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| == Equação de Liouville-bratu-Gelfand == | | == Equação de Liouville-bratu-Gelfand == |
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| Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma | | Na matemática, a '''Equação Liouville–Bratu–Gelfand''' ou '''Equação de Liouville''' é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma |
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| <center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center> | | <center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center> |
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| Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária. | | Essa equação aparece em problemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Avalanche_t%C3%A9rmica Avalanche térmica], como na [https://en.wikipedia.org/wiki/Frank-Kamenetskii_theory# teoria de Frank-Kamenetskii], e na astrofísica, por exemplo, na [https://en.wikipedia.org/wiki/Emden%E2%80%93Chandrasekhar_equation equação Emden–Chandrasekhar]. Esta equação também pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária. |
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| == A solução de Liouville ==
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| Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como
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| <math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>
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| onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é
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| :<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>
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| onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.
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| ==Formas radialmente simétricas==
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| Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se
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| :<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>
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| onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno
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| :<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>
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| e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>
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| A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por
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| :<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>
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| onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como
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| :<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>
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| A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por
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| :<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>
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| onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como
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| :<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>
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| == Método Crank-Nicolson ==
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| Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:
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| <center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>
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| onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.
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| === Método Explícito FTCS ===
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| Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:
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| <math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>
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| considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:
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| <math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>
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| === Método Implícito FTCS ===
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| Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:
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| <math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>
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| Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:
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| <center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>
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| == Método de Relaxação ==
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| Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).
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| Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:
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| <center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>
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| Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.
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| == Referências ==
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| # https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
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| # Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.
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