Modelo de Turing - Histórico de revisão

Pedhmendes em 19h19min de 26 de novembro de 2020

2020-11-26T19:19:02Z

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	Isso significa que a difusão de <math>v</math> deve ser quase cinco vezes maior que a difusão de <math>u</math> para gerar os padrões. A difusão de <math>u</math> age mais localmente enquanto a de <math>v</math> age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de <math>\rho = 4.5</math>. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing <ref name=tur_paper> A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis,”Philosophical Transactions ofthe Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, vol. 237, no. 641, pp.37–72, 1952</ref>.		Isso significa que a difusão de <math>v</math> deve ser quase cinco vezes maior que a difusão de <math>u</math> para gerar os padrões. A difusão de <math>u</math> age mais localmente enquanto a de <math>v</math> age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de <math>\rho = 4.5</math>. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing <ref name=tur_paper> A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis,”Philosophical Transactions ofthe Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, vol. 237, no. 641, pp.37–72, 1952</ref>.

			==Conclusão==
			Partindo das equações diferenciais que caracterizam o modelo de Turing, analisamos os pontos de estabilidade no caso específico <math>D_u=D_v=0</math> e no caso mais geral, utilizando os autovalores da matriz <math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg\|_{f = f_{eq}}</math>. Com isso, foi obtido uma equação que determina se os parâmetros desejados formarão padrões de Turing. Descrevemos a implementação de um algoritmo que aplica o método FTCS para encontrar soluções numericamente. Para alguns parâmetros selecionados, foram feitas simulações do modelo para a concentração de <math>u</math> e <math>v</math>, nas quais notou-se a formação de padrões que dependem dos parâmetros. Acima, foram deixados os programas computacionais utilizados na resolução numérica do método de Turing.

	== Programas Utilizados ==		== Programas Utilizados ==
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	[[ Simulação do Modelo de Turing ]]		[[ Simulação do Modelo de Turing ]]


	~~==Conclusão==~~
	Partindo das equações diferenciais que caracterizam o modelo de Turing, analisamos os pontos de estabilidade no caso específico <math>D_u=D_v=0</math> e no caso mais geral, utilizando os autovalores da matriz <math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg\|_{f = f_{eq}}</math>. Com isso, foi obtido uma equação que determina se os parâmetros desejados formarão padrões de Turing. Descrevemos a implementação de um algoritmo que aplica o método FTCS para encontrar soluções numericamente. Para alguns parâmetros selecionados, foram feitas simulações do modelo para a concentração de <math>u</math> e <math>v</math>, nas quais notou-se a formação de padrões que dependem dos parâmetros. Acima, foram deixados os programas computacionais utilizados na resolução numérica do método de Turing.

Pedhmendes em 19h01min de 26 de novembro de 2020

2020-11-26T19:01:34Z

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	~~'''EM CONSTRUÇÃO'''~~

	==Equações de Turing==		==Equações de Turing==

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-26T03:34:49Z

Resultados e Discussão

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	!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4}, 6 \times 10^{-4})</math>		!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4}, 6 \times 10^{-4})</math>
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	\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|~~380px~~]]		\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|500px]]
	\|[[Arquivo:v_vvv1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|~~380px~~]]		\|[[Arquivo:v_vvv1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|500px]]
	\|-		\|-
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	!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>		!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|~~380px~~]]		\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|500px]]
	\|[[Arquivo:v2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|~~380px~~]]		\|[[Arquivo:v2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|500px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Jcrodrigues em 02h17min de 25 de novembro de 2020

2020-11-25T02:17:47Z

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Linha 241:		Linha 241:

	[[ Simulação do Modelo de Turing ]]		[[ Simulação do Modelo de Turing ]]


			==Conclusão==
			Partindo das equações diferenciais que caracterizam o modelo de Turing, analisamos os pontos de estabilidade no caso específico <math>D_u=D_v=0</math> e no caso mais geral, utilizando os autovalores da matriz <math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg\|_{f = f_{eq}}</math>. Com isso, foi obtido uma equação que determina se os parâmetros desejados formarão padrões de Turing. Descrevemos a implementação de um algoritmo que aplica o método FTCS para encontrar soluções numericamente. Para alguns parâmetros selecionados, foram feitas simulações do modelo para a concentração de <math>u</math> e <math>v</math>, nas quais notou-se a formação de padrões que dependem dos parâmetros. Acima, foram deixados os programas computacionais utilizados na resolução numérica do método de Turing.


	== Referências ==		== Referências ==

	<references/>		<references/>

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:46:26Z

Resultados e Discussão

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Linha 173:		Linha 173:


	Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra ~~simulação das concentrações~~ de ~~<math>u</math> e de <math>v</math> na rede <math>100 \times 100</math> com~~ <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>, que ~~também respeita~~ a desigualdade ~~necessária para formar os padrões.~~		Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra escolha de constantes é <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>. Verificando que a desigualdade é respeitada:


			<math>a D_v + d D_u = 4 \times 10^{-4}</math>

			<math>2\sqrt{D_u D_v \text{det}(J)} \approx 3.162 \times 10^{-4}</math>


			Novamente respeitamos a desigualdade. Na rede <math>100 \times 100 </math> obtemos a seguinte simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math>.

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:37:39Z

Resultados e Discussão

← Edição anterior		Edição das 16h37min de 24 de novembro de 2020
Linha 203:		Linha 203:


	Isso significa que a difusão de <math>v</math> deve ser cinco vezes maior que a difusão de <math>u</math> para gerar os padrões. A difusão de <math>u</math> age mais localmente enquanto a de <math>v</math> age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de <math>\rho = 4.5</math>. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing <ref name=tur_paper> A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis,”Philosophical Transactions ofthe Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, vol. 237, no. 641, pp.37–72, 1952</ref>.		Isso significa que a difusão de <math>v</math> deve ser quase cinco vezes maior que a difusão de <math>u</math> para gerar os padrões. A difusão de <math>u</math> age mais localmente enquanto a de <math>v</math> age em áreas maiores. Uma transição de fase é observada perto de <math>\rho = 4.5</math>. Essa transição de fase entre homogenização e formação de padrões é chamada de Bifurcação de Turing <ref name=tur_paper> A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis,”Philosophical Transactions ofthe Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, vol. 237, no. 641, pp.37–72, 1952</ref>.

	== Programas Utilizados ==		== Programas Utilizados ==

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:36:55Z

Resultados e Discussão

← Edição anterior		Edição das 16h36min de 24 de novembro de 2020
Linha 162:		Linha 162:


	~~Assim a~~ desigualdade é sim respeitada. Abaixo podemos ver a simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math>.		A desigualdade é sim respeitada. Abaixo podemos ver a simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math>.

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:35:57Z

Resultados e Discussão

← Edição anterior		Edição das 16h35min de 24 de novembro de 2020
Linha 154:		Linha 154:

	== Resultados e Discussão==		== Resultados e Discussão==
			Na rede <math>100 \times 100</math> escolhendo <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4}, 6 \times 10^{-4})</math>, podemos verificar se a desigualdade é respeitada.

	Abaixo podemos visualizar uma simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math> na rede <math>100 \times 100</math> com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001 , 0.001)</math>, que respeita a desigualdade necessária para formar os padrões.

			<math>a D_v + d D_u = 4.5 \times 10^{-4}</math>

			<math>2\sqrt{D_u D_v \text{det}(J)} \approx 3.464 \times 10^{-4}</math>


			Assim a desigualdade é sim respeitada. Abaixo podemos ver a simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math>.

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (~~0.5~~, -1, ~~0.75~~, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (~~0.0001~~ , ~~0.001~~)</math>		!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4}, 6 \times 10^{-4})</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]
	\|[[Arquivo:v2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:v_vvv1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|380px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}


	Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math> na rede <math>100 \times 100</math>~~. Agora~~ <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (~~0.0001~~, ~~0.0006~~)</math>, que também respeita a desigualdade necessária para formar os padrões.		Quanto mais amarelo maior a densidade, assim como quanto mais roxo menor a densidade. Outra simulação das concentrações de <math>u</math> e de <math>v</math> na rede <math>100 \times 100</math> com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>, que também respeita a desigualdade necessária para formar os padrões.


	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (~~0.0001~~, ~~0.0006~~)</math>		!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (10^{-4} , 10^{-3})</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:~~u_uuu1~~.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]
	\|[[Arquivo:~~v_vvv1~~.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:v2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|380px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:16:26Z

Resultados e Discussão

← Edição anterior		Edição das 16h16min de 24 de novembro de 2020
Linha 159:		Linha 159:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|~~Simulação do~~ Modelo de Turing ~~para~~ <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001 , 0.001)</math>		!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001 , 0.001)</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]
Linha 171:		Linha 171:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|~~Simulação do~~ Modelo de Turing ~~para~~ <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001, 0.0006)</math>		!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001, 0.0006)</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]

Pedhmendes: /* Resultados e Discussão */

2020-11-24T19:15:29Z

Resultados e Discussão

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Linha 170:	Linha 170:


		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
		!colspan="2"\|Simulação do Modelo de Turing para <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001, 0.0006)</math>
		\|-
		\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]
		\|[[Arquivo:v_vvv1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>v</math>.\|380px]]
		\|-
		\|}

← Edição anterior		Edição das 16h16min de 24 de novembro de 2020
Linha 159:		Linha 159:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|~~Simulação do~~ Modelo de Turing ~~para~~ <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001 , 0.001)</math>		!colspan="2"\|Modelo de Turing com <math>(a, b, c, d) = (0.5, -1, 0.75, -1;)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001 , 0.001)</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u2.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]
Linha 171:		Linha 171:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|~~Simulação do~~ Modelo de Turing ~~para~~ <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001, 0.0006)</math>		!colspan="2"\|Modelo Turing com <math>(a, b, c, d) = (1, -1, 2, -1.5)</math> e <math>(D_u, D_v) = (0.0001, 0.0006)</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]		\|[[Arquivo:u_uuu1.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação do Modelo de Turing da concentração de <math>u</math>.\|380px]]