Pêndulos Estocásticos - Histórico de revisão

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ */

2024-08-22T18:09:34Z

Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂

← Edição anterior		Edição das 15h09min de 22 de agosto de 2024
Linha 395:		Linha 395:

	Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais		Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
	pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.		pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia. Apresentamos também como se comporta a energia mecânica média para diferentes intensidades de ruído:

			<br style="clear:both;">[[Arquivo:Iguais-energia_vs_ruido.png\|thumb\|upright=0.0\|left\|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito ao mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.\|700px]]

			[[Arquivo:Diferentes-energia_vs_ruido.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math> e outro em <math> \theta_{2} </math>.\|700px]] <br style="clear:both;">

			Essas simulações foram repetidas 50 vezes.

	== Referências ==		== Referências ==

	# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.		# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.

Joshuakipper: /* Energia */

2024-08-22T17:53:20Z

Energia

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Linha 357:		Linha 357:
	* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;		* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
	* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;		* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
			* Em todas as simulações o passo temporal é <math> dt = 10^{-3} </math> ;
	* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.		* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

2024-08-22T17:21:11Z

Caso 1 : Ruído em θ₁

← Edição anterior		Edição das 14h21min de 22 de agosto de 2024
Linha 367:		Linha 367:
	No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:		No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

	[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png\|thumb\|upright=0.0\|left\|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.\|700px]]		<br style="clear:both;">[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png\|thumb\|upright=0.0\|left\|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.\|700px]]

	[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif\|thumb\|upright=0.0\|~~right~~\|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.\|350px]]		[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif\|thumb\|upright=0.0\|center\|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.\|350px]] <br style="clear:both;">

	Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.		Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

Gustavoguesser: /* Pêndulo invertido */

2024-08-22T17:06:10Z

Pêndulo invertido

← Edição anterior		Edição das 14h06min de 22 de agosto de 2024
Linha 203:		Linha 203:
	os seguintes valores foram utilzados		os seguintes valores foram utilzados

	* g = l = 1		* <math> g = l = 1 </math>
	* k = 1.1		* <math> k = 1.1 </math>

	No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido		No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

Gustavoguesser: /* Energia (Com amortecimento) */

2024-08-22T17:01:08Z

Energia (Com amortecimento)

← Edição anterior		Edição das 14h01min de 22 de agosto de 2024
Linha 151:		Linha 151:
	[[Arquivo:Energy_beta_example.png\|frame\|center\|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]		[[Arquivo:Energy_beta_example.png\|frame\|center\|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

	claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a ~~anergia~~ aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:		claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

	* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.		* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.

Gustavoguesser: /* Energia (Sem amortecimento) */

2024-08-22T16:59:12Z

Energia (Sem amortecimento)

← Edição anterior		Edição das 13h59min de 22 de agosto de 2024
Linha 138:		Linha 138:
	* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).		* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

	Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para ~~encontra~~ o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:		Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

	[[Arquivo:Power.png\|frame\|center\|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]		[[Arquivo:Power.png\|frame\|center\|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Gustavoguesser: /* Método de integração */

2024-08-22T16:55:28Z

Método de integração

← Edição anterior		Edição das 13h55min de 22 de agosto de 2024
Linha 69:		Linha 69:
	</center>		</center>

	mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então		mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener <math> \left (W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' \right ) </math>, então

	<center>		<center>

Gustavoguesser: /* Pêndulo Duplo */

2024-08-22T16:46:52Z

Pêndulo Duplo

← Edição anterior		Edição das 13h46min de 22 de agosto de 2024
Linha 214:		Linha 214:
	O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.		O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

	[[Arquivo:Pendulo.gif\|thumb\|upright=2\|center\|Pêndulo ~~Duplo~~ não estocástico.]]		[[Arquivo:Pendulo.gif\|thumb\|upright=2\|center\|Pêndulo duplo não estocástico.]]

	=== Equação de movimento ===		=== Equação de movimento ===

Gustavoguesser: /* Equação de movimento */

2024-08-22T16:45:10Z

Equação de movimento

← Edição anterior		Edição das 13h45min de 22 de agosto de 2024
Linha 259:		Linha 259:
	</center>		</center>

	Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> ~~m_1~~ </math>. Assim as equações de movimento se tornam:		Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_2 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

	<center>		<center>

Gustavoguesser: /* Referências */

2024-08-22T13:27:08Z

Referências

← Edição anterior		Edição das 10h27min de 22 de agosto de 2024
Linha 397:		Linha 397:

	== Referências ==		== Referências ==

			# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.