Modelo de Potts 2D - Histórico de revisão

Joaomesquita em 13h43min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T13:43:33Z

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	Aqui é importante ressaltar que tivemos que mudar a quantidade de passos de Monte Carlo para algumas das simulações para que o sistema alcançasse o estado estcionário com o algoritmo de banho térmico. Isso porque o algoritmo de banho térmico favorece a formação de faixas dominadas por dois ou mais <math>q</math>, o que faz com que o sistema demore muito até que uma dessas faixas consiga alinhar a(s) outra(s) e então levar o sistema para o estado estacionário.
	Quando as simulações passam por esses casos, observamos uma distribuição de energia com duas curvas normais: uma para o estado transiente do sistema em que as faixas causam um equilíbrio instável para o sistema e outra de menor energia que representa o estado de equilíbrio do sistema após uma das faixas alinhar a outra. Veja:

	[[Arquivo: histograma_HB_Q5_T07.png\|thumb\|center\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Histograma para <math> Q = 5</math> e <math>T = 0.7</math> executado com o algoritmo de banho térmico mostrando a formação de duas curvas normais.\|500px]]

	Podemos ver que os dados resultantes das simulações para o modelo de Potts com <math>Q = 2</math> de fato recriam o comportamento esperado pelo modelo de Ising. Observamos que tanto o calor específico como a susceptibilidade magnética aumentam drásticamente conforme se aproximam de <math>T = 1,1</math>. Como foi elaborado acima, o modelo de Ising tem a hamiltoniana igual a hamiltoniana do modelo de Potts a menos de uma constante, que é equivalente a <math>\sum_{\langle i, j\rangle}\frac{J}{2}</math>, o que corrobora que a temperatura crítica para o modelo de Potts, com <math>Q = 2</math> seja aproximadamente <math>T_c \approx 1,1</math>.		Podemos ver que os dados resultantes das simulações para o modelo de Potts com <math>Q = 2</math> de fato recriam o comportamento esperado pelo modelo de Ising. Observamos que tanto o calor específico como a susceptibilidade magnética aumentam drásticamente conforme se aproximam de <math>T = 1,1</math>. Como foi elaborado acima, o modelo de Ising tem a hamiltoniana igual a hamiltoniana do modelo de Potts a menos de uma constante, que é equivalente a <math>\sum_{\langle i, j\rangle}\frac{J}{2}</math>, o que corrobora que a temperatura crítica para o modelo de Potts, com <math>Q = 2</math> seja aproximadamente <math>T_c \approx 1,1</math>.
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	Podemos observar que no caso do algoritmo de Metropolis o sistema tem extrema dificuldade de trocar de estado, ficando quase constantemente no mesmo valor de energia. O algoritmo de banho térmico porém apresenta uma flutuação muito mais coerente com a distribuição de Boltzmann para o sistema nessa temperatura. Isso mostra que para baixas temperaturas o algoritmo do banho térmico é muito mais eficiente que o de Metropolis, que por sua vez é impraticável para temperaturas muito baixas.		Podemos observar que no caso do algoritmo de Metropolis o sistema tem extrema dificuldade de trocar de estado, ficando quase constantemente no mesmo valor de energia. O algoritmo de banho térmico porém apresenta uma flutuação muito mais coerente com a distribuição de Boltzmann para o sistema nessa temperatura. Isso mostra que para baixas temperaturas o algoritmo do banho térmico é muito mais eficiente que o de Metropolis, que por sua vez é impraticável para temperaturas muito baixas.

			É importante ressaltar que tivemos que mudar a quantidade de passos de Monte Carlo para algumas das simulações para que o sistema alcançasse o estado estcionário com o algoritmo de banho térmico. Isso porque o algoritmo de banho térmico favorece a formação de faixas dominadas por dois ou mais <math>q</math>, o que faz com que o sistema demore muito até que uma dessas faixas consiga alinhar a(s) outra(s) e então levar o sistema para o estado estacionário.
			Quando as simulações passam por esses casos, observamos uma distribuição de energia com duas curvas normais: uma para o estado transiente do sistema em que as faixas causam um equilíbrio instável para o sistema e outra de menor energia que representa o estado de equilíbrio do sistema após uma das faixas alinhar a outra. Veja:

			[[Arquivo: histograma_HB_Q5_T07.png\|thumb\|center\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Histograma para <math> Q = 5</math> e <math>T = 0.7</math> executado com o algoritmo de banho térmico mostrando a formação de duas curvas normais.\|500px]]

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"

Joaomesquita em 13h39min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T13:39:16Z

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			Podemos observar que no caso do algoritmo de Metropolis o sistema tem extrema dificuldade de trocar de estado, ficando quase constantemente no mesmo valor de energia. O algoritmo de banho térmico porém apresenta uma flutuação muito mais coerente com a distribuição de Boltzmann para o sistema nessa temperatura. Isso mostra que para baixas temperaturas o algoritmo do banho térmico é muito mais eficiente que o de Metropolis, que por sua vez é impraticável para temperaturas muito baixas.

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"

Joaomesquita em 13h24min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T13:24:25Z

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	\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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			\|[[Arquivo: mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
	\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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			\|[[Arquivo: mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
	\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	De acordo com a previsão de Barkema<ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref> a transição de fase para <math>Q > 4</math> passa a ser de primeira ordem, e nossos resultados estão de acordo com isso, pois há uma variação muito mais brusca nas curvas das energias médias do sistema em comparação às variações para <math>Q \leq 4</math>, que por sua vez tem uma curva muito mais suave. Além disso, podemos ver que o comportamento dos desvios se torna muito mais único para cada <math>Q</math>, isso porque a transição ocorre de maneira contínua e assim há apenas um pico nos valores das energias, que por sua vez se torna fortemente dependente de <math>Q</math>.		De acordo com a previsão de Barkema<ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref> a transição de fase para <math>Q > 4</math> passa a ser de primeira ordem, e nossos resultados estão de acordo com isso, pois há uma variação muito mais brusca nas curvas das energias médias do sistema em comparação às variações para <math>Q \leq 4</math>, que por sua vez tem uma curva muito mais suave. Além disso, podemos ver que o comportamento dos desvios se torna muito mais único para cada <math>Q</math>, isso porque a transição ocorre de maneira contínua e assim há apenas um pico nos valores das energias, que por sua vez se torna fortemente dependente de <math>Q</math>.

			Outro comentário importante é que os resultados obtidos utilizando o algoritmo de Metropolis e o algoritmo de banho térmico são extremamente similares, apenas havendo uma diferença nos desvios das medidas, que são menores para o algoritmo de banho térmico já que este tem uma aceitação das trocas de spins muito mais alta que a do Metropolis. Isso se observa em todos os <math>Q</math>.

	=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===		=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===

Joaomesquita em 13h03min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T13:03:49Z

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	De acordo com a previsão de Barkema<ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref> a transição de fase para <math>Q > 4</math> passa a ser de primeira ordem, e nossos resultados ~~corroboram~~ com isso, pois há uma variação muito mais brusca nas curvas das energias médias do sistema em comparação às variações para <math>Q \leq </math>, que por sua vez tem uma curva muito mais suave. Além disso, podemos ver que o comportamento dos desvios se torna muito mais único para cada <math>Q</math>, isso porque a transição ocorre de maneira contínua e assim há apenas um pico nos valores das energias, que por sua vez se torna fortemente dependente de <math>Q</math>.		De acordo com a previsão de Barkema<ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref> a transição de fase para <math>Q > 4</math> passa a ser de primeira ordem, e nossos resultados estão de acordo com isso, pois há uma variação muito mais brusca nas curvas das energias médias do sistema em comparação às variações para <math>Q \leq 4</math>, que por sua vez tem uma curva muito mais suave. Além disso, podemos ver que o comportamento dos desvios se torna muito mais único para cada <math>Q</math>, isso porque a transição ocorre de maneira contínua e assim há apenas um pico nos valores das energias, que por sua vez se torna fortemente dependente de <math>Q</math>.

	=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===		=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===
	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|Algoritmo de Metropolis (azul) X Algoritmo de banho térmico para Q = 2 e T = 0.25 e T = 0.3		!colspan="2"\|Algoritmo de Metropolis (azul) X Algoritmo de banho térmico (vermelho) para Q = 2 e T = 0.25 e T = 0.3
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo: energia_metropolis_x_heathbath_Q2_T0.25.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Energia função dos passos de Monte Carlo para Q = 2, L = 64 e T = 0.25\|500px]]		\|[[Arquivo: energia_metropolis_x_heathbath_Q2_T0.25.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Energia função dos passos de Monte Carlo para Q = 2, L = 64 e T = 0.25\|500px]]
Linha 165:		Linha 165:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|Algoritmo de Metropolis (azul) X Algoritmo de banho térmico para Q = 3 e T = 0.25 e T = 0.3		!colspan="2"\|Algoritmo de Metropolis (azul) X Algoritmo de banho térmico (vermelho) para Q = 3 e T = 0.25 e T = 0.3
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	\|[[Arquivo: energia_metropolis_x_heathbath_Q3_T0.25.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Energia função dos passos de Monte Carlo para Q = 3, L = 64 e T = 0.25\|500px]]		\|[[Arquivo: energia_metropolis_x_heathbath_Q3_T0.25.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Energia função dos passos de Monte Carlo para Q = 3, L = 64 e T = 0.25\|500px]]

Joaomesquita em 12h59min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T12:59:27Z

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	=== Implementação ===		=== Implementação ===

	Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema e <math>\beta = T</math>. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou do Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de realizar uma troca.		Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema e <math>\beta = 1</math>. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou do Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de realizar uma troca.

	== Resultados ==		== Resultados ==
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			De acordo com a previsão de Barkema<ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref> a transição de fase para <math>Q > 4</math> passa a ser de primeira ordem, e nossos resultados corroboram com isso, pois há uma variação muito mais brusca nas curvas das energias médias do sistema em comparação às variações para <math>Q \leq </math>, que por sua vez tem uma curva muito mais suave. Além disso, podemos ver que o comportamento dos desvios se torna muito mais único para cada <math>Q</math>, isso porque a transição ocorre de maneira contínua e assim há apenas um pico nos valores das energias, que por sua vez se torna fortemente dependente de <math>Q</math>.

	=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===		=== Comparação entre algoritmo de Metropolis-Hasting e banho térmico para baixas temperaturas ===

Caetanopires: /* Implementação */

2021-05-25T12:31:36Z

Implementação

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	=== Implementação ===		=== Implementação ===

	Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema e <math>\beta = 1</math>. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou do Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de realizar uma troca.		Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas e <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema e <math>\beta = T</math>. Em cada passo temporal, são realizadas <math>L^2</math> iterações do algoritmo de aceitação do Metropolis ou do Banho Térmico. Definimos Passo de Monte Carlo (MCS) como cada um desses passos temporais. Em cada passo de Monte Carlo, todos os sítios tem a probabilidade de realizar uma troca.

	== Resultados ==		== Resultados ==

Joaomesquita em 12h13min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T12:13:14Z

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	\|[[Arquivo: desvio_energia_q2_.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = 2 e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_q2_.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = 2 e L = 64\|500px]]
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			\|[[Arquivo: mag_metropolis_q2.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = 2 e L = 64\|500px]]
	\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q2.png\|thumb\|center\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = 2 e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q2.png\|thumb\|center\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = 2 e L = 64\|500px]]
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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			\|[[Arquivo: mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
	\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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			\|[[Arquivo: mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
	\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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Joaomesquita em 08h09min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T08:09:13Z

← Edição anterior		Edição das 08h09min de 25 de maio de 2021
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			Note que o sistema com o algoritmo de Metropolis fica "preso" em um estado com uma faixa de <math>q = 2</math> no meio de um mar de spins <math>q = 1</math>, mas não consegue se alinhar até o final da animação. Isso representa um estado de equilíbrio instável para o modelo, mas o sistema fica preso nessa condição por limitação do algoritmo de Metropolis, que tem baixíssima eficiência para baixas temperaturas. O sistema com o algoritmo de banho térmico por outro lado consegue "dissolver" os aglomerados de spins diferentes que mostra haviam no começo da animação e no fim da animação todos os spins estão alinhados, demonstrando a melhor eficiência desse algoritmo nessas condições.

	== Otimizações Computacionais ==		== Otimizações Computacionais ==

Joaomesquita em 07h59min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T07:59:00Z

← Edição anterior		Edição das 07h59min de 25 de maio de 2021
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	Agrupamos aqui os resultados obtidos para <math>Q \leq 4</math> porque se descobriu que para o caso bidimensional o modelo de Potts muda de tipo de transição de fase para <math>Q > 4</math>, passando a apresentar uma transição de primeira ordem<ref name = ARTIGO_BARKEMA>Gerard Barkema, Jan de Boer, Numerical Study of Phase Transitions in Potts Models, 1991</ref>. Como mostrado por <ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref>, a transição de fase ocorre em temperaturas críticas que variam para cada <math>Q</math>, ~~sendo~~ aproximadamente <math>1,0</math> para <math>Q=3</math>, <math>0,9</math> para <math>Q = 4</math>, e <math>1,1</math> para <math>Q = 2</math> como dito acima.		Agrupamos aqui os resultados obtidos para <math>Q \leq 4</math> porque se descobriu que para o caso bidimensional o modelo de Potts muda de tipo de transição de fase para <math>Q > 4</math>, passando a apresentar uma transição de primeira ordem<ref name = ARTIGO_BARKEMA>Gerard Barkema, Jan de Boer, Numerical Study of Phase Transitions in Potts Models, 1991</ref>. Como mostrado por Barkema <ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref>, a transição de fase ocorre em temperaturas críticas que variam para cada <math>Q</math>, e aqui encontramos que são aproximadamente <math>1,0</math> para <math>Q=3</math>, <math>0,9</math> para <math>Q = 4</math>, e <math>1,1</math> para <math>Q = 2</math> como dito acima.

	=== Casos para Q > 4 ===		=== Casos para Q > 4 ===

Joaomesquita em 07h55min de 25 de maio de 2021

2021-05-25T07:55:34Z

← Edição anterior		Edição das 07h55min de 25 de maio de 2021
Linha 99:		Linha 99:
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	Podemos ver que os dados resultantes das simulações para o modelo de Potts com <math>Q = 2</math> de fato ~~recria~~ o comportamento esperado pelo modelo de Ising. Observamos que tanto o calor específico como a susceptibilidade magnética aumentam drásticamente conforme se aproximam de <math>T = 1,1</math>. Como foi elaborado acima, o modelo de Ising tem a hamiltoniana igual a hamiltoniana do modelo de Potts a menos de uma constante, que é equivalente a <math>\sum_{\langle i, j\rangle}\frac{J}{2}</math>, o que corrobora que a temperatura crítica para o modelo de Potts, com <math>Q = 2</math> seja aproximadamente <math>T_c \approx 1,1</math>.		Aqui é importante ressaltar que tivemos que mudar a quantidade de passos de Monte Carlo para algumas das simulações para que o sistema alcançasse o estado estcionário com o algoritmo de banho térmico. Isso porque o algoritmo de banho térmico favorece a formação de faixas dominadas por dois ou mais <math>q</math>, o que faz com que o sistema demore muito até que uma dessas faixas consiga alinhar a(s) outra(s) e então levar o sistema para o estado estacionário.
			Quando as simulações passam por esses casos, observamos uma distribuição de energia com duas curvas normais: uma para o estado transiente do sistema em que as faixas causam um equilíbrio instável para o sistema e outra de menor energia que representa o estado de equilíbrio do sistema após uma das faixas alinhar a outra. Veja:

			[[Arquivo: histograma_HB_Q5_T07.png\|thumb\|center\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Histograma para <math> Q = 5</math> e <math>T = 0.7</math> executado com o algoritmo de banho térmico mostrando a formação de duas curvas normais.\|500px]]

			Podemos ver que os dados resultantes das simulações para o modelo de Potts com <math>Q = 2</math> de fato recriam o comportamento esperado pelo modelo de Ising. Observamos que tanto o calor específico como a susceptibilidade magnética aumentam drásticamente conforme se aproximam de <math>T = 1,1</math>. Como foi elaborado acima, o modelo de Ising tem a hamiltoniana igual a hamiltoniana do modelo de Potts a menos de uma constante, que é equivalente a <math>\sum_{\langle i, j\rangle}\frac{J}{2}</math>, o que corrobora que a temperatura crítica para o modelo de Potts, com <math>Q = 2</math> seja aproximadamente <math>T_c \approx 1,1</math>.

	==== Demais casos ====		==== Demais casos ====
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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	~~\|[[Arquivo: mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]~~
	\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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	~~\|[[Arquivo: mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]~~
	\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q234.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {2,3,4} e L = 64\|500px]]
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	Agrupamos aqui os resultados obtidos para <math>Q</math>s porque se descobriu que para o caso bidimensional o modelo de Potts muda de tipo de transição de fase para <math>Q > 4</math>, passando a apresentar uma transição de primeira ordem.		Agrupamos aqui os resultados obtidos para <math>Q \leq 4</math> porque se descobriu que para o caso bidimensional o modelo de Potts muda de tipo de transição de fase para <math>Q > 4</math>, passando a apresentar uma transição de primeira ordem<ref name = ARTIGO_BARKEMA>Gerard Barkema, Jan de Boer, Numerical Study of Phase Transitions in Potts Models, 1991</ref>. Como mostrado por <ref name = ARTIGO_BARKEMA></ref>, a transição de fase ocorre em temperaturas críticas que variam para cada <math>Q</math>, sendo aproximadamente <math>1,0</math> para <math>Q=3</math>, <math>0,9</math> para <math>Q = 4</math>, e <math>1,1</math> para <math>Q = 2</math> como dito acima.

	=== Casos para Q > 4 ===		=== Casos para Q > 4 ===
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	~~\|[[Arquivo: mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]~~
	\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_metropolis_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_energia_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Calor específico em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	~~\|[[Arquivo: mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Média do valor absoluto da magnetização em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]~~
	\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]		\|[[Arquivo: desvio_mag_heatbath_q5678910.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Susceptibilidade magnética em função da temperatura para Q = {5,6,7,8,9,10} e L = 64\|500px]]
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	=== ~~.... ===~~		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
			!colspan="2"\|Animações comparando a evolução do sistema usando o algoritmo de Metropolis (esquerda) e o algoritmo de banho térmico (direita).
	~~Aqui é importante ressaltar que tivemos que mudar~~ a ~~quantidade de passos de Monte Carlo para algumas das simulações para que o~~ sistema ~~alcançasse~~ o ~~estado estcionário com~~ o algoritmo de banho térmico. ~~Isso porque~~ o algoritmo de ~~banho térmico favorece a formação de faixas dominadas por dois ou mais~~ <math>q</math>~~, o que faz com que o sistema demore muito até que uma dessas faixas consiga alinhar a outra~~ e ~~então levar o sistema para o estado estacionário~~.		\|-
	Quando as simulações acabam passando por esses casos, observamos uma distribuição de energia com duas curvas normais: uma para o estado transiente do sistema em que as duas faixas causam um equilíbrio instável para o sistema e outra de menor energia que representa o estado de equilíbrio do sistema após uma das faixas alinhar a outra. ~~Veja:~~		\|[[Arquivo: Q10_T025_MT.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Evolução do sistema com o algoritmo de Metropolis com <math>Q = 10</math> e <math>T = 0.25</math>.\|500px]]
			\|[[Arquivo: Q10_T025_HB.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Evolução do sistema com o algoritmo de banho térmico com <math>Q = 10</math> e <math>T = 0.25</math>.\|500px]]
	[[Arquivo: ~~histograma_HB_Q5_T07~~.~~png~~\|thumb~~\|center~~\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| ~~Histograma para~~ <math> Q = 5</math> e <math>T = 0.7</math> ~~executado com o algoritmo de banho térmico mostrando a formação de duas curvas normais~~.\|500px]]		\|-
			\|}

	== Otimizações Computacionais ==		== Otimizações Computacionais ==