Zeros de Funções - Histórico de revisão

Ejagnes: /* Iteração Simples */

2011-11-09T10:35:27Z

Iteração Simples

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	== Iteração Simples ==		== Iteração Simples ==

	~~[[Image:iterasimp.png\|right\|frame\|Método de iteração simples.\|200 px]]~~

	Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define		Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define
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	<math>x^*+\delta</math> com <math>\delta</math> muito pequeno. Se este for o caso, então o método de iteração simples não consegue encontrar a raiz		<math>x^*+\delta</math> com <math>\delta</math> muito pequeno. Se este for o caso, então o método de iteração simples não consegue encontrar a raiz
	<math>x^*</math>.		<math>x^*</math>.

			[[Image:iterasimp.png\|650px]]

	== Newton-Raphson ==		== Newton-Raphson ==

Ejagnes: /* Iteração Simples */

2011-11-09T10:33:16Z

Iteração Simples

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	== Iteração Simples ==		== Iteração Simples ==

			[[Image:iterasimp.png\|right\|frame\|Método de iteração simples.\|200 px]]

	Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define		Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define
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	<math>x^*+\delta</math> com <math>\delta</math> muito pequeno. Se este for o caso, então o método de iteração simples não consegue encontrar a raiz		<math>x^*+\delta</math> com <math>\delta</math> muito pequeno. Se este for o caso, então o método de iteração simples não consegue encontrar a raiz
	<math>x^*</math>.		<math>x^*</math>.

	~~[[Image:iterasimp.png\|right\|frame\|Método de iteração simples.]]~~

	== Newton-Raphson ==		== Newton-Raphson ==

Ejagnes: /* Iteração Simples */

2011-11-09T10:27:48Z

Iteração Simples

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	<math>x^*</math>.		<math>x^*</math>.

			[[Image:iterasimp.png\|right\|frame\|Método de iteração simples.]]

	== Newton-Raphson ==		== Newton-Raphson ==

Leon em 23h38min de 6 de novembro de 2011

2011-11-06T23:38:40Z

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	:<math>x = (-b +- \sqrt{b^2 - 4ac})/2a</math>		:<math>x = (-b +- \sqrt{b^2 - 4ac})/2a</math>

	~~Porem~~, quando a função é mais complicada, o problema de achar os zeros pode não ter (é o mais comum)		Porém, quando a função é mais complicada, o problema de achar os zeros pode não ter (é o mais comum)
	solução analítica.		solução analítica.

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	== Iteração Simples ==		== Iteração Simples ==

	Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar~~-se~~ o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define		Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define

	:<math> F(x) = f(x) + x,</math>		:<math> F(x) = f(x) + x,</math>

Ejagnes em 15h06min de 18 de outubro de 2011

2011-10-18T15:06:17Z

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-O problema aqui é encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com a função <math>f(x_i)</math>
 tenha o valor zero.
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 Porem, quando a função é mais complicada, o problema de achar os zeros pode não ter (é o mais comum)
 solução analítica.
 Vale notar que ao tratar dos ''zeros'' podemos generalizar o conceito para qualquer outro valor.
 Por exemplo, achar ''x'' tal que <math>f(x) = d</math> é equivalente a achar os zeros de <math>f(x)-d</math>.
-De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber de que valor da variável independente partiu.
+De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber a qual valor da  variável independente ele corresponde.
 Numericamente, temos três métodos usuais que serão descritos aqui, os métodos da Iteração Simples, Newton-Raphson e Método da Bisecção.
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 Itera-se a equação até atingir-se um valor fixo, ou seja, <math>x_{n+1} = x_n </math>.
-As duas principais destavantagens deste método devem-se ao fato de ele ser mais lento que demais métodos e quando utlizados para encontrar raízes "instáveis" de iteração. Para descobrir se haverá raizes instáveis de convergência, utilizamos a condição de convergência do método, perturbando a solução <math>x_{n+1} = x_n = x^*</math> e expandindo em série de Taylor:
+As duas principais destavantagens deste método devem-se ao fato de ele ser mais lento que demais métodos e por existir funções que apresentam raízes "instáveis" de iteração. Ou seja,  são raízes que este método não é capaz de encontrar.
 :<math>x^*+\delta = F(x^*+\delta) = F(x^*) + \frac{dF(x^*)}{dx}\delta+ ...</math>
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 :<math>\|\frac{dF(x^*)}{dx}\| \leqslant 1</math>
-o efeito da perturbação decai, indicando que a raíz <math>x^*</math> é estável por este método.
+o efeito da perturbação decai, indicando que a raíz <math>x^*</math> é estável por este método. Ao contrário, se expressão acima for maior do 1, isto implica que uma  pequena perturbação faria com que os valores da função se afastassem do valor de <math> F(x^*) </math> mesmo se estivéssemos calculando um valor da função em
 == Newton-Raphson ==
 O método de '''Newton-Raphson''' é um procedimento para encontrar zeros de funções de maneira iterativa, assim como o método da iteração simples. Partindo de um ponto qualquer da função vamos ao próximo ponto com deslocamento dado pela derivada no ponto inicial:
 :<math>f'(x_{n}) = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!</math>
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 e o processo é repetido até a precisão desejada.
 Note que numericamente não temos garantia de achar exatamente a raiz. Devemos fixar um <math>\epsilon</math>
-que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando
+que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando <math>|f(x)| < \epsilon</math> paramos a procura.
 Por outra parte o método não garante a convergência, isto é, pode acontecer que o processo entre num ciclo infinito
 pipocando de uma lado para outro da raiz, sem poder encontrar uma solução.
 == Programação ==

Ejagnes em 15h00min de 18 de outubro de 2011

2011-10-18T15:00:22Z

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Linha 1:		Linha 1:
	O problema aqui é encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com a função <math>f(x_i)</math>		O problema aqui é encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com a função <math>f(x_i)</math>
	tenha o valor zero.~~<br>~~		tenha o valor zero.

	Matematicamente pode ser formalizado assim:		Matematicamente pode ser formalizado assim:

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	De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber de que valor da variável independente partiu.		De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber de que valor da variável independente partiu.

	O método de Newton-Raphson é um procedimento para encontrar zeros de funções de maneira iterativa.~~<br>~~		Numericamente, temos três métodos usuais que serão descritos aqui, os métodos da Iteração Simples, Newton-Raphson e Método da Bisecção.
	Partindo de um ponto qualquer da função vamos ao próximo ponto com deslocamento dado pela derivada no ponto inicial:
			== Iteração Simples ==

			Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar-se o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define

			:<math> F(x) = f(x) + x,</math>
			assim
			:<math> F(x) = x \,\; para \,\; f(x) = 0.</math>

			Utilizamos a própria função para definir o valor de <math>x</math> nas iterações, tendo que existir um "chute" inicial para o valor <math>x_0</math>. Assim, a iteração pode ser definida como

			:<math> x_{n+1} = F(x_n) </math>.

			Itera-se a equação até atingir-se um valor fixo, ou seja, <math>x_{n+1} = x_n </math>.

			As duas principais destavantagens deste método devem-se ao fato de ele ser mais lento que demais métodos e quando utlizados para encontrar raízes "instáveis" de iteração. Para descobrir se haverá raizes instáveis de convergência, utilizamos a condição de convergência do método, perturbando a solução <math>x_{n+1} = x_n = x^*</math> e expandindo em série de Taylor:

			:<math>x^+\delta = F(x^+\delta) = F(x^) + \frac{dF(x^)}{dx}\delta+ ...</math>

			Note que para

			:<math>\\|\frac{dF(x^*)}{dx}\\| \leqslant 1</math>

			o efeito da perturbação decai, indicando que a raíz <math>x^*</math> é estável por este método.

			== Newton-Raphson ==

			O método de '''Newton-Raphson''' é um procedimento para encontrar zeros de funções de maneira iterativa, assim como o método da iteração simples. Partindo de um ponto qualquer da função vamos ao próximo ponto com deslocamento dado pela derivada no ponto inicial:

	:<math>f'(x_{n}) = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!</math>		:<math>f'(x_{n}) = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!</math>
Linha 36:		Linha 64:

	e o processo é repetido até a precisão desejada.		e o processo é repetido até a precisão desejada.
	~~Notar~~ que numericamente não temos garantia de achar exatamente a raiz. Devemos fixar um <math>\epsilon</math>		Note que numericamente não temos garantia de achar exatamente a raiz. Devemos fixar um <math>\epsilon</math>
	que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando		que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando
	<math>\|f(x)\| < \epsilon</math> paramos a procura.		<math>\|f(x)\| < \epsilon</math> paramos a procura.
Linha 55:		Linha 83:
	else		else
	x = x - f(x)/g(x)		x = x - f(x)/g(x)
	if (f(x) < eps) then		if (abs(f(x)) < eps) then
	print*, "~~zero de~~ f(x) ~~em x~~=", x		print*, "raiz em x=", x, "f(x)=", f(x)
	exit		exit
	endif		endif

Tekkito: Criou página com 'O problema aqui é encontrar os valores da variável independente $x_i$ que fazem com a função $f(x_i)$ tenha o valor zero.
Matematicamente pode ser f...'

2011-09-19T17:38:01Z

Criou página com 'O problema aqui é encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com a função <math>f(x_i)</math> tenha o valor zero.<br> Matematicamente pode ser f...'

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O problema aqui é encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com a função <math>f(x_i)</math>
tenha o valor zero.<br>
Matematicamente pode ser formalizado assim:

:<math>x : f(x) = 0\,</math>

Os ''zeros'' da função ''f'' são também chamados de ''raízes''.

Um exemplo simples é achar as raízes da função <math>1/(x + 1) - 2</math>.
A simplicidade vem do fato dessa função ter inversa, com o qual a solução pode ser encontrada isolando o x: <math>x = -1/2</math>
que é o zero dessa função ou equação.

Outro exemplo clássico são as raízes de uma parábola:

:<math>f(x)=ax^2+bx+c \,</math>

da qual existe uma expressão para as raízes (cuja programação é um dos exercícios):

:<math>x = (-b +- \sqrt{b^2 - 4ac})/2a</math>

Porem, quando a função é mais complicada, o problema de achar os zeros pode não ter (é o mais comum)
solução analítica.

Vale notar que ao tratar dos ''zeros'' podemos generalizar o conceito para qualquer outro valor.
Por exemplo, achar ''x'' tal que <math>f(x) = d</math> é equivalente a achar os zeros de <math>f(x)-d</math>.
De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber de que valor da variável independente partiu.

O método de Newton-Raphson é um procedimento para encontrar zeros de funções de maneira iterativa.<br>
Partindo de um ponto qualquer da função vamos ao próximo ponto com deslocamento dado pela derivada no ponto inicial:

:<math>f'(x_{n}) = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!</math>

Desta forma o próximo ponto está dado por:

:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\,\!</math>.

e o processo é repetido até a precisão desejada.
Notar que numericamente não temos garantia de achar exatamente a raiz. Devemos fixar um <math>\epsilon</math>
que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando
<math>|f(x)| < \epsilon</math> paramos a procura.

Por outra parte o método não garante a convergência, isto é, pode acontecer que o processo entre num ciclo infinito
pipocando de uma lado para outro da raiz, sem poder encontrar uma solução.

== Programação ==
Para programá-lo em FORTRAN o mais prático é definir como funções tanto a própria função como a sua derivada.
Sejam elas f(x) e g(x) respectivamente, o trecho de código com a implementação do método fica:

<pre>
...
x = x0
Do
if (g(x)==0) then
print*, "em x=", x, "a derivada é zero"
else
x = x - f(x)/g(x)
if (f(x) < eps) then
print*, "zero de f(x) em x=", x
exit
endif
endif
endo
...
</pre>

== Plano Complexo ==
O método pode ser estendido a funções f(z) onde z, e f(z) pertencem a C (domínio dos números complexos).
Dessa forma todas as raízes de um polinômio podem em princípio ser encontradas.
O método tem a mesma formulação teórica. Só muda o programa pois precisamos usar complexos.

<pre>
Complex f, z
Real x,y
Read*, x,y

z = CMPLX(x,y) ! função FORTRAN intrínseca para converter un par x,y de variáveis reais numa variável complexa
...

if (abs(f(z)<eps) print*, z

...
</pre>

Zeros de Funções - Histórico de revisão

Ejagnes: /* Iteração Simples */

Ejagnes: /* Iteração Simples */

Ejagnes: /* Iteração Simples */

Leon em 23h38min de 6 de novembro de 2011

Ejagnes em 15h06min de 18 de outubro de 2011

Ejagnes em 15h00min de 18 de outubro de 2011

Tekkito: Criou página com 'O problema aqui é encontrar os valores da variável independente x_i que fazem com a função f(x_i) tenha o valor zero. Matematicamente pode ser f...'

Tekkito: Criou página com 'O problema aqui é encontrar os valores da variável independente $x_i$ que fazem com a função $f(x_i)$ tenha o valor zero.
Matematicamente pode ser f...'