Equação de Dirac: mudanças entre as edições
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Assim como para a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão: | Assim como para a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão: | ||
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i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle | i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle | ||
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onde, como anteriormente, os autovalores de <math>H</math> correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir. | onde, como anteriormente, os autovalores de <math>H</math> correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir. | ||
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A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula: | A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula: | ||
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E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 | E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 | ||
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Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total. | Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total. | ||
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Consideramos o Hamiltoniano | Consideramos o Hamiltoniano | ||
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H = c \boldsymbol{\alpha \cdot p} + \beta mc^2 | H = c \boldsymbol{\alpha \cdot p} + \beta mc^2 | ||
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onde <math>\boldsymbol{\alpha}</math> e <math>\beta</math> são matrizes adimensionais e <math>\boldsymbol{p}</math> é o vetor momento linear da partícula. | onde <math>\boldsymbol{\alpha}</math> e <math>\beta</math> são matrizes adimensionais e <math>\boldsymbol{p}</math> é o vetor momento linear da partícula. | ||
Edição das 21h02min de 22 de abril de 2024
Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller
Introdução
A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin , como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.
A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.
Assim como para a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:
onde, como anteriormente, os autovalores de correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.
A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:
Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.
Partícula livre
Consideramos o Hamiltoniano
onde e são matrizes adimensionais e é o vetor momento linear da partícula.
Partícula sob ação de um potencial
Método de Lax
Referências
- The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
- SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.