Trabalhos 2022/2 - Histórico de revisão

Dzorrer: Desfeita a edição 9611 de Dzorrer (Discussão)

2023-04-18T18:56:17Z

Desfeita a edição 9611 de Dzorrer (Discussão)

← Edição anterior		Edição das 18h56min de 18 de abril de 2023
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	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===
	=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===		=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===
			=== [[ Modelo de Blume-Capel bidimensional ]] ===

Dzorrer: /* Modelo de Blume-Capel bidimensional */

2023-04-18T18:51:38Z

Modelo de Blume-Capel bidimensional

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	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===
	=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===		=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===
	~~=== [[ Modelo de Blume-Capel bidimensional ]] ===~~

Dzorrer em 16h12min de 18 de abril de 2023

2023-04-18T16:12:56Z

← Edição anterior		Edição das 16h12min de 18 de abril de 2023
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	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===
	=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===		=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===
			=== [[ Modelo de Blume-Capel bidimensional ]] ===

Gustavobopsin: /* Potencial de Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas */

2023-04-10T17:49:04Z

Potencial de Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas

← Edição anterior		Edição das 17h49min de 10 de abril de 2023
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	=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===		=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===
	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===
	=== [[ ~~Potencial de~~ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===		=== [[ Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===

Gustavobopsin em 17h48min de 10 de abril de 2023

2023-04-10T17:48:37Z

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	=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===		=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===
	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===
			=== [[ Potencial de Lennard-Jones e propriedades termodinâmicas ]] ===

Dzorrer: /* Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger */

2023-02-13T01:08:45Z

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

← Edição anterior		Edição das 01h08min de 13 de fevereiro de 2023
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	=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===		=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===
	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson ~~aplicados à Equação de Schrödinger~~]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson]] ===

Dzorrer: /* Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger */

2023-02-12T22:28:41Z

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

← Edição anterior		Edição das 22h28min de 12 de fevereiro de 2023
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	=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===		=== [[ Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática ]] ===
	=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger]] ===		=== [[Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger]] ===

	O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Dzorrer: /* Método de Crank-Nicolson */

2023-02-12T22:28:23Z

Método de Crank-Nicolson

Mostrar alterações

Dzorrer: /* Shooting Method */

2023-02-12T22:28:08Z

Shooting Method

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	O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.		O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

	~~==Shooting Method==~~
	Muitos métodos numéricos (e.g. Runge-Kutta, Forward Euler) requerem os valores da função e de sua derivada no ponto inicial. Acontece que podem haver problemas em que estes valores não estarão disponíveis, principalmente o valor da derivada em questão. Uma alternativa seria conjecturar o valor da condição inicial e integrar, através de um método apropriado, em direção à outra condição de contorno: um "chute" apropriado faria com que a integração evoluísse e retornasse um valor muito próximo, a depender da acurácia necessária, ao da condição de contorno. A ideia seria executar os seguintes passos:

	~~# Supor um valor para a condição de contorno desconhecida (e.g. <math>y(0)</math> ou <math>y'(0)</math>);~~
	~~# Integrar o problema através de um método conhecido até a próxima condição de contorno (e.g., <math>y(L)</math>);~~
	~~# Se o chute inicial não fez com que o sistema evoluísse até <math>y(L)</math>, então deve-se supor outro valor para a condição inicial e repetir o procedimento.~~

	O método descrito acima de forma simplificada recebe o nome, em inglês, de ''Shooting method'', o que em português seria algo como "Método do tiro" ou "Método do chute". Na próxima seção esse método será aplicado para o caso do poço infinito de potencial.

	~~===Poço de potencial infinito===~~
	~~Seja a equação <math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k\psi E</math>, onde <math>k=\frac{2m}{\hbar^2}</math>.~~

	~~Escrevendo com outra notação: <math>\ddot{\psi}=-k\psi E</math>.~~

	~~Dividindo o problema em <math>\Delta x </math>'s pequenos, pode-se reescrever a equação acima da seguinte forma:~~

	~~<center><math> \ddot{\psi}=\frac{\Delta \dot{\psi}}{\Delta x}=\frac{\dot{\psi_2}-\dot{\psi_1}}{\Delta x} \implies \dot{\psi_2}=\ddot{\psi} \Delta x + \dot{\psi_1}</math></center>.~~

	~~Também:~~
	~~<center><math>\dot{\psi}=\frac{\Delta \psi}{\Delta x}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\Delta x} \implies \psi_2 = \dot{\psi}\Delta x + \psi_1</math></center>.~~

	~~Além disso:~~
	~~<center><math>\Delta x = x_2-x_1 \implies x_2 = x_1 +\Delta{x}</math></center>.~~

	~~A integração, então, é realizada utilizando as relações 8, 9, 10 e 11, até que se atinja a borda do poço, isto é, <math>x=L</math>.~~

	Com a discretização acima, foi possível implementar o algoritmo. Das condições de contorno do problema, sabe-se que <math>\psi(0)=0</math>, de modo que <math>\psi_1=0</math>. No entanto, o valor da derivada <math>\dot{\psi_1}</math> não é conhecido, de modo que supõe-se que seja uma constante, a saber, <math>\dot{\psi_1}=1</math>. Chutando que <math>E=0</math>, utilizando a massa do elétron e <math>L=1</math>, obtém-se a primeira solução estacionária:
	~~[[Arquivo:n=1.png\|300px\|thumb\|center\|Solução estacionária (n=1)]]~~
	~~Pode-se observar que o valor de energia obtido numericamente é cerca de 4% menor do que aquele obtido analiticamente.~~

	~~Para o caso n=2:~~
	~~[[Arquivo:n=2.png\|300px\|thumb\|center\|Solução estacionária (n=2)]]~~
	~~Aqui, o valor obtido numericamente é aproximadamente 5% maior do que o valor obtido analiticamente.~~

	~~Para o caso n=3:~~
	~~[[Arquivo:n=3.png\|300px\|thumb\|center\|Solução estacionária (n=3)]]~~
	~~Para este caso, o valor numérico é cerca de 1% menor do que o valor analítico.~~

	==Método de Crank-Nicolson==		==Método de Crank-Nicolson==

Dzorrer: /* Poço de potencial infinito */

2023-02-12T22:27:36Z

Poço de potencial infinito

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	O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.		O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

	~~==Poço de potencial infinito==~~
	~~Esquematicamente, tem-se:~~
	~~[[Arquivo:Poço.png\|200px\|thumb\|center\|Poço de potencial infinito]]~~
	~~O potencial pode ser descrito como:~~
	~~<center><math>~~
	~~V(x) =~~
	~~\begin{cases}~~
	~~0, & \mbox{se } 0\leq x\leq L, \\~~
	~~\infty, & \mbox{de outra forma.}~~
	~~\end{cases}~~
	~~</math></center>~~

	~~Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira~~
	~~<center><math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi , </math></center>~~
	ou
	~~<center><math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2\psi,</math></center> onde <center><math>k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.</math></center>~~

	~~A solução é dada por~~
	~~<center><math>\psi(x)=Asen(kx)+Bcos(kx).</math></center>~~

	~~Aplicando as condições de contorno <math>\psi(0)=\psi(L)=0 </math> e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral~~
	~~<center><math>\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen\left(\frac{n\pi}{L}x\right), </math></center>~~

	~~cujas energias discretizadas são~~

	~~<center><math>E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.</math></center>~~

	Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são <math>E_1=0,376</math> eV, <math>E_2=1,504</math> eV e <math>E_3=3,384</math> eV.

	~~Na próxima seção será feita uma estimativa dos valores acima expostos através do "Shooting method".~~

	==Shooting Method==		==Shooting Method==