O Potencial de Lennard-Jones - Histórico de revisão

Luizamossi: /* Evolução Temporal e Termalização da Energia */

2026-07-08T12:00:18Z

Evolução Temporal e Termalização da Energia

← Edição anterior		Edição das 12h00min de 8 de julho de 2026
Linha 45:		Linha 45:

	* '''Regime Transiente (Termalização):''' Nos passos iniciais da simulação (antes da linha tracejada vermelha marcando 5000 MCS), observa-se uma queda abrupta e colossal da energia. Isso ocorre porque as posições iniciais das partículas foram geradas aleatoriamente no espaço contínuo da caixa bidimensional. Consequentemente, algumas partículas "nascem" sobrepostas ou demasiadamente próximas umas das outras. Devido ao forte termo repulsivo <math>r^{-12}</math> do potencial de Lennard-Jones, essa proximidade artificial gera uma energia positiva tendendo ao infinito. O algoritmo de Metropolis, buscando minimizar a energia, atua rejeitando as sobreposições e afastando essas partículas violentamente, o que causa o despencar imediato da curva de energia.		* '''Regime Transiente (Termalização):''' Nos passos iniciais da simulação (antes da linha tracejada vermelha marcando 5000 MCS), observa-se uma queda abrupta e colossal da energia. Isso ocorre porque as posições iniciais das partículas foram geradas aleatoriamente no espaço contínuo da caixa bidimensional. Consequentemente, algumas partículas "nascem" sobrepostas ou demasiadamente próximas umas das outras. Devido ao forte termo repulsivo <math>r^{-12}</math> do potencial de Lennard-Jones, essa proximidade artificial gera uma energia positiva tendendo ao infinito. O algoritmo de Metropolis, buscando minimizar a energia, atua rejeitando as sobreposições e afastando essas partículas violentamente, o que causa o despencar imediato da curva de energia.
	* '''Regime de Produção (Equilíbrio):''' Após o período de termalização, o sistema relaxa. A energia estabiliza-se e passa a variar em torno de um valor médio negativo. Estas ~~oscilações~~ visíveis não são ruído numérico ou erro do código, mas sim as flutuações térmicas naturais inerentes a um sistema no ensemble canônico. A magnitude dessas flutuações está intimamente ligada a propriedades macroscópicas do fluido, fornecendo a base para o cálculo da capacidade térmica a volume constante (<math>C_v</math>). Apenas os dados situados nesta região de equilíbrio são utilizados para o cálculo de médias e propriedades estruturais.		* '''Regime de Produção (Equilíbrio):''' Após o período de termalização, o sistema relaxa. A energia estabiliza-se e passa a variar em torno de um valor médio negativo. Estas variações visíveis não são ruído numérico ou erro do código, mas sim as flutuações térmicas naturais inerentes a um sistema no ensemble canônico. A magnitude dessas flutuações está intimamente ligada a propriedades macroscópicas do fluido, fornecendo a base para o cálculo da capacidade térmica a volume constante (<math>C_v</math>). Apenas os dados situados nesta região de equilíbrio são utilizados para o cálculo de médias e propriedades estruturais.

	== Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial <math>g(r)</math> ==		== Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial <math>g(r)</math> ==

Velasquez: /* Finite-Size Scaling (FSS) */

2026-07-05T20:45:08Z

Finite-Size Scaling (FSS)

← Edição anterior		Edição das 20h45min de 5 de julho de 2026
Linha 83:		Linha 83:

	O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.		O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.

			{\|
			[[Arquivo:Fss.png\|600px\|thumb\|center]]
			\|}

			Do nosso gráfico, obtivemos que a energia no limite termodinâmico é <math> E \approx -1.755 </math>.

	= Conclusão =		= Conclusão =

Velasquez: /* Metodologia */

2026-07-05T20:32:23Z

Metodologia

← Edição anterior		Edição das 20h32min de 5 de julho de 2026
Linha 29:		Linha 29:
	Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.		Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.

	Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib, Numba </i> e pode ser acessado no link a seguir:		Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib, Numba </i> e pode ser acessado no link a seguir:

			https://colab.research.google.com/drive/1PeGA2pAOo4MMLUyam2wevbuhHsaLrJAm?usp=sharing

	= Resultados e Discussão =		= Resultados e Discussão =

Velasquez: /* Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial g(r) */

2026-07-05T20:29:05Z

Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial g(r)

← Edição anterior		Edição das 20h29min de 5 de julho de 2026
Linha 54:		Linha 54:
	* '''Caroço Repulsivo (Volume Excluído):''' Para distâncias curtas (<math>r^* < 0.9</math>), observa-se que <math>g(r) = 0</math>. Isso comprova fisicamente a inacessibilidade dessa região: é a manifestação da repulsão de curto alcance, evidenciando o diâmetro efetivo das partículas onde a sobreposição das nuvens eletrônicas é proibida.		* '''Caroço Repulsivo (Volume Excluído):''' Para distâncias curtas (<math>r^* < 0.9</math>), observa-se que <math>g(r) = 0</math>. Isso comprova fisicamente a inacessibilidade dessa região: é a manifestação da repulsão de curto alcance, evidenciando o diâmetro efetivo das partículas onde a sobreposição das nuvens eletrônicas é proibida.
	* '''Ordem de Curto Alcance (Camadas de Solvatação):''' O sistema apresenta um pico primário extremamente pronunciado em torno de <math>r^* \approx 1.12</math>. Este valor coincide analiticamente com o mínimo do poço atrativo do potencial de Lennard-Jones (<math>2^{1/6}\sigma</math>). Este pico representa a primeira camada de coordenação, ou seja, a "casca" de vizinhos mais próximos que circundam uma partícula. Os picos subsequentes (perto de <math>r^* = 2.2</math> e <math>3.2</math>), com amplitudes sucessivamente menores, representam a segunda e terceira camadas de vizinhos. A presença dessas variações indica uma forte ordem de curto alcance estrutural, uma assinatura de fluidos líquidos.		* '''Ordem de Curto Alcance (Camadas de Solvatação):''' O sistema apresenta um pico primário extremamente pronunciado em torno de <math>r^* \approx 1.12</math>. Este valor coincide analiticamente com o mínimo do poço atrativo do potencial de Lennard-Jones (<math>2^{1/6}\sigma</math>). Este pico representa a primeira camada de coordenação, ou seja, a "casca" de vizinhos mais próximos que circundam uma partícula. Os picos subsequentes (perto de <math>r^* = 2.2</math> e <math>3.2</math>), com amplitudes sucessivamente menores, representam a segunda e terceira camadas de vizinhos. A presença dessas variações indica uma forte ordem de curto alcance estrutural, uma assinatura de fluidos líquidos.
	* '''Limite de Longo Alcance:''' Para grandes distâncias, as interações intermoleculares decaem e as correlações espaciais desaparecem. A função suaviza-se e tende assintoticamente a <math>g(r) = 1</math> (linha tracejada cinza), que é o comportamento estatístico homogêneo esperado para distâncias macroscopicamente grandes.		* '''Limite de Longo Alcance:''' Para grandes distâncias, as interações intermoleculares decaem e as correlações espaciais desaparecem. A função suaviza-se e tende assintoticamente a <math>g(r) = 1</math> (linha tracejada cinza), que é o comportamento estatístico homogêneo esperado para distâncias macroscopicamente grandes. As pequenas flutuações observadas nessa região se devem ao tamanho finito do sistema simulado e das estatísticas de amostragem finitas das partículas.

	== Determinação do Tempo de Correlação ==		== Determinação do Tempo de Correlação ==

Velasquez: /* Objetivos */

2026-07-05T20:26:47Z

Objetivos

← Edição anterior		Edição das 20h26min de 5 de julho de 2026
Linha 23:		Linha 23:
	=== Objetivos ===		=== Objetivos ===

	Com isso, agora buscamos estudar alguns parâmetros de um sistema simular um gás sob efeito das forças de interação entre átomos utilizando uma rede bidimensional com N partículas. Inicialmente, pretendemos implementar essa simulação para calcular a energia e o parâmetro de ordem g(r), a fim de simular esse sistema para diferentes temperaturas e identificar as fases do sistema. Em seguida, vamos analisar a série temporal da energia para calcular as barras de erros. Por fim, vamos aplicar o Finite-Size Scaling (FSS) para compreender o comportamento real do sistema no limite termodinâmico.		Com isso, agora buscamos estudar alguns parâmetros de um sistema simular um gás sob efeito das forças de interação entre átomos utilizando uma rede bidimensional com N partículas. Inicialmente, pretendemos implementar essa simulação para calcular a energia e o parâmetro de ordem g(r), a fim de simular esse sistema para diferentes temperaturas e identificar as fases do sistema. Em seguida, vamos encontrar o tempo de correlação pela função de autocorrelação e depois analisar a série temporal da energia para calcular as barras de erros. Por fim, vamos aplicar o Finite-Size Scaling (FSS) para compreender o comportamento real do sistema no limite termodinâmico.

	= Metodologia =		= Metodologia =

Velasquez: /* Conclusão */

2026-07-05T19:57:50Z

Conclusão

← Edição anterior		Edição das 19h57min de 5 de julho de 2026
Linha 84:		Linha 84:
	= Conclusão =		= Conclusão =

			Vimos que a implementação do método de Monte Carlo e do algoritmo de Metropolis foram bem sucedidos na tentativa de simular um fluido sob o potencial de Lennard-Jones, de modo que conseguimos extrair propriedades termodinâmicas do sistema. O parâmetro de ordem g(r) foi a ferramenta crucial que possibilitou a identificação das diferentes fases do sistema. Além disso, percebemos que a dinâmica de Metropolis gera amostras altamente correlacionadas, o que nos levou a identificar o tempo de correlação necessário para obter amostras independentes e a utilizar o método de análise de blocos para encontrar o erro real das amostras, provando que o erro ingênuo subestima drasticamente as incertezas das amostras. Por fim, com o FSS conseguimos encontrar o valor da energia do sistema no limite termodinâmico.

	= Referências =		= Referências =

Velasquez em 19h32min de 5 de julho de 2026

2026-07-05T19:32:52Z

← Edição anterior		Edição das 19h32min de 5 de julho de 2026
Linha 81:		Linha 81:

	O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.		O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.

			= Conclusão =


	= Referências =		= Referências =

Velasquez: /* Metodologia */

2026-07-05T19:32:12Z

Metodologia

← Edição anterior		Edição das 19h32min de 5 de julho de 2026
Linha 29:		Linha 29:
	Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.		Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.

	Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib </i> e pode ser acessado no link a seguir:		Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib, Numba </i> e pode ser acessado no link a seguir:

	= Resultados e Discussão =		= Resultados e Discussão =

Velasquez: /* Análise de Blocos */

2026-07-05T19:30:10Z

Análise de Blocos

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Linha 75:		Linha 75:
	[[Arquivo:Analisedeblocos.png\|600px\|thumb\|center]]		[[Arquivo:Analisedeblocos.png\|600px\|thumb\|center]]
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			Vemos que o valor da variância real é de <math> \sigma_{Real}^{2} \approx 25000</math>. No código, calculamos que o erro real é <math> \approx 1.589 </math>, visto que lidamos com 10000 passos salvos e também <math> erro_{Real} = ({\sigma_{Real}^{2}}/N_{dados})^{1/2} </math>. Enquanto que o erro ingênuo (o erro calculado pelo desvio padrão) foi de <math> \approx 0.101 </math>, o que deixa claro que as amostra são dependentes entre si e que não podemos usar esse método para calcular a variância e o erro.

	== Finite-Size Scaling (FSS) ==		== Finite-Size Scaling (FSS) ==

Velasquez: /* Determinação do Tempo de Correlação */

2026-07-05T19:06:49Z

Determinação do Tempo de Correlação

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Linha 64:		Linha 64:
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	Observando o gráfico, vemos que o valor de <math> t \approx 102 \ MCS </math> corresponde a o C(t) = 1/e, encontrando o tempo de correlação da simulação. Com esse valor, sabemos que a cada pelo menos 103 passos ~~obtemos uma amostra independente~~.		Observando o gráfico, vemos que o valor de <math> t \approx 102 \ MCS </math> corresponde a o C(t) = 1/e, encontrando o tempo de correlação da simulação. Com esse valor, sabemos que a cada pelo menos 103 passos para o sistema perder a maior parte da sua correlação temporal.

	Contudo, deve-se esclarecer que para obter mais precisão ainda nas nossas medidas devemos escolher amostras com <math> 2t </math> de "distância".		Contudo, deve-se esclarecer que para obter mais precisão ainda nas nossas medidas devemos escolher amostras com <math> 2t </math> de "distância".