas possíveis para o Hamiltoniano, temos

$H=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {p}}+\beta (mc^{2}+V_{sc})+VI_{4}$

onde ${\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{x}{\hat {i}}+\alpha _{y}{\hat {j}}+\alpha _{z}{\hat {k}}$; $\alpha _{i}$ e $\beta$ são matrizes 4x4 adimensionais e ${\boldsymbol {p}}$ é o vetor momento linear da partícula.

Pode-se mostrar que ${\boldsymbol {\alpha }}$ e $\beta$ devem satisfazer certos vínculos, limitando as escolhas possíveis para essas matrizes. A escolha mais simples e usualmente adotada consiste em tomar

$\beta ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

$\alpha _{x}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{x}\\\sigma _{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

$\alpha _{y}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\\sigma _{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$

$\alpha _{z}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}$

Sendo ${\boldsymbol {p}}=-i\hbar \nabla$, podemos escrever o produto escalar ${\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {p}}$ como

${\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {p}}=-i\hbar \left(\alpha _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+\alpha _{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+\alpha _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

Portanto, em notação matricial o Hamiltoniano $H$ pode ser escrito como

$H=-i\hbar c{\begin{pmatrix}0&0&{\frac {\partial }{\partial z}}&{\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\\0&0&{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}&-{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}&{\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}&0&0\\{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}&-{\frac {\partial }{\partial z}}&0&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}V+mc^{2}+V_{sc}&0&0&0\\0&V+mc^{2}+V_{sc}&0&0\\0&0&V-mc^{2}-V_{sc}&0\\0&0&0&V-mc^{2}-V_{sc}\\\end{pmatrix}}$ $H={\begin{pmatrix}V+mc^{2}+V_{sc}&0&-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial z}}&-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar c{\frac {\partial }{\partial y}}\\0&V+mc^{2}+V_{sc}&-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar c{\frac {\partial }{\partial y}}&i\hbar c{\frac {\partial }{\partial z}}\\-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial z}}&-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar c{\frac {\partial }{\partial y}}&V-mc^{2}-V_{sc}&0\\-i\hbar c{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar c{\frac {\partial }{\partial y}}&i\hbar c{\frac {\partial }{\partial z}}&0&V-mc^{2}-V_{sc}\\\end{pmatrix}}$

Unidades naturais e redução para duas dimensões

A fim de simplificar o formalismo, adotamos as chamadas "unidades naturais", onde $\hbar =c=m=1$. Note que isso equivale a reescalar as quantidades físicas do problema por um fator adequado. Ao fazer $c=1$, também assumimos que a partícula está no limite relativístico.

Além disso, queremos estudar o problema em duas dimensões. Observamos que $\Psi (x,y,z)=\Psi (x,y)$; logo, ${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=0$. Portanto, temos o Hamiltoniano simplificado

$H={\begin{pmatrix}V+1+V_{sc}&0&0&-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\\0&V+1+V_{sc}&-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\0&-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial y}}&V-1-V_{sc}&0\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0&0&V-1-V_{sc}\\\end{pmatrix}}$

Forma explícita final

Retornando ao problema original, queremos resolver

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =H\Psi \to \left[iI_{4}{\frac {\partial }{\partial t}}-H\right]\Psi =0$

Novamente utilizando a notação matricial, obtemos

${\begin{pmatrix}i{\frac {\partial }{\partial t}}-V-V_{sc}-1&0&0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\0&i{\frac {\partial }{\partial t}}-V-V_{sc}-1&i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&i{\frac {\partial }{\partial t}}-V+V_{sc}+1&0\\i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial y}}&0&0&i{\frac {\partial }{\partial t}}-V+V_{sc}+1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Phi _{1}\\\Phi _{2}\\\Phi _{3}\\\Phi _{4}\end{pmatrix}}=0$

Realizando a multiplicação matricial, pode-se ver que se obtém dois sistemas acoplados: $\Phi _{1}$ com $\Phi _{4}$ e $\Phi _{2}$ com $\Phi _{3}$. Escolhendo o sistema de $\Phi _{1}$ com $\Phi _{4}$:

${\begin{cases}\left(i{\dfrac {\partial }{\partial t}}-V-V_{sc}-1\right)\Phi _{1}+\left(i{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)\Phi _{4}=0\\\left(i{\dfrac {\partial }{\partial x}}-{\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)\Phi _{1}+\left(i{\dfrac {\partial }{\partial t}}-V+V_{sc}+1\right)\Phi _{4}=0\end{cases}}$

Simplificando e isolando a derivada temporal, obtemos por fim

${\begin{cases}{\dfrac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}=-i(V+V_{sc}+1)\Phi _{1}-{\dfrac {\partial \Phi _{4}}{\partial x}}+i{\dfrac {\partial \Phi _{4}}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial \Phi _{4}}{\partial t}}=-i(V-V_{sc}-1)\Phi _{4}-{\dfrac {\partial \Phi _{1}}{\partial x}}-i{\dfrac {\partial \Phi _{1}}{\partial y}}\end{cases}}$

Referências

1. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
2. SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
3. BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.