Teste conv - Histórico de revisão

Heitor em 12h53min de 19 de setembro de 2017

2017-09-19T12:53:05Z

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Linha 84:		Linha 84:

	<math>0 < k \leq \frac{1}{2}</math>		<math>0 < k \leq \frac{1}{2}</math>

			TESTE!!

Heitor em 21h54min de 12 de agosto de 2015

2015-08-12T21:54:50Z

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Linha 4:		Linha 4:
	\|}		\|}

	<math>f'(x)=\lim_{~~\Delta x~~\to ~~0}{f(x+~~\~~Delta x)-f(x)\over \Delta x~~} \~~frac~~{~~\partial~~}{~~\partial t} \int_{V~~}f(~~x,t~~) ~~= -~~\~~int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(~~x~~,t)dV~~</math>		:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

	<math> \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>		<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x^3}</math>

			<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x^2} </math>


			<math> x^3 </math>

			<math> x^2 </math>

			<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} </math>

			<math> S = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV </math>

	<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>		<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>

Heitor em 21h46min de 12 de agosto de 2015

2015-08-12T21:46:36Z

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Linha 1:		Linha 1:
	<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>		{\| style="width: 75%"
			\|-
			\|<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}</math> \|\| (Eq. 1)
			\|}

			<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>

			<math> \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>

	<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>		<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>

Heitor: Criou página com ' $\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV$ $\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (...'$

2015-08-12T18:22:15Z

Criou página com '<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math> <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (...'

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<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>

<math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>

<math>\int_{V} \left ( \frac{\partial}{\partial t}f(x,t) + \nabla \cdot \mathbf{J} - S(x,t) \right )dV = 0</math>

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{J} + S(x,t)</math>

Lei de Fick:

<math>\mathbf{J} = - D \;\nabla f</math>

Onde D é a constante de difusão.

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = - \nabla \cdot (D \; \nabla f) + S(x,t)</math>

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = D \; \nabla^2 f + S(x,t) + v \frac{\partial f}{\partial x}</math>

Equação da difusão:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = D \; \nabla^2 f</math>

Em uma dimensão:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}</math>

FTCS (Foward Time Central Space):

<math>\frac{\partial f}{\partial t} \rightarrow \frac{f(x,t+\Delta t) - f(x,t)}{\Delta t}</math>

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \rightarrow \frac{f(x,t+\Delta t) + f(x-\Delta x,t) - 2f(x,t)}{\Delta x^2}</math>

(Escrever a equação em termos numéricos...)

Teste de establilidade do método FTCS:

Um dos modos de Fourier da solução:

<math>f^{n}_{j} = A^n e^{i q j h}</math>

<math>h = \Delta x</math>

<math>f^{n+1}_{j} = A^{n+1} e^{i q j h}</math>

<math>f^{n}_{j+1} = A^{n} e^{i q (j+1) h}</math>

<math>f^{n}_{j-1} = A^{n} e^{i q (j-1) h}</math>

<math>A^{n+1} e^{i q j h} = k(A^{n} e^{i q (j+1) h} + A^{n} e^{i q (j-1) h} - 2A^n e^{i q j h}) + A^n e^{i q j h}</math>

<math>k = \frac{D \Delta t}{\Delta x^2}</math>

<math>\left | \frac{A^{n+1}}{A^n} \right | \leq 1</math>

<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = 1 + k(e^{iqh} + e^{-iqh} - 2)</math>

<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = 1 + 2k[cos(qh)-1]</math>

<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = 1 + 4k \; sen^2 \left(\frac{qh}{2}\right)</math>

<math>\xi = \left | \frac{A^{n+1}}{A^n} \right | = \left |1 + 4k \; sen^2 \left(\frac{qh}{2}\right)\right |</math>

Na pior hipótese, o seno quadrado é 1.

<math>\xi = |1 + 4k| \leq 1</math>

<math>0 < k \leq \frac{1}{2}</math>

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Heitor: Criou página com '\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (...'

Heitor: Criou página com ' $\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV$ $\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (...'$