Jhordan em 11h11min de 22 de julho de 2022

2022-07-22T11:11:10Z

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{{Ecologia| [[Modelo de Levins]] |[[Modelo de Lotka-Volterra]]}}

==Modelo logístico simples==

A equação logística pode ser escrita da seguinte forma:

<math display="block">\frac{dN}{dt}=rN\left[1-\frac{N}{K}\right]</math>

Onde <math display="inline">r</math> e <math display="inline">K</math> são as constantes de crescimento e de suporte respectivamente, <math display="inline">N</math> é a densidade populacional que tem como variável independente <math display="inline">t</math>. Há dois estados de equilíbrio: <math display="inline">N_{1}=0</math> e <math display="inline">,N_{2}=K</math>. Linearizando o sistema próximo do primeiro ponto de equilíbrio conforme pode ser visto em [[Linearização de sistemas de equações não lineares]], calculando o único termo da matriz jacobiana:

<math display="block">\frac{d\dot{N}}{dN}|_{N=0}=r</math>

Logo o sistema linearizado próximo ao ponto de equilíbrio é:

<math display="block">\begin{align}
\dot{N} & =\left(\frac{d\dot{N}}{dN}|_{N=0}\right)\left(N\right)\\
& =rN\end{align}</math>

Temos simplesmente que se <math display="inline">r>0</math>, então é um ponto de equilíbrio instável. Realizando o mesmo procedimento para analisar na vizinhança do segundo ponto:

<math display="block">\begin{align}
\dot{N} & =\left(\frac{d\dot{N}}{dN}|_{N=K}\right)\left(N\right)\\
& =-rN\end{align}</math>

Então se <math display="inline">r>0</math>, este ponto é estável. Como usa-se uma constante de crescimento <math>r>0</math>, o sistema evolui até atingir o ponto de equilíbrio de saturação <math>N=K</math>. A solução pode ser obtida através do uso do [https://www.wolfram.com/mathematica/index.html.pt-br?footer=lang Mathematica]:
parametros = Rationalize[{r -> 1, k -> 1}];
sol = NDSolve[{n'[t] == rn[t](1 - n[t]/k) /. parametros,
n[0] == 0.5}, n, {t, 0, tmax}];
Plot[n[t] /. sol, {t, 0, tmax}]

==Modelo logístico atrasado==

A equação logística assume que a taxa de variação da população dos organismos depende instantaneamente das variações no tamanho da população, porém em muitos casos, pode haver um atraso. Por exemplo, populações que armazenam nutrientes, podem não sofrer imediatamente os efeitos, mesmo se a população se tornar muito grande para a quantidade de recursos disponíveis. Por isso a equação logística pode incorporar um atraso na sua taxa de variação da seguinte maneira:

<math display="block">\frac{dN\left(t\right)}{dt}=rN\left(t\right)\left(1-\frac{N\left(t-\tau\right)}{K}\right)</math>

Onde <math display="inline">\tau</math> é o Atraso. Para facilitar, denotando então <math display="inline">N=N\left(t\right)</math> e <math display="inline">N_{\tau}=N\left(1-\tau\right)</math>:

<math display="block">\dot{N}=rN\left(1-\frac{N_{\tau}}{K}\right)</math>

Observação: As constantes poderiam ser simplificadas realizando a substituição <math display="inline">y\left(t\right)=\frac{N\left(t\right)}{K}</math> , de forma que restaria apenas a constante <math display="inline">\alpha\equiv r\tau</math>. Vale a pena ressaltar que esta equação exige que para as condições iniciais seja especificado o valor de <math display="inline">N</math> sobre todo o intervalo <math display="inline">\left[0,\tau\right]</math>. Frequentemente isso é feito considerando que <math display="inline">N</math> é constante no intervalo, <math display="inline">N=N_{0}</math> para todo <math display="inline">t\in\left[0,\tau\right]</math>. Para encontrar o equilíbrio analiticamente, tem-se então <math display="inline">N=N_{\tau}</math>, uma vez que no equilíbrio <math display="inline">N</math> não deve variar no tempo, dessa maneira o valor para <math display="inline">N</math> deve ser o mesmo, com ou sem atraso. Então:

<math display="block">0=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)</math>

Os mesmos pontos de equilíbrio discutidos anteriormente são recuperados: <math display="inline">N_{1}=0</math> e <math display="inline">N_{2}=K</math>. Plotando para <math display="inline">k=\tau=1</math>, e <math display="inline">r=1.5</math> e <math display="inline">r=1.6</math> tem-se:

[[Ficheiro:logistica.png|centro|miniaturadaimagem|549x317px|Soluções numéricas do sistema. Na esquerda superior a solução para a equação logística simples com <math>K=1</math> e <math>r>0</math>, na direita superior a solução para a equação logística com atraso para <math>K=\tau=1</math> e <math>r=1.5</math>. E embaixo também a equação logística com atraso porém para <math>r=1.6</math>.]]

</div>
Verifica-se a existência de uma [https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation bifurcação de Hopf] entre <math display="inline">r=1.5</math> e <math display="inline">r=1.6</math>, isto é, um ponto crítico no qual a estabilidade do sistema sofre uma mudança e uma solução periódica surge. Então um modelo de população com uma única espécie ainda pode ter um comportamento oscilatório. Para analisar o ponto de equilíbrio <math display="inline">N=K</math>, pode-se introduzir uma pequena perturbação <math display="inline">u</math> e verificar se o ponto no espaço de fase retorna ao ponto de equilíbrio. Então sendo <math display="inline">N\left(t\right)=K+u\left(t\right)</math>:

<math display="block">\begin{align}
\dot{N} & =rN\left(1-\frac{N_{\tau}}{K}\right)\\
\dot{u} & =r\left(K+u\right)\left(1-\frac{\left(K+u_{\tau}\right)}{K}\right)\\
& =-r\left(K+u\right)\frac{u_{\tau}}{K}\end{align}</math>

Para pequenas perturbações <math display="inline">K+u\approx K</math>, então:

<math display="block">\frac{du}{dt}=-ru_{\tau}</math>

Sendo <math display="inline">\alpha=-r</math>, é exatamente a questão discutida anteriormente ([[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas]]), quando <math>\tau=1</math>. Então há um ponto de equilíbrio estável em <math display="inline">u=0</math> se <math display="inline">-\frac{\pi}{2}<\alpha<0</math>. Ou seja, <math display="inline">N=K</math> é um ponto de equilíbrio estável para <math display="inline">0>r>\frac{\pi}{2}</math>. O que significa que em <math display="inline">r=\frac{\pi}{2}</math> o sistema perde a estabilidade, é o ponto no qual um autovalor complexo passa a ter sua parte real positiva. A bifurcação de Hopf está em <math display="inline">r=\frac{\pi}{2}</math>, exatamente neste ponto não há partes reais dos autovalores, apenas a parte imaginária do autovalor complexo e o sistema oscila em torno do ponto de equilíbrio. Para <math display="inline">r>\frac{\pi}{2}</math> o sistema tem uma solução estável periódica, uma vez que ainda que o sistema se afaste do ponto de equilíbrio, eventualmente ele volta a se aproximar, permanecendo assim em um comportamento periódico. A discussão foi feita com <math>\tau=1</math>, mas mas pode ser facilmente replicada para outro valores de interesse.

A solução numérica também pode ser obtida computacionalmente via Mathematica:
parametros = Rationalize[{r -> 1, k -> 1, tau -> 1}];
sol = NDSolve[{n'[t] == rn[t](1 - n[t - tau]/k),
n[t /; t <= tau] == 0.5} /. parametros, n, {t, 0, 20}];
Plot[n[t] /. sol, {t, 0, 20}, PlotRange -> Full]

====== Principais materiais utilizados ======

# [https://www.math.fsu.edu/~bertram/lectures/delay.pdf Delay-Differential Equations] (Richard Bertram, Universidade Estadual da Flórida)

{{Ecologia| [[Modelo de Levins]] |[[Modelo de Lotka-Volterra]]}}

Modelos Logísticos - Histórico de revisão

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