Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou - Histórico de revisão

Wallec: /* FPUT quadrático */

2022-05-09T02:43:38Z

FPUT quadrático

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	Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.		Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.

	Parâmetros da simulação ~~com deslocamento vertical~~: <math>k = 1.0, m = 1.0, \alpha = 0.25, \Delta t = 0.01, L = 20.0, N = 32</math>.		Parâmetros da simulação da '''Figura 14''' e da '''Figura 15''': <math>k = 1.0, m = 1.0, \alpha = 0.25, \Delta t = 0.01, L = 20.0, N = 32, amplitude=1</math>.

Wallec: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

2022-05-09T02:40:05Z

Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT

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	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Energias_por_modo.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 13.''' Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação [[Oscilações_Acopladas/Problema_de_Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Gráfico_das_energias_do_FPUT_quadrático\|numérica]]). Percebe-se claramente o comportamento discutido no parágrafo acima. O sistema inicia no primeiro modo, depois de um tempo passa a uma mistura dos cinco primeiros modos, e por volta de t=10000 retorna quase inteiramente ao primeiro modo de vibração. Ou seja, não houve termalização: a energia não foi distribuída entre os demais modos.]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Energias_por_modo.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 13.''' Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação [[Oscilações_Acopladas/Problema_de_Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Gráfico_das_energias_do_FPUT_quadrático\|numérica]]). Percebe-se claramente o comportamento discutido no parágrafo acima. O sistema inicia no primeiro modo, depois de um tempo passa a uma mistura dos cinco primeiros modos, e por volta de t=10000 retorna quase inteiramente ao primeiro modo de vibração. Ou seja, não houve termalização: a energia não foi distribuída entre os demais modos.]]</li>
	</center>		</center>

			O comportamento do sistema ilustrado pela '''Figura 13''' corresponde ao que foi observado pelos autores do artigo original.<ref name="FPUToriginal"/> Esse é o caso para baixa amplitude e, consequentemente, baixa energia inicial do sistema (na simulação da '''Figura 13''', a amplitude inicial é igual a 1). Entretanto, caso o sistema possua energia inicial alta, o sistema atinge a termalização. Isso pode ser observado na '''Figura 14''':

			<center>
			<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:termalizacao.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 14.''' Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação [[Oscilações_Acopladas/Problema_de_Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Gráfico_das_energias_do_FPUT_quadrático\|numérica]]). Nesse caso, diferentemente da '''Figura 13''', o sistema atinge termalização. Isso ocorre porque a amplitude e a energia inicial do sistema é alta (aqui, a amplitude inicial é igual a 10)]]</li>
			</center>

	Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>		Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>

Wallec: /* Bibliografia principal */

2022-05-05T21:50:28Z

Bibliografia principal

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Linha 504:		Linha 504:

	== Bibliografia principal ==		== Bibliografia principal ==
	* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.		* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". 5th Edition. Thomson Learning, Belmont, 2004.
	* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.		* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Wallec: /* Gráfico das energias do FPUT quadrático */

2022-05-05T02:30:06Z

Gráfico das energias do FPUT quadrático

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Linha 410:		Linha 410:

	:<math>		:<math>
	a_{m} = \vec{x}\cdot{\vec{n}}		a_{m} = \sqrt{\frac{2}{N+1}}\vec{x}\cdot{\vec{n}}
	</math>		</math>

Wallec: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

2022-05-05T02:01:12Z

Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT

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	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Energias_por_modo.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 13.''' Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação [[Oscilações_Acopladas/Problema_de_Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Gráfico_das_energias_do_FPUT_quadrático\|numérica]]). Percebe-se claramente o comportamento discutido no parágrafo acima. O sistema inicia no primeiro modo, depois de um tempo passa a uma mistura dos cinco primeiros modos, e por volta de t=~~14000~~ retorna quase inteiramente ao primeiro modo de vibração. Ou seja, não houve termalização: a energia não foi distribuída entre os demais modos.]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Energias_por_modo.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 13.''' Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação [[Oscilações_Acopladas/Problema_de_Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Gráfico_das_energias_do_FPUT_quadrático\|numérica]]). Percebe-se claramente o comportamento discutido no parágrafo acima. O sistema inicia no primeiro modo, depois de um tempo passa a uma mistura dos cinco primeiros modos, e por volta de t=10000 retorna quase inteiramente ao primeiro modo de vibração. Ou seja, não houve termalização: a energia não foi distribuída entre os demais modos.]]</li>
	</center>		</center>

	Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>		Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>

	O paradoxo ou problema de FPUT consiste justamente no comportamento de recorrência do sistema e da não termalização.<ref name="FPUToriginal"/><ref name=Lucero2021/> Como pode ser observado nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático\|simulações]], após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, o primeiro modo). Note-se que o tempo de recorrência das simulações apresentadas é ~~distinto~~ do tempo de recorrência ~~encontrado~~ na '''Figura 13'''. ~~Isso~~ está ocorrendo porque o gráfico foi gerado a partir do nosso programa em Python, com <math>N=32</math>. As [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático\|simulações]] mostradas são do nosso programa em C, em que duas das trinta e duas partículas estão presas às paredes. Na prática, a simulação rodada no programa em C é de <math>N=30</math> partículas. Por limitações técnicas (as imagens das simulações em Python para N=32 geram arquivos de tamanhos muito grandes, e a wiki apenas permite arquivos de, no máximo, 2mb) ainda não conseguimos mostrar as simulações feitas em Python para esse sistema, mas o código pode ser encontrado na seção dos [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Programas\|programas]].		O paradoxo ou problema de FPUT consiste justamente no comportamento de recorrência do sistema e da não termalização.<ref name="FPUToriginal"/><ref name=Lucero2021/> Como pode ser observado nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático\|simulações]], após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, o primeiro modo). Note-se que o tempo de recorrência das simulações apresentadas é o mesmo do tempo de recorrência que pode ser visto na '''Figura 13'''. O código está na seção dos [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Programas\|programas]].

	== Implementação numérica ==		== Implementação numérica ==

Samuelhd: /* FPUT quadrático */

2022-05-04T20:39:16Z

FPUT quadrático

← Edição anterior		Edição das 20h39min de 4 de maio de 2022
Linha 485:		Linha 485:
	Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.		Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.

	Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.		Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0, m = 1.0, \alpha = 0.25, \Delta t = 0.01, L = 20.0, N = 32</math>.

Wallec: /* FPUT quadrático */

2022-05-04T20:23:07Z

FPUT quadrático

← Edição anterior		Edição das 20h23min de 4 de maio de 2022
Linha 489:		Linha 489:

	<gallery class="center" mode=packed heights=250px>		<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
	fput_deslocamento_vertical_parte1.gif\|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.		fput_deslocamento_vertical_parte1.gif\|'''Figura 14.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.
	fput_deslocamento_vertical_parte2.gif\|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.		fput_deslocamento_vertical_parte2.gif\|'''Figura 15.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.
	</gallery>		</gallery>

Samuelhd: /* Implementação numérica */

2022-05-04T20:03:37Z

Implementação numérica

@@ Linha 330: / Linha 330: @@
 Esse sistema de equações foi implementado em ambos os códigos [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Programa|disponíveis nesta wiki]]. No caso do programa em Python, está dentro na função acel_quad(), que é chamada pela função velocity_verlet() para integrar as equações do movimento.
 ===Gráfico das energias do FPUT quadrático===
@@ Linha 381: / Linha 420: @@
 O trabalho [[Problema de Fermi-Pasta-Ulam|anterior]] contém apenas um pequeno erro no cálculo da parte potencial da energia. O código está usando a soma da amplitude no tempo anterior com a amplitude no tempo atual, o que está evidentemente incorreto. O cálculo deve usar apenas a amplitude no tempo atual de cada iteração.
 == Simulações ==

Wallec: /* Condições iniciais */

2022-05-04T19:59:13Z

Condições iniciais

← Edição anterior		Edição das 19h59min de 4 de maio de 2022
Linha 407:		Linha 407:
	Se queremos iniciar o sistema no primeiro modo, basta fazer <math>m=1</math> na equação acima. De fato, podemos iniciar o sistema em qualquer modo fazendo <math>m=1,\,\text{...},\,N</math> nessa mesma equação.		Se queremos iniciar o sistema no primeiro modo, basta fazer <math>m=1</math> na equação acima. De fato, podemos iniciar o sistema em qualquer modo fazendo <math>m=1,\,\text{...},\,N</math> nessa mesma equação.

	O programa em Python possui vários tipos diferentes de condições iniciais, porque esse programa implementa osciladores lineares acoplados e fput quadrático unidimensionais e bidimensionais tanto em deslocamentos horizontais quanto em deslocamentos verticais da posição de equilíbrio.		O programa em Python possui vários tipos diferentes de condições iniciais, porque esse programa (na verdade, conjunto de programas) implementa osciladores lineares acoplados e fput quadrático unidimensionais e bidimensionais tanto em deslocamentos horizontais quanto em deslocamentos verticais da posição de equilíbrio.

	Foi criada uma função modo_de_osc() que faz ~~essa~~ inicialização em qualquer modo. Essa função é chamada pelas funções condicao_inicial_1d() e condicao_inicial_1d_vertical().		A primeira coisa que é inicializada são as posições de equilíbrio de cada partícula. No caso unidimensional, distribuem-se igualmente as posições de equilíbrio das partículas no espaço unidimensional de tamanho L. Depois são calculadas as posições iniciais, de acordo com o modo de oscilação, em relação às posições de equilíbrio.

			No caso bidimensional, algo semelhante é feito, mas as posições de equilíbrio das partículas são igualmente espaçadas em um grid quadrado de L x L. O tamanho L é calculado pela função a partir do número de partículas N, que deve ser um quadrado perfeito (N=4, N=9, N=16, N=25, N=49,...).

			Foi criada uma função modo_de_osc() que faz a inicialização em qualquer modo. Essa função é chamada pelas funções condicao_inicial_1d() e condicao_inicial_1d_vertical().

	Nos osciladores lineares unidimensionais é usada a função condicao_inicial_1d() que inicializa apenas sistemas unidimensionais com deslocamentos horizontais da posição de equilíbrio.		Nos osciladores lineares unidimensionais é usada a função condicao_inicial_1d() que inicializa apenas sistemas unidimensionais com deslocamentos horizontais da posição de equilíbrio.

Wallec: /* Gráfico das energias do FPUT quadrático */

2022-05-04T19:54:29Z

Gráfico das energias do FPUT quadrático

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Linha 380:		Linha 380:
	</math>		</math>

	O trabalho [[Problema de Fermi-Pasta-Ulam\|anterior]] contém apenas um pequeno erro no cálculo da parte potencial da energia. O código está usando a soma da amplitude no tempo anterior com a amplitude no tempo atual, o que está evidentemente incorreto. O cálculo deve usar apenas a amplitude no tempo atual.		O trabalho [[Problema de Fermi-Pasta-Ulam\|anterior]] contém apenas um pequeno erro no cálculo da parte potencial da energia. O código está usando a soma da amplitude no tempo anterior com a amplitude no tempo atual, o que está evidentemente incorreto. O cálculo deve usar apenas a amplitude no tempo atual de cada iteração.

	===Método de integração===		===Método de integração===