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Linha 74: |
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| Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos: | | Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos: |
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| <center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \frac{1}{2} \left( \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center> | | <center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \psi_{j,i}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center> |
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| == Método de Relaxação == | | == Método de Relaxação == |
Equação de Liouville-bratu-Gelfand
Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma
Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.
A solução de Liouville
Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como
onde
é uma função analítica arbitrária com
. Em 1915, G.W. Walker[1] encontrou uma solução assumindo uma forma para
. Se
, então a solução de Walker é
![{\displaystyle 8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e853e82bbdbff15a452395606d11cfa4be4ea2)
onde
é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer
, mas vai ao infinito na origem
, finito na origem para
e vai a zero na origem para
. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.
Formas radialmente simétricas
Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em
dimensões torna-se
![{\displaystyle \psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf516e97d7600e437003debbb95b4a6e641875bf)
onde
é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno
![{\displaystyle \psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd7804d05f51a257d2f01f7b473bb4d9edefe77)
e para
, uma solução real existe apenas para
, onde
é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é
para
,
para
e
para
. Para
, existem duas soluções e para
existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto
. Para
, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por
. A multiplicidade de soluções para
foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os
por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.[2]
A solução para
que é válida no intervalo
é dada por
![{\displaystyle \psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ff6a17fb73db3df274f504682c13c21cf1e0e2)
onde
está relacionada a
como
![{\displaystyle e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f136162e076022be66ca461b4e53dfc897843fd)
A solução para
que é válida no intervalo
é dada por
![{\displaystyle \psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302d6cd093d2eeb29b6139d999b2f1114b6c6514)
onde
está relacionada a
como
![{\displaystyle (\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fe6e6cb1a434f73cfd9bcae16d6d5e93fe4539)
Método Crank-Nicolson
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:
onde
.
Método Explícito FTCS
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:
considerando
resulta em:
Método Implícito FTCS
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:
Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:
Método de Relaxação
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (
).
Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:
.
Onde
é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.
Referências
- https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
- Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.