Termostato de Nosé-Hoover - Histórico de revisão

Rafabel: /* Termostato de Nosé-Hoover */

2021-07-04T17:12:45Z

Termostato de Nosé-Hoover

← Edição anterior		Edição das 14h12min de 4 de julho de 2021
Linha 57:		Linha 57:
	<math> \dot \eta = p_\eta/Q </math>		<math> \dot \eta = p_\eta/Q </math>

	<math> \dot p_\eta = \sum_i \frac{\bold p_i^2}{m_i} - N_fk_BT <\math>		<math> \dot p_\eta = \sum_i \frac{\bold p_i^2}{m_i} - N_fk_BT </math>

	onde <math> \eta </math> agora são os termos relacionados à fricção do banho térmico.		onde <math> \eta </math> agora são os termos relacionados à fricção do banho térmico.

Rafabel em 17h11min de 4 de julho de 2021

2021-07-04T17:11:56Z

Mostrar alterações

Rafabel: /* Resultados */

2021-05-27T02:05:04Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 23h05min de 26 de maio de 2021
Linha 121:		Linha 121:
	Entretanto, o valor de <math> Q </math> não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de <math> Q </math>, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de <math> Q </math>. Isso é demonstrado nas figuras abaixo.		Entretanto, o valor de <math> Q </math> não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de <math> Q </math>, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de <math> Q </math>. Isso é demonstrado nas figuras abaixo.

	~~FIG 9~~		[[Arquivo:NH V Q01.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann utilizando <math> Q = 0.1 </math>.]]

	~~FIG 10~~		[[Arquivo:NH V Q1.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann utilizando <math> Q = 1.0 </math>.]]

			[[Arquivo:NH V 2Qs.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 8: Velocidade das partículas e distribuição de Maxwell-Boltzmann.]]

	== Programas Utilizados ==		== Programas Utilizados ==

Rafabel em 22h33min de 26 de maio de 2021

2021-05-26T22:33:27Z

← Edição anterior		Edição das 19h33min de 26 de maio de 2021
Linha 59:		Linha 59:
	<math> \dot \eta = \left(\sum_ip_i^2/m_i - L/\beta\right)/Q </math>		<math> \dot \eta = \left(\sum_ip_i^2/m_i - L/\beta\right)/Q </math>

	onde <math> \eta </math> agora é o termo relacionado a fricção do banho térmico.		onde <math> L = 3N </math>, referente aos graus de liberdade do sistema e <math> \eta </math> agora é o termo relacionado a fricção do banho térmico.

	=== Cadeias de Nose-Hoover ===		=== Cadeias de Nose-Hoover ===

Rafabel em 22h27min de 26 de maio de 2021

2021-05-26T22:27:21Z

← Edição anterior		Edição das 19h27min de 26 de maio de 2021
Linha 80:		Linha 80:

	Que serão as equações utilizadas para a este trabalho, utilizando <math> M=2 </math>.		Que serão as equações utilizadas para a este trabalho, utilizando <math> M=2 </math>.

			== Resultados ==

	=== Objetivos ===		=== Objetivos ===
Linha 86:		Linha 88:

	Serão feitos gráficos da temperatura ao longo do tempo de simulação, onde será possível observar as flutuações que ocorrem no sistema, além de um gráfico para mostrar a depedência da velocidade das partículas de acordo com o <math> Q </math> escolhido.		Serão feitos gráficos da temperatura ao longo do tempo de simulação, onde será possível observar as flutuações que ocorrem no sistema, além de um gráfico para mostrar a depedência da velocidade das partículas de acordo com o <math> Q </math> escolhido.

	~~== Resultados ==~~

	=== Temperatura constante ===		=== Temperatura constante ===

Rafabel: /* Resultados */

2021-05-26T22:26:35Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 19h26min de 26 de maio de 2021
Linha 88:		Linha 88:

	== Resultados ==		== Resultados ==

			=== Temperatura constante ===

	Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.		Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.
Linha 101:		Linha 103:
	[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Evolução da temperatura durante a simulação.]]		[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Evolução da temperatura durante a simulação.]]

			=== Salto de temperatura ===

	Abaixo são demonstradas situações onde houve um salto da temperatura de <math> T = 1.0 </math> para <math> T = 1.5 </math> a partir do passo <math> 12000 </math> (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando os mesmos três diferentes valores da variável referente a inércia do banho térmico do exemplo acima.		Abaixo são demonstradas situações onde houve um salto da temperatura de <math> T = 1.0 </math> para <math> T = 1.5 </math> a partir do passo <math> 12000 </math> (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando os mesmos três diferentes valores da variável referente a inércia do banho térmico do exemplo acima.

Rafabel em 22h14min de 26 de maio de 2021

2021-05-26T22:14:00Z

← Edição anterior		Edição das 19h14min de 26 de maio de 2021
Linha 91:		Linha 91:
	Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.		Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.

	[[Arquivo:NH Q01 cte.jpeg\|~~500px~~\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]		[[Arquivo:NH Q01 cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

	[[Arquivo:NH Q1 cte.jpeg\|~~500px~~\|center\|thumb\|Figura 2: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]		[[Arquivo:NH Q1 cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 2: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

	[[Arquivo:NH Q10 cte.jpeg\|~~500px~~\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]		[[Arquivo:NH Q10 cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

	Na figura 4 vemos, diretamente, a diferença causada pelos diferentes valores de <math> Q </math>. Para um <math> Q </math> baixo, existem oscilações pouco intensas mas de maior frequência, para um <math> Q </math> alto o sistema tende para a temperatura desejada sem muitas oscilações. O comportamento do <math> Q </math> intermediário se encontra entre os dois valores de <math> Q </math> testados.		Na figura 4 vemos, diretamente, a diferença causada pelos diferentes valores de <math> Q </math>. Para um <math> Q </math> baixo, existem oscilações pouco intensas mas de maior frequência, para um <math> Q </math> alto o sistema tende para a temperatura desejada sem muitas oscilações. O comportamento do <math> Q </math> intermediário se encontra entre os dois valores de <math> Q </math> testados.

Rafabel em 22h13min de 26 de maio de 2021

2021-05-26T22:13:15Z

← Edição anterior		Edição das 19h13min de 26 de maio de 2021
Linha 89:		Linha 89:
	== Resultados ==		== Resultados ==

	Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação, conforme visto ~~no primeiro gráfico~~. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.		Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação utilizando três diferentes valores para a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto"), conforme visto nas figuras 1, 2 e 3. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.

			[[Arquivo:NH Q01 cte.jpeg\|500px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

			[[Arquivo:NH Q1 cte.jpeg\|500px\|center\|thumb\|Figura 2: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

	[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|~~800px~~\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação.]]		[[Arquivo:NH Q10 cte.jpeg\|500px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com <math> Q = 0.1 </math>.]]

			Na figura 4 vemos, diretamente, a diferença causada pelos diferentes valores de <math> Q </math>. Para um <math> Q </math> baixo, existem oscilações pouco intensas mas de maior frequência, para um <math> Q </math> alto o sistema tende para a temperatura desejada sem muitas oscilações. O comportamento do <math> Q </math> intermediário se encontra entre os dois valores de <math> Q </math> testados.

	~~Abaixo são demonstradas situações onde houve um salto da temperatura de <math>~~ T ~~= 1~~.0 </math> para <math> T = 1.5 </math> a partir do passo <math> 12000 </math> (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando três diferentes valores da ~~variável referente~~ a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo"), <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto").		[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Evolução da temperatura durante a simulação.]]

	~~[[Arquivo:NH Q01.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 2: Evolução da temperatura para um sistema com <math> Q = 0.1 </math> com salto para <math> T = 1.5 </math>]]~~

	~~[[Arquivo:NH Q1.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução~~ da temperatura ~~para um sistema com~~ <math> Q = 1.0 </math> ~~com salto~~ para <math> T = 1.5 </math>]]		Abaixo são demonstradas situações onde houve um salto da temperatura de <math> T = 1.0 </math> para <math> T = 1.5 </math> a partir do passo <math> 12000 </math> (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando os mesmos três diferentes valores da variável referente a inércia do banho térmico do exemplo acima.

	[[Arquivo:NH ~~Q10~~.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Evolução da temperatura para um sistema com <math> Q = 10.0 </math> com salto para <math> T = 1.5 </math>]]		[[Arquivo:NH Q01.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura para um sistema com <math> Q = 0.1 </math> com salto para <math> T = 1.5 </math>]]

			[[Arquivo:NH Q1.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução da temperatura para um sistema com <math> Q = 1.0 </math> com salto para <math> T = 1.5 </math>]]

	~~O que nota-se neste resultado, e que fica mais claro na imagem a seguir, é que~~ para um ~~valor de <math> Q </math> baixo, ou seja, baixa inércia térmica, a temperatura do~~ sistema ~~possui muitas oscilações quando acontece o pulo, logo o sistema demora mais para se estabilizar, entretanto, quando estabilizado as oscilações são menores do que para valores de~~ <math> Q ~~</math> maiores~~. ~~Para um <math> Q~~ </math> ~~alto, a temperatura não oscila depois do pulo, tendendo rapidamente para o valor desejado, entretanto, possuindo oscilações maiores do que~~ para um <math> ~~Q </math> baixo~~. ~~O resultado de <math> Q~~ </math> ~~intermediário apresenta um comportamento entre os outros dois resultados, apresentando oscilações após o pulo, mas rapidamente tendendo para o valor desejado.~~		[[Arquivo:NH Q10.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 7: Evolução da temperatura para um sistema com <math> Q = 10.0 </math> com salto para <math> T = 1.5 </math>]]

	[[Arquivo:NH 3Q.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Evolução da temperatura para um sistema com salto para <math> T = 1.5 </math>]]		O que nota-se neste resultado, e que fica mais claro na figura 8, é que para um valor de <math> Q </math> baixo, ou seja, baixa inércia térmica, a temperatura do sistema possui muitas oscilações quando acontece o pulo, logo o sistema demora mais para se estabilizar, entretanto, quando estabilizado as oscilações são menores do que para valores de <math> Q </math> maiores. Para um <math> Q </math> alto, a temperatura não oscila depois do pulo, tendendo rapidamente para o valor desejado, entretanto, possuindo oscilações maiores do que para um <math> Q </math> baixo. O resultado de <math> Q </math> intermediário apresenta um comportamento entre os outros dois resultados, apresentando oscilações após o pulo, mas rapidamente tendendo para o valor desejado.

			[[Arquivo:NH 3Q.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 8: Evolução da temperatura para um sistema com salto para <math> T = 1.5 </math>]]

	Conforme visto, o valor de <math> Q </math> influência o equilíbrio do sistema, portanto, conforme dito anteriormente, este valor precisa ser determinado, para cada sistema, por tentativa e erro.		Conforme visto, o valor de <math> Q </math> influência o equilíbrio do sistema, portanto, conforme dito anteriormente, este valor precisa ser determinado, para cada sistema, por tentativa e erro.
Linha 113:		Linha 118:
	Entretanto, o valor de <math> Q </math> não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de <math> Q </math>, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de <math> Q </math>. Isso é demonstrado nas figuras abaixo.		Entretanto, o valor de <math> Q </math> não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de <math> Q </math>, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de <math> Q </math>. Isso é demonstrado nas figuras abaixo.

	FIG 6		FIG 9

	FIG 7		FIG 10

	== Programas Utilizados ==		== Programas Utilizados ==

Rafabel em 22h04min de 26 de maio de 2021

2021-05-26T22:04:13Z

← Edição anterior		Edição das 19h04min de 26 de maio de 2021
Linha 90:		Linha 90:

	Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação, conforme visto no primeiro gráfico. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.		Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação, conforme visto no primeiro gráfico. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação para cada <math> Q </math> utilizado, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.



	[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação.]]		[[Arquivo:NH T cte.jpeg\|800px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação.]]

Rafabel: /* Termostato de Nose */

2021-05-26T21:53:57Z

Termostato de Nose

← Edição anterior		Edição das 18h53min de 26 de maio de 2021
Linha 16:		Linha 16:
	Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais <math> s </math> e o seu momento conjugado <math> p_s </math> ao banho térmico. O fator <math> s </math> é definido como um fator de escala das velocidades, onde:		Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais <math> s </math> e o seu momento conjugado <math> p_s </math> ao banho térmico. O fator <math> s </math> é definido como um fator de escala das velocidades, onde:

	<math> ~~\dot~~ \bold v = s\dot \bold r = s\bold p/m</math>		<math> \bold v = s\dot \bold r = s\bold p/m</math>

	E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a <math> s </math> como:		E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a <math> s </math> como: