Equação de Ginzburg-Landau complexa

De Física Computacional
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A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

Em especial, para e , ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para e , ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

  • Ondas não lineares;
  • Transições de fase de segunda ordem;
  • Supercondutividade;
  • Superfluidez;
  • Condensado de Bose-Einstein.

Dedução

Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase

Define-se, então, a variável complexa , portanto a equação acima pode ser reescrita como

Ao realizar a transformação de variável , com , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear tal que

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações e , a função deve satisfazer

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir em potências de e até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de . As novas equações obtidas são

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar na equação, o que resulta na solução trivial e . Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de e de devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso e , pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se para , , com e . Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, , cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões:

para

Aplicamos o método da seguinte maneira:

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (), chegamos em :

Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.

Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

Soluções

Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].

A partir da variação dos parâmetros e temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:

  • Solução de onda plana
  • Líquido de vórtices
  • Vidro de vórtices
  • Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por , ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

Figura 11 -Estabilidade Liquidos de Vortices

Figura 12 -Estabilidade Vidro de Vortices

Figura 12 -Instabilidade Turbulencia

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de .

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por , demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.


Quando definimos as condições iniciais de onda plana e perturbamos a amplitude em , com , (Liquido de Vortices) do diagrama de fase em (figura 3) o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também percebemos a presença de defeitos no módulo de (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo ou muito proximo de zero na amplitude, nao se anularam pois os parametros e encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

Figura 4 -.Liquidos de VorticesFigura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde , , denominada Vidro de Vórtices, o padrão de espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam somente aos pares.

Figura 6 -.Vidro de VorticesFigura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude , à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.


Figura 8 -.Turbulencia de AmplitudeFigura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude


Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.

Figura 10 -.Estados congelados

Referências

[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications