Teste2 - Histórico de revisão

Heitor: /* Resolução Analítica */

2017-06-16T20:43:12Z

Resolução Analítica

@@ Linha 7: / Linha 7: @@
 Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math>
-<math>\begin{aligned}
+ggg
-como um lado só depende de x e o outro só depende de t.
+<math> hg  = h g </math>
-<math>\begin{aligned}
+<math>
-g = -k^2g \ &\to& \  g(t) = e^{-k^2t} \\
+hg^{\prime} = h^{\prime\prime} g \\
-h^{\prime\prime} + k^2 \, h = 0  &\to& \ h(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\end{aligned}</math>
+\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{h^{\prime\prime}}{h} </math>

Heitor: Criou página com '= Resolução Analítica = Equação da difusão ${\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}$ Separação de variáveis: $f(x,t) = h(...'$

2017-06-16T20:37:09Z

Criou página com '= Resolução Analítica = Equação da difusão <math>{\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}</math> Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(...'

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= Resolução Analítica =

Equação da difusão

<math>{\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}</math>

Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math>

<math>\begin{aligned}
hg^{\prime} &=& h^{\prime\prime} g \\
\frac{g^{\prime}}{g} &=& \frac{h^{\prime\prime}}{h} \end{aligned}</math>

como um lado só depende de x e o outro só depende de t.

<math>\begin{aligned}
g = -k^2g \ &\to& \ g(t) = e^{-k^2t} \\
h^{\prime\prime} + k^2 \, h = 0 &\to& \ h(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\end{aligned}</math>

A função

<math>\begin{aligned}
u(x,t) = e^{-k^2t} \sin(kx)\end{aligned}</math>

é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno <math>u(0,t) = 0</math> e <math>u(1,t) = 0 \Rightarrow k = m\pi</math>. Como qualquer uma das funções <math>\sin(m\pi x)</math> será solução, a sua superposição (linear) também o será<ref>A equação de difusão que estamos tratando é linear
</ref>:

<math>\begin{aligned}
u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} sen(m\pi x)\end{aligned}</math>

onde a condição inicial é dada por <math>u(x,0) = u^0(x)</math>. Se o intervalo em questão for de <math>0</math> até <math>L</math>, troca-se <math>m\pi</math> por <math>m\pi/L</math> com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:

<math>\begin{aligned}
{\left \{ \begin{matrix} u^0(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m sen(m\pi x) \\ a_m = 2\int_0^1 u^0(x) sen(m\pi x) dx \end{matrix} \right.}
%\end{equation}\end{aligned}</math>

'''Pergunta computacional prática: '''

* Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?

'''Teste da solução analítica: '''

<math>\begin{aligned}
u(x,t) &=& \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} \sin(\pi x) \\
{\partial u \over \partial t} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2 a_m . e^{-(m\pi)^2t}sen(kx) \\
{\partial u \over \partial x} &=& \sum_{m=1}^\infty m\pi a_m . e^{-(m\pi)^2t} cos(kx) \\
{\partial^2 u \over \partial x^2} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2a_m.e^{-(m\pi)^2t} \\
u(0,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(\pi 0) = 0 \\
u(1,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(m\pi) = 0 \mbox{ para } m=0,1,2,...\end{aligned}</math>

A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.

* Podes colocar algum exemplo de cálculo de <math>u^0(x)</math>

<references />

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Heitor: Criou página com '= Resolução Analítica = Equação da difusão {\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2} Separação de variáveis: f(x,t) = h(...'

Heitor: Criou página com '= Resolução Analítica = Equação da difusão ${\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}$ Separação de variáveis: $f(x,t) = h(...'$