Termostato de Andersen - Histórico de revisão

Gabrieltodeschini em 17h39min de 11 de dezembro de 2024

2024-12-11T17:39:45Z

@@ Linha 6: / Linha 6: @@
 == FUNDAMENTO TEÓRICO E DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO ==
 === Condições de Contorno Periódicas ===
@@ Linha 56: / Linha 45: @@
 \end{cases}
 </math>
 === Distribuição de Maxwell-Boltzmann ===
@@ Linha 64: / Linha 62: @@
 <math>f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m v^2}{2 k_B T}}</math>
-=== Unidades Adimensionais ===
+=== Temperatura ===
-Para simplificar e possibilitar a comparação entre diferentes sistemas, todas as grandezas foram convertidas para unidades adimensionais, normalizando com base na massa e nos parâmetros do potencial:
+onde <math>N_f</math> é o número de graus de liberdade do sistema. No ensemble microcanônico, como o momento é conservado, temos <math>N_f=3N-3</math>, mas no ensemble canônico, e portanto no termostato de Andersen, o momento não é conservado e utilizamos <math>N_f=3N</math>.
 == TERMOSTATO DE ANDERSEN ==

Gabrieltodeschini: /* Análise do parâmetro \nu */

2024-12-11T17:38:43Z

Análise do parâmetro \nu

← Edição anterior		Edição das 14h38min de 11 de dezembro de 2024
Linha 121:		Linha 121:
	[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]

	=== Análise do parâmetro ~~<math>\nu</math>~~ ===		=== Análise do parâmetro da frequência de colisão ===

	A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é pequeno, exigindo um tempo maior de simulação para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.		A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é pequeno, exigindo um tempo maior de simulação para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.

Gabrieltodeschini: /* Análise do parâmetro \nu */

2024-12-11T17:34:21Z

Análise do parâmetro \nu

← Edição anterior		Edição das 14h34min de 11 de dezembro de 2024
Linha 130:		Linha 130:
	Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.		Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.

			Na figura abaixo é visto claramente que a convergência demorou mais passos do que no caso de <math>\nu=0.5</math>.

	[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 50000 nu 0.1.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.1</math> e <math>T=1</math>.]]		[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 50000 nu 0.1.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.1</math> e <math>T=1</math>.]]

Gabrieltodeschini: /* Análise do parâmetro \nu */

2024-12-11T17:33:23Z

Análise do parâmetro \nu

← Edição anterior		Edição das 14h33min de 11 de dezembro de 2024
Linha 131:		Linha 131:


	[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 50000 nu 0.1.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.01</math> e <math>T=1</math>.]]		[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 50000 nu 0.1.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.1</math> e <math>T=1</math>.]]

	== CONCLUSÃO ==		== CONCLUSÃO ==

Gabrieltodeschini: /* Análise do parâmetro nu */

2024-12-11T17:33:01Z

Análise do parâmetro nu

← Edição anterior		Edição das 14h33min de 11 de dezembro de 2024
Linha 121:		Linha 121:
	[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]

	=== Análise do parâmetro <math>nu</math> ===		=== Análise do parâmetro <math>\nu</math> ===

	A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é pequeno, exigindo um tempo maior de simulação para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.		A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é pequeno, exigindo um tempo maior de simulação para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.
Linha 129:		Linha 129:

	Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.		Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.


			[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 50000 nu 0.1.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.01</math> e <math>T=1</math>.]]

	== CONCLUSÃO ==		== CONCLUSÃO ==

Gabrieltodeschini: /* RESULTADOS */

2024-12-11T17:30:04Z

RESULTADOS

← Edição anterior		Edição das 14h30min de 11 de dezembro de 2024
Linha 92:		Linha 92:

	== RESULTADOS ==		== RESULTADOS ==
	Para ~~verificar se o termostato está corretamente simulando o ensemble canônico~~, foram escolhidas 3 temperaturas diferentes. Para cada uma delas, foi simulado <math>N = 108</math> partículas, com densidade <math>p=0.8442</math>, <math>\nu =0.5</math>, <math>\Delta t =0.001</math> e número de passos <math>n=50.000</math>.		Para a análise, foram escolhidas 3 temperaturas diferentes. Para cada uma delas, foi simulado <math>N = 108</math> partículas, com densidade <math>p=0.8442</math>, <math>\nu =0.5</math>, <math>\Delta t =0.001</math> e número de passos <math>n=50.000</math>.
	~~São mostradas abaixo a série temporal para cada uma das temperaturas.~~ Para checar de forma mais consistente se o sistema no equilíbrio realmente corresponde ao ensemble canônico, foi comparada a curva teórica da distribuição de Maxwell-Boltzmann para a temperatura correspondente, com um histograma das velocidades em todas as dimensões obtidas nos últimos 40.000 passos (os primeiros 10.000 passos é o transiente para o equilíbrio).		Para checar de forma mais consistente se o sistema no equilíbrio realmente corresponde ao ensemble canônico, foi comparada a curva teórica da distribuição de Maxwell-Boltzmann para a temperatura correspondente, com um histograma das velocidades em todas as dimensões obtidas nos últimos 40.000 passos (os primeiros 10.000 passos são o transiente para o equilíbrio).
	~~Além disso~~, ~~foi calculada a média e o desvio~~-~~padrão para cada uma dessas medidas~~.		Na figura abaixo, vemos que houve uma aproximação muito boa da distribuição de velocidades da simulação com os valores esperados pela distribuição de Maxwell-Boltzmann.

	[[Arquivo:Velocity_distribution_1.0_2.0_3.0.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 1: Comparação da distribuição de Maxwell-Boltzmann (linha sólida) com a distribuição de velocidades obtida nos últimos 40.000 passos da simulação (círculos) para diferentes temperaturas.]]		[[Arquivo:Velocity_distribution_1.0_2.0_3.0.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 1: Comparação da distribuição de Maxwell-Boltzmann (linha sólida) com a distribuição de velocidades obtida nos últimos 40.000 passos da simulação (círculos) para diferentes temperaturas.]]

			Além disso, são mostradas abaixo a série temporal para cada uma das temperaturas, com a média e desvio padrão da temperatura dos últimos <math>40.000</math> passos.

	=== T=1 ===		=== T=1 ===
Linha 124:		Linha 126:
	Na figura abaixo vemos que a flutuação parece estar se aproximando lentamente de <math>T=1.0</math>, com mais tempo de simulação parece que essa temperatura será alcançada.		Na figura abaixo vemos que a flutuação parece estar se aproximando lentamente de <math>T=1.0</math>, com mais tempo de simulação parece que essa temperatura será alcançada.

	[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: ~~Comparação~~ da ~~distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos~~ <math>40.~~000~~</math> ~~passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para~~ <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Evolução temporal da temperatura para <math>\nu=0.01</math> e <math>T=1</math>.]]


	Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.		Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.

Gabrieltodeschini: /* RESULTADOS */

2024-12-11T17:23:33Z

RESULTADOS

← Edição anterior		Edição das 14h23min de 11 de dezembro de 2024
Linha 119:		Linha 119:
	[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]

			=== Análise do parâmetro <math>nu</math> ===

			A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é pequeno, exigindo um tempo maior de simulação para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.
			Na figura abaixo vemos que a flutuação parece estar se aproximando lentamente de <math>T=1.0</math>, com mais tempo de simulação parece que essa temperatura será alcançada.

	[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]


	A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é insuficiente para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.

	Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.		Por outro lado, valores muito altos de <math>\nu</math> podem introduzir um excesso de estocasticidade no modelo, fazendo com que a interação entre as partículas percam importância. Esse regime pode ser indesejado em simulações onde as interações interpartículas são críticas para o comportamento do sistema. Além disso, o termostato de Andersen introduz descontinuidades nas velocidades e, por consequência, no momento, sendo assim, não é possível medir propriedades de transporte, como difusão e viscosidade.

Gabrieltodeschini: /* RESULTADOS */

2024-12-11T17:19:14Z

RESULTADOS

← Edição anterior		Edição das 14h19min de 11 de dezembro de 2024
Linha 103:		Linha 103:
	<math>\sigma = 0.067</math>		<math>\sigma = 0.067</math>

	[[Arquivo:Temp_1.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|~~400px~~\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=1</math>.]]		[[Arquivo:Temp_1.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=1</math>.]]

	=== T=2 ===		=== T=2 ===
Linha 110:		Linha 110:
	<math>\sigma = 0.166</math>		<math>\sigma = 0.166</math>

	[[Arquivo:Temp_2.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|~~800px~~\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=2</math>.]]		[[Arquivo:Temp_2.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=2</math>.]]

	=== T=3 ===		=== T=3 ===
Linha 117:		Linha 117:
	<math>\sigma = 0.247</math>		<math>\sigma = 0.247</math>

	[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|~~800px~~\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]

Gabrieltodeschini: /* RESULTADOS */

2024-12-11T17:18:01Z

RESULTADOS

← Edição anterior		Edição das 14h18min de 11 de dezembro de 2024
Linha 104:		Linha 104:

	[[Arquivo:Temp_1.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|400px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=1</math>.]]		[[Arquivo:Temp_1.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|400px\|center\|thumb\|Figura 1: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=1</math>.]]

	[[Arquivo:velocity_distribution_1.0.png\|400px\|center\|thumb\|Figura 2: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=1</math>]]

	=== T=2 ===		=== T=2 ===
Linha 113:		Linha 111:

	[[Arquivo:Temp_2.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=2</math>.]]		[[Arquivo:Temp_2.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 3: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=2</math>.]]

	[[Arquivo:velocity_distribution_2.0.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 4: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=2</math>.]]


	=== T=3 ===		=== T=3 ===
Linha 124:		Linha 119:
	[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp_3.0_totalsteps_50000_nu_0.5.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 5: Evolução da temperatura durante a simulação com temperatura do reservatório <math>T=3</math>.]]

	[[Arquivo:velocity_distribution_3.0.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]

	[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]

Gabrieltodeschini: /* RESULTADOS */

2024-12-11T17:17:20Z

RESULTADOS

← Edição anterior		Edição das 14h17min de 11 de dezembro de 2024
Linha 125:		Linha 125:

	[[Arquivo:velocity_distribution_3.0.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]		[[Arquivo:velocity_distribution_3.0.png\|800px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]

			[[Arquivo:Temp 1.0 totalsteps 100000 nu 0.01.png\|500px\|center\|thumb\|Figura 6: Comparação da distribuição do valor absoluto das velocidades dos últimos <math>40.000</math> passos com a distribuição de Maxwell-Boltzmann para <math>T=3</math>.]]


	A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é insuficiente para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.		A frequência de colisão <math>\nu</math> controla o nível de interação entre o sistema e o reservatório térmico. Quando <math>\nu</math> é muito baixa, o número de colisões entre o sistema e o reservatório em um intervalo de tempo é insuficiente para equilibrar a temperatura. Nesse caso, o sistema permanece por períodos mais longos em estados que não refletem o equilíbrio térmico desejado, o que prejudica a convergência para o ensemble canônico.