Equação de Liouville-Bratu-Gelfand: mudanças entre as edições

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<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>
<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>


Essa equação aparece em problemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Avalanche_t%C3%A9rmica Avalanche térmica], como na [https://en.wikipedia.org/wiki/Frank-Kamenetskii_theory# teoria de Frank-Kamenetskii], e na astrofísica, por exemplo, na [https://en.wikipedia.org/wiki/Emden%E2%80%93Chandrasekhar_equation equação Emden–Chandrasekhar]. Esta equação também pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.
Essa equação aparece em problemas de '''Avalanche térmica''', como na [[teoria de Frank-Kamenetskii]], e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.
 
== A solução de Liouville ==
 
Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como
 
<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>
 
onde <math>u=u(x)</math>, <math>v=v(x)</math>, e <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é
 
:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>
 
onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.
 
==Formas radialmente simétricas==
 
Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se
 
:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>
 
onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno
 
:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>
 
e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>
 
A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por
 
:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>
 
onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como
 
:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>
 
A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por
 
:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda  e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>
 
onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como
 
:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>
 
 
== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:
 
<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>
 
onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.
 
=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:
 
<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>
 
considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:
 
<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>
 
=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:
 
<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>
 
 
Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:
 
<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>
 
== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).
 
Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:
 
<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>
 
Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.
 
== Referências ==
 
# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Edição das 10h41min de 11 de julho de 2024

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

Essa equação aparece em problemas de Avalanche térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

onde , , e é uma função analítica arbitrária com . Em 1915, G.W. Walker[1] encontrou uma solução assumindo uma forma para . Se , então a solução de Walker é

onde é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer , mas vai ao infinito na origem , finito na origem para e vai a zero na origem para . Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

Formas radialmente simétricas

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em dimensões torna-se

onde é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

e para , uma solução real existe apenas para , onde é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é para , para e para . Para , existem duas soluções e para existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto . Para , a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por . A multiplicidade de soluções para foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.[2]

A solução para que é válida no intervalo é dada por

onde está relacionada a como

A solução para que é válida no intervalo é dada por

onde está relacionada a como


Método Crank-Nicolson

Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

onde .

Método Explícito FTCS

Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

considerando resulta em:

Método Implícito FTCS

Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:


Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

Método de Relaxação

Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente ().

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

.

Onde é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
  2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.
  1. Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
  2. Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.