Trabalhos 2022-1 - Histórico de revisão

Andreburmeister: /* Fluido de Lennard-Jones em 2D */

2022-10-18T00:52:10Z

Fluido de Lennard-Jones em 2D

← Edição anterior		Edição das 00h52min de 18 de outubro de 2022
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	===[[~~Fluido~~ de Lennard-Jones ~~em 2D~~]] ===		===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===

	===[[Modelo de Potts - 2D]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

	===[[Amostragem de Wang-Landau]] ===		===[[Amostragem de Wang-Landau]] ===

Andreburmeister: /* Potencial de Lennard-Jones */

2022-10-18T00:51:44Z

Potencial de Lennard-Jones

← Edição anterior		Edição das 00h51min de 18 de outubro de 2022
Linha 1:		Linha 1:
	===[[~~Potencial~~ de Lennard-Jones]] ===		===[[Fluido de Lennard-Jones em 2D]] ===

	===[[Modelo de Potts - 2D]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

	===[[Amostragem de Wang-Landau]] ===		===[[Amostragem de Wang-Landau]] ===

Erickc em 13h39min de 17 de outubro de 2022

2022-10-17T13:39:48Z

← Edição anterior		Edição das 13h39min de 17 de outubro de 2022
Linha 2:		Linha 2:

	===[[Modelo de Potts - 2D]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

			===[[Amostragem de Wang-Landau]] ===

Gustavobopsin: Página substituída por '===Potencial de Lennard-Jones === ===Modelo de Potts - 2D ==='

2022-10-17T13:17:07Z

Página substituída por '===Potencial de Lennard-Jones === ===Modelo de Potts - 2D ==='

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	===[[Modelo de Potts - 2D]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

	Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Modelo de Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que depedem de <math>q</math>, onde <math>\theta_n = \frac{2\pi n}{q}</math> fornece as orientações possíveis para os spins. Os valores de <math>n</math> podem assumir os valores <math>n=0,1,2,...</math>$.

	~~O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como~~
	~~<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>~~
	onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e <math>\delta(s_i,s_j) </math> é a delta de Kronecker, definida como 0 se <math>s_i=s_j</math> e 1 se <math>s_i\neq s_j</math>.

	~~=Relação com o Modelo de Ising=~~

	~~O Modelo de Ising é obtido quando tomamos <math>q=2</math> na expressão para <math>\theta_n</math> e o Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva~~
	~~<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math>~~

	~~Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica~~
	~~<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{h_i}{\beta} s_i</math>~~

	~~=Algoritmo de Metropolis=~~

	~~Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.~~

	O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

	~~1. Inicialize~~
	~~a) Escolha um estado inicial <math>x_0</math>;~~
	~~b) Coloque <math>t=0</math>~~
	~~2. Itere~~
	~~a) Gere um estado candidato aleatório <math>x'</math> de acordo <math>g(x'\|x_t)</math>~~
	~~b) Calcule a probabilidade de aceitação <math>A(x',x_t) = min \left/(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \frac{g(x_t \| x'}{x'\|x_t} \right)</math>~~
	~~c) Aceite ou rejeite:~~
	~~1) Gere um número aleatório uniforme <math>u \in [0,1]</math>;~~
	~~2) E se <math>u\leq A(x',x_t)</math>, aceite o novo estado e defina <math>x_{t+1}=x'</math>;~~
	~~3) E se <math>u>A(x',x_t)</math>, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente <math>x_{t+1}=x_t</math>;~~
	~~4) Incremente: coloque t = t + 1~~

	~~Em nosso caso, a distribuição <math>\frac{A(x,x')}{A(x',x)}</math> é <math>e^{-\beta \Delta E}</math>, onde <math>\Delta E=E_{x'} - E_{x}</math>~~

	~~=Resultados=~~
	~~[[Arquivo: <arquivo> \|thumb\|right\|500px\| Simulação com o algoritmo de Metropolis para <math>T = 1K</math>.]]~~

	~~=Códigos utilizados=~~

	~~[[Metropolis - Potts 2D]]~~

	~~=Referências=~~
	~~D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.~~

	~~L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.~~

Gustavobopsin: /* Modelo de Potts - 2D */

2022-10-17T13:16:41Z

Modelo de Potts - 2D

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Linha 2:		Linha 2:

	===[[Modelo de Potts - 2D]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

			Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Modelo de Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que depedem de <math>q</math>, onde <math>\theta_n = \frac{2\pi n}{q}</math> fornece as orientações possíveis para os spins. Os valores de <math>n</math> podem assumir os valores <math>n=0,1,2,...</math>$.

			O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como
			<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>
			onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e <math>\delta(s_i,s_j) </math> é a delta de Kronecker, definida como 0 se <math>s_i=s_j</math> e 1 se <math>s_i\neq s_j</math>.

			=Relação com o Modelo de Ising=

			O Modelo de Ising é obtido quando tomamos <math>q=2</math> na expressão para <math>\theta_n</math> e o Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva
			<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math>

			Se incluírmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica
			<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) - \sum_i \frac{h_i}{\beta} s_i</math>

			=Algoritmo de Metropolis=

			Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

			O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

			1. Inicialize
			a) Escolha um estado inicial <math>x_0</math>;
			b) Coloque <math>t=0</math>
			2. Itere
			a) Gere um estado candidato aleatório <math>x'</math> de acordo <math>g(x'\|x_t)</math>
			b) Calcule a probabilidade de aceitação <math>A(x',x_t) = min \left/(1,\frac{P(x')}{P(x_t)} \frac{g(x_t \| x'}{x'\|x_t} \right)</math>
			c) Aceite ou rejeite:
			1) Gere um número aleatório uniforme <math>u \in [0,1]</math>;
			2) E se <math>u\leq A(x',x_t)</math>, aceite o novo estado e defina <math>x_{t+1}=x'</math>;
			3) E se <math>u>A(x',x_t)</math>, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente <math>x_{t+1}=x_t</math>;
			4) Incremente: coloque t = t + 1

			Em nosso caso, a distribuição <math>\frac{A(x,x')}{A(x',x)}</math> é <math>e^{-\beta \Delta E}</math>, onde <math>\Delta E=E_{x'} - E_{x}</math>

			=Resultados=
			[[Arquivo: <arquivo> \|thumb\|right\|500px\| Simulação com o algoritmo de Metropolis para <math>T = 1K</math>.]]

			=Códigos utilizados=

			[[Metropolis - Potts 2D]]

			=Referências=
			D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

			L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.

Gustavobopsin: /* Modelo de Pottss */

2022-10-10T16:41:09Z

Modelo de Pottss

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Linha 1:		Linha 1:
	===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===		===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===

	===[[Modelo de ~~Pottss~~]] ===		===[[Modelo de Potts - 2D]] ===

Gustavobopsin: /* Modelo de Potts */

2022-10-10T16:40:27Z

Modelo de Potts

← Edição anterior		Edição das 16h40min de 10 de outubro de 2022
Linha 1:		Linha 1:
	===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===		===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===

	===[[Modelo de ~~Potts~~]] ===		===[[Modelo de Pottss]] ===

Gustavobopsin em 16h38min de 10 de outubro de 2022

2022-10-10T16:38:48Z

← Edição anterior		Edição das 16h38min de 10 de outubro de 2022
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	===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===		===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===

			===[[Modelo de Potts]] ===

Andreburmeister: Criou página com '===Potencial de Lennard-Jones ==='

2022-10-10T16:34:53Z

Criou página com '===Potencial de Lennard-Jones ==='

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===[[Potencial de Lennard-Jones]] ===