Problema de Fermi-Pasta-Ulam - Histórico de revisão

Augustog em 02h27min de 29 de maio de 2021

2021-05-29T02:27:14Z

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Linha 94:		Linha 94:

	A expressão utilizada para calcular estas energias foi a memsa citada anteriormente:		A expressão utilizada para calcular estas energias foi a memsa citada anteriormente:

			[[Arquivo:Eq1.PNG\|center\|350px]]

	== Discussões ==		== Discussões ==
Linha 126:		Linha 128:

	def posicao(pos, velo, dt):		def posicao(pos, velo, dt):
	size = len(~~posY~~)		size = len(pos)
	new_posY = [0.0 for i in range(size)]		new_posY = [0.0 for i in range(size)]
	for i in range(size):		for i in range(size):
	~~new_posY~~[i] = ~~posY~~[i] + ~~new_veloY~~[i]*dt		new_pos[i] = pos[i] + new_velo[i]*dt
	return ~~new_posY~~		return new_pos

	N = número de partículas		N = número de partículas

Augustog: /* Resultados */

2021-05-29T02:25:56Z

Resultados

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Linha 84:		Linha 84:
	Já os resultados das energias, consideramos todas constantes iguais à 1, mais de 100 partículas e o número de iterações está em cada imagem. Procedemos de duas formas: calculamos a porcentagem de cada modo normal de oscilação pela Transformada de Fourier (para selecionar as frequências que estavam presentes na oscilação, sem calcular as energias), o que apresentou um comportamento muito similar às energias calculadas pela soma de energias cinética e potencial:		Já os resultados das energias, consideramos todas constantes iguais à 1, mais de 100 partículas e o número de iterações está em cada imagem. Procedemos de duas formas: calculamos a porcentagem de cada modo normal de oscilação pela Transformada de Fourier (para selecionar as frequências que estavam presentes na oscilação, sem calcular as energias), o que apresentou um comportamento muito similar às energias calculadas pela soma de energias cinética e potencial:

	[[Arquivo:Energias fft.jpeg\|thumb\|700px\|center\|Porcentagem de cada modo vibracional ao longo do tempo. A escala do tempo ~~está~~ reduzida em 20 vezes.]]		[[Arquivo:Energias fft.jpeg\|thumb\|700px\|center\|Porcentagem de cada modo vibracional ao longo do tempo. A escala do tempo foi reduzida em 20 vezes para melhor apresentação do gráfico.]]

	E também calculamos pela equação de energia citada acima, obtivemos os seguintes comportamentos:		E também calculamos pela equação de energia citada acima, obtivemos os seguintes comportamentos:
Linha 92:		Linha 92:
	<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Energias certo2.jpg\|520px\|thumb\|Energias por modo de oscilação com fft. A escala do tempo está aumentada em 5 vezes.]]</li>		<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Energias certo2.jpg\|520px\|thumb\|Energias por modo de oscilação com fft. A escala do tempo está aumentada em 5 vezes.]]</li>
	</ul></div></center>		</ul></div></center>

			A expressão utilizada para calcular estas energias foi a memsa citada anteriormente:

	== Discussões ==		== Discussões ==

Augustog: /* Resultados */

2021-05-29T02:23:53Z

Resultados

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Linha 62:		Linha 62:
	== Resultados ==		== Resultados ==

	O sistema foi iniciado com o modo normal de oscilação 1 (seno com frequência <math>\omega = </math>), com velocidades iniciais igual a zero de cada partícula. O movimento começa apenas pelas forças já presentes entre cada partículas, pelas equações apresentadas acima.		O sistema foi iniciado com o modo normal de oscilação 1 (seno com frequência <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>), com velocidades iniciais igual a zero de cada partícula. O movimento começa apenas pelas forças já presentes entre cada partículas, pelas equações apresentadas acima.

	[[Arquivo:Estado inicial das particulas.png\|center\|thumb\|500px\|legenda.]]		[[Arquivo:Estado inicial das particulas.png\|center\|thumb\|500px\|legenda.]]
Linha 82:		Linha 82:
	[[Arquivo:Corda final.gif\|center\|thumb\|500px\|Simulação FPU para o problema proposto.]]		[[Arquivo:Corda final.gif\|center\|thumb\|500px\|Simulação FPU para o problema proposto.]]

	Já os resultados das energias, consideramos todas constantes iguais à 1, mais de 100 partículas e o número de iterações está em cada imagem. ~~procedemos~~ de duas formas~~. Calculamos~~ a porcentagem de cada modo normal de oscilação pela ~~fft~~, o que ~~representa~~ um comportamento muito similar às energias ~~por modo~~:		Já os resultados das energias, consideramos todas constantes iguais à 1, mais de 100 partículas e o número de iterações está em cada imagem. Procedemos de duas formas: calculamos a porcentagem de cada modo normal de oscilação pela Transformada de Fourier (para selecionar as frequências que estavam presentes na oscilação, sem calcular as energias), o que apresentou um comportamento muito similar às energias calculadas pela soma de energias cinética e potencial:

	[[Arquivo:Energias fft.jpeg\|thumb\|700px\|center\|Porcentagem de cada modo vibracional ao longo do tempo. A escala do tempo está reduzida em 20 vezes.]]		[[Arquivo:Energias fft.jpeg\|thumb\|700px\|center\|Porcentagem de cada modo vibracional ao longo do tempo. A escala do tempo está reduzida em 20 vezes.]]

Augustog: /* Discretização */

2021-05-29T02:20:52Z

Discretização

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Linha 58:		Linha 58:
	[[Arquivo:Eq3.PNG\|150px]]		[[Arquivo:Eq3.PNG\|150px]]

	<math>N</math> é o número de partículas e <math>\omega_i = \frac{k}{m} </math>		<math>N</math> é o número de partículas e <math>\omega_i = \sqrt{\frac{k}{m}} </math>

	== Resultados ==		== Resultados ==

Augustog: /* Resultados */

2021-05-29T02:20:17Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 02h20min de 29 de maio de 2021
Linha 62:		Linha 62:
	== Resultados ==		== Resultados ==

	O sistema foi iniciado com o modo normal de oscilação 1 (~~nenhum nodo~~), com velocidades iniciais igual a zero de cada partícula. O movimento começa apenas pelas forças já presentes entre cada partículas, pelas equações apresentadas acima.		O sistema foi iniciado com o modo normal de oscilação 1 (seno com frequência <math>\omega = </math>), com velocidades iniciais igual a zero de cada partícula. O movimento começa apenas pelas forças já presentes entre cada partículas, pelas equações apresentadas acima.

	[[Arquivo:Estado inicial das particulas.png\|center\|thumb\|500px\|legenda.]]		[[Arquivo:Estado inicial das particulas.png\|center\|thumb\|500px\|legenda.]]

Augustog: /* Implementação */

2021-05-29T02:19:02Z

Implementação

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Linha 100:		Linha 100:

	== Implementação ==		== Implementação ==

			Implementamos a iteração do movimento das partículas por Velocity-Verlet.

	A questão de variar os parâmetros do problema, como já mencionado previamente nesta wiki, e também apresentado nos gráficos e no gif, vimos que não interferia muito no caráter dos resultados (e o quanto isso poderia influenciar no paradoxo de equipartição de energia), porém o fizemos para gerar imagens melhores e o gif com menos de 2 MB.		A questão de variar os parâmetros do problema, como já mencionado previamente nesta wiki, e também apresentado nos gráficos e no gif, vimos que não interferia muito no caráter dos resultados (e o quanto isso poderia influenciar no paradoxo de equipartição de energia), porém o fizemos para gerar imagens melhores e o gif com menos de 2 MB.

Augustog: /* Discretização */

2021-05-29T02:17:40Z

Discretização

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Linha 34:		Linha 34:
	A discretização deste problema gira em torno de abrir a equação das forças, e com o termo de aceleração, iterar o movimento das partículas a partir disso <ref name=wiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Pasta%E2%80%93Ulam%E2%80%93Tsingou_problem</ref>. Partimos do problema com correção quadrática, ou seja, <math> \beta = 0 </math>. Partindo de:		A discretização deste problema gira em torno de abrir a equação das forças, e com o termo de aceleração, iterar o movimento das partículas a partir disso <ref name=wiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Pasta%E2%80%93Ulam%E2%80%93Tsingou_problem</ref>. Partimos do problema com correção quadrática, ou seja, <math> \beta = 0 </math>. Partindo de:

	<math> F = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 </math>,		<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 </math>,

	substituímos pelas variáveis discretas:		substituímos pelas variáveis discretas:

	<math> m \ddot{x_j} = -k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right) - \alpha k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right) </math>,		<math> m \ddot{x_j} = -k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right) - \alpha k \left( (x_{j+1} - x_j)^2 - (x_j - x_{j-1})^2 \right) </math>,

	Chegamos em:		Sendo que as partículas de índice zero e N estão fixas, Chegamos em:

	<math> m \ddot{x_j} = k \left( x_{j+1} - 2x_{j} + x_{j-1} \right) \left[ 1 + \alpha \left( x_{j+1} - x_{j-1} \right) \right] </math>,		<math> m \ddot{x_j} = k \left( x_{j+1} - 2x_{j} + x_{j-1} \right) \left[ 1 + \alpha \left( x_{j+1} - x_{j-1} \right) \right] </math>,
Linha 48:		Linha 48:
	A Energia do sistema é calculada para cada ciclo de oscilação, porém para obtermos os resultados dos modos de oscilação e compararmos com os estudos atuais e o original de de FPUT, calculamos a energia dos primeiros modos de vibração da corda para demonstrar o comportamento visivelmente periódico destas energias. É possível calcular a energia dos modos de vibração através da equação:		A Energia do sistema é calculada para cada ciclo de oscilação, porém para obtermos os resultados dos modos de oscilação e compararmos com os estudos atuais e o original de de FPUT, calculamos a energia dos primeiros modos de vibração da corda para demonstrar o comportamento visivelmente periódico destas energias. É possível calcular a energia dos modos de vibração através da equação:

	~~<math> E_{total} = \sum_{i=2}^{N} \frac{\omega_{i}^{2}A_{i}^{2} + \dot{A_{i}^{2}}}{2} </math>,~~		[[Arquivo:Eq1.PNG\|350px]]

	~~onde~~ <math> ~~A_i~~ </math> ~~corresponde à~~:		em que <math> a</math> é o vetor das posições projetado num vetor de um seno com a frequência do modo que queremos plotar:

	~~<math> A_{i} = C\sin{\left( i\theta \right )} </math>~~		[[Arquivo:Eq2.PNG\|120px]]

	~~Conseguimos resolver <math>C</math> com a equação geral de <math>x(t)</math>~~:		e:

	~~<math> x_{i}(t) = \sum_{m=1}^{N} C_m \sin{\left (\frac{im\pi}{N+1} \right )}\cos{\left (wmt \right )} </math>,~~		[[Arquivo:Eq3.PNG\|150px]]

	~~e as freqûencias <math> \omega_i </math> são dadas por: <math> \omega_m = 2\omega_0 \sin\left (\frac{m\pi}{2(N + 1)}\right ) </math>.~~		<math>N</math> é o número de partículas e <math>\omega_i = \frac{k}{m} </math>

	<math>N</math> é o número de partículas e <math>\~~omega_0~~ = \frac{k}{~~massa~~} </math>

	== Resultados ==		== Resultados ==

Augustog: /* O Problema */

2021-05-29T02:03:40Z

O Problema

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Linha 16:		Linha 16:
	<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.		<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.

	Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola (aqui considerado, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> ~~é possuir~~ assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.		Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola (aqui considerado, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.

	=== Motivação ===		=== Motivação ===

Augustog em 01h58min de 29 de maio de 2021

2021-05-29T01:58:05Z

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Linha 8:		Linha 8:

	<center><div><ul>		<center><div><ul>
	<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Springs.png\|thumb\|437px\|Figura 1. Problema de Fermi-Pasta-Ulam, molas acopladas.]] </li>		<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Springs.png\|thumb\|437px\|Figura 1. Problema de Fermi-Pasta-Ulam, molas acopladas<ref name= FPU>https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/mhs-e-mha/oscilacoes-acopladas/951</ref>.]] </li>
	</li>		</li>
	</ul></div></center>		</ul></div></center>
Linha 14:		Linha 14:
	A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:		A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:

	<math> F = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.		<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.

	Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> é possuir assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.		Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola (aqui considerado, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> é possuir assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.

	=== Motivação ===		=== Motivação ===

Padovani: /* Link para Códigos */

2021-05-27T16:31:37Z

Link para Códigos

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Linha 151:		Linha 151:
	== Link para Códigos ==		== Link para Códigos ==

	Fizemos no ambiente Colab em ''.ipynb'', segue link do github:[https://github.com/padovanih/~~equacao~~-de-~~laplace~~]		Fizemos no ambiente Colab em ''.ipynb'', segue link do github:[https://github.com/padovanih/Fermi-Pasta-Ulam]

	== Referências ==		== Referências ==

	<references/>		<references/>