Tekkito: Criou página com 'Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das...'

2011-09-19T17:36:58Z

Criou página com 'Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das...'

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Como discutido em [[Fórmula de Lagrange]], um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1a e 2a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.

Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear <math>\;P_i(x)</math>, válida entre os pontos <math>\;X_i</math> e <math>\;X_{i+1}</math>, obtida a partir da [[Fórmula de Lagrange]]:

<math>
P_i(x)=Y_i A_i(x)+Y_{i+1} B_i(x)\;,
</math>

onde

<math>
A_i(x)=\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i} \mbox{ e } B_i(x)=\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}
</math>

foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2a é infinita nas fronteiras entre <math>\;X_i</math> e <math>\;X_{i+1}</math>, devido à descontinuidade da derivada 1a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos <math>\;(X_i,Y_i)</math> e <math>\;(X_{i+1},Y_{i+1})</math> possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1a no intervalo <math>\;(X_i,X_{i+1})</math>, a derivada segunda é nula nesta região.

Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:

<math>
S_i(x)=Y_i A_i(x) + Y_{i+1} B_i(x) + Y''_i C_i(x) + Y''_{i+1} D_i(x)\;.
</math>

Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores <math>\;\{(X_i,Y_i)\}</math>, a derivada segunda em cada ponto <math>\;Y''_i</math> aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções <math>\;C_i(x) \mbox{ e } D_i(x)</math> precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que <math>\;S_i(X_i)=Y_i</math>. Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de <math>\;C_i(x) \mbox{ e } D_i(x)</math> já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:

<math>
C_i(x)=\frac{1}{6}A(x)\left[A^2(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_i\right]^2\; \mbox{ e }\;
D_i(x)=\frac{1}{6}B(x)\left[B^2(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_i\right]^2
</math>

asseguram que <math>\;S_i(X_i)=Y_i</math>, uma vez que

<math>
C_i(X_i)=D_i(X_i)=C_i(X_{i+1})=D_i(X_{i+1})=0\;
</math>

pois

<math>
A_i(X_i)=B_i(X_{i+1})=1\;\mbox{ e }\; A_i(X_{i+1})=B_i(X_i)=0\;.
</math>

Com a introdução destes termos, a derivada de <math>\;S_i(x)</math> torna-se:

<math>
\frac{d S_i(x)}{d x}=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y''_i}{6}\left[3A_i^2(x)-1\right](X_{i+1}-X_i)
+\frac{Y''_{i+1}}{6}\left[3B_i^2(x)-1\right](X_{i+1}-X_i)
</math>

trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em <math>\;x</math>, além do termo associado à reta secante.
A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:

<math>
\frac{d^2 S_i(x)}{d x^2}= Y''_i A_i(x)+Y''_{i+1}B_i(x)
= Y''_i\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i}+Y''_{i+1}\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}\;,
</math>

com uma dependência linear em <math>\;x</math>. Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, <math>\;Y''_i</math>, resolvendo os problemas mencionados acima.

Para obtermos os valores de <math>\{\;Y''_i\}</math>, impomos a continuidade da derivada 1a nas fronteiras entre <math>\;X_{i-1}</math> e <math>\;X_i</math>:

<math>
\frac{d S_{i-1}(X_i)}{dx}=\frac{d S_i(X_i)}{dx}\;.
</math>

Usando as propriedades <math>\;A_{i-1}(X_i)=B_i(X_i)=0</math> e <math>\;A_i(X_i)=B_{i-1}(X_i)=1</math>, obtemos

<math>
\frac{Y_i+-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}+\frac{Y''_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1})
+\frac{Y''_i}{3}(X_i-X_{i-1})
=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y''_i}{3}(X_{i+1}-X_i)-\frac{Y''_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i)
</math>

que, apos agrupar os termos convenientemente, nos leva a

<math>
\frac{Y''_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1})+\frac{Y''_i}{3}(X_{i+1}-X_{i-1})+\frac{Y''_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i)
=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}\;.
</math>

Uma vez que em um conjunto de <math>\;N</math> pontos temos <math>\;N-2</math> fronteiras internas, os valores de
<math>\;Y''_1</math> e <math>\;Y''_N</math> permanecem indeterminados. Eles devem ser obtidos a partir da física do problema tratado. Em geral, os programas gráficos encontrados nas diferentes plataformas usam <math>\;Y''_1=Y''_N=0</math>. Porém, esta não é a única possibilidade. De fato, quaisquer combinações das condições

<math>
\;Y''_1=\lambda_1 \mbox{ ou } Y'_1=\zeta_1
</math>

e

<math>
\;Y''_N=\lambda_2 \mbox{ ou } Y'_N=\zeta_2
</math>

são perfeitamente possíveis, desde que sejam consistentes com a física do problema. Se os vínculos sobre as derivadas forem escolhidos, a expressão para <math>\;\frac{d S_{1}(X_1)}{dx}=\zeta_1</math> ou
<math>\;\frac{d S_{N-1}(X_N)}{dx}=\zeta_2</math> leva, respectivamente, a relações entre <math>\;Y''_1</math>
e <math>\;Y''_2</math> ou <math>\;Y''_{N-1}</math> e <math>\;Y''_N</math>. A obtenção destas relações é deixada como exercício.

Deve ser observado que a solução do problema envolve a resolução de um sistema de <math>\;N-2</math> equações lineares acopladas. Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:

<math>
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1N} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{N1} & b_{N2} & \cdots & b_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Y''_1\\
Y''_2\\
\vdots\\
Y''_N
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_1\\
f_2\\
\vdots\\
f_N
\end{pmatrix}
</math>

onde

<math>
f_i=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}\;,\;\;\;\;\; i > 1 \mbox{ e } i < N.
</math>

<math>
\;b_{1i}=0\;\;\;\;i>2\;\;\;\; \mbox{ e }\;\;\;\; b_{Ni} = 0\;\;\;\;i<N-1
</math>

e os demais elementos são apresentados logo abaixo.

Deste modo, a obtenção de <math>\;\{Y''_i\}</math> requer a inversão de uma matriz, o que é uma tarefa custosa e delicada numericamente (veja, por exemplo, [http://www.nr.com Numerical Recipes]).
Uma vez que a equação para a i-ésima fronteira envolve apenas <math>Y_{i-1},\; Y_i \mbox{ e } Y_{i+1}</math>,
somente as três diagonais principais da matriz acima são não nulas, isto é, <math>\;\mathbf{b}</math> é uma
matriz tri-diagonal.
Assim, os elementos de <math>\;\mathbf{b}</math>, excluindo-se aqueles associados às fronteiras, são dados por:

<math>
b_{i,i-1}\equiv b^-_i=\frac{1}{6}(X_i-X_{i-1})\;,
</math>

<math>
b_{i,i}\equiv b^0_i=\frac{1}{3}(X_{i+1}-X_{i-1})
</math>

<math>
b_{i,i+1}\equiv b^+_i=\frac{1}{6}(X_{i+1}-X_i)\;.
</math>

Caso os vínculos nas fronteiras sejam impostos sobre <math>\;Y''_1</math> e <math>\;Y''_N</math>, temos

<math>b_{1j} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{se } j=1 \\
0, & \mbox{se } j > 1 \end{matrix}\right.
</math>

e

<math>b_{Nj} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{se } j=N \\
0, & \mbox{se } j < N \end{matrix}\right.
</math>

com <math>\;f_1=\lambda_1 \mbox{ e } f_N=\lambda_2</math> sendo os valores impostos sobre a derivada segunda nos pontos <math>\;X_1</math> e
<math>\;X_N</math>, respectivamente. Mais uma vez, o caso em que as condições são impostas sobre a derivada 1a é deixado como exercício.

Sendo <math>\;\mathbf{b}</math> uma matriz tri-diagonal, a solução do problema é bastante simples e é discutida na seção [[Eliminação gaussiana e retro-substituição]].

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Voltar para o índice de [[Métodos computacionais]].

Spline cúbico - Histórico de revisão

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