Modelo de Potts -- 2D - Histórico de revisão

Velasquez em 16h39min de 10 de junho de 2026

2026-06-10T16:39:29Z

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	{\|		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
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	\|[[Arquivo:spin_Q2.png\|thumb\|upright=1.1\|center\|Representação dos spins para <math>Q=2</math>.\|200px]]		\|[[Arquivo:spin_Q2.png\|thumb\|upright=1.1\|center\|Representação dos spins para <math>Q=2</math>.\|200px]]
	\|[[Arquivo:spin_Q3.png\|thumb\|upright=1.2\|center\|Representação dos spins para <math>Q=3</math>.\|270px]]		\|[[Arquivo:spin_Q3.png\|thumb\|upright=1.2\|center\|Representação dos spins para <math>Q=3</math>.\|270px]]
	\|[[Arquivo:spin_Q4.png\|thumb\|upright=1.2\|center\|Representação dos spins para <math>Q=4</math>.\|240px]]		\|[[Arquivo:spin_Q4.png\|thumb\|upright=1.2\|center\|Representação dos spins para <math>Q=4</math>.\|240px]]
			\|!colspan="2"\|(É importante notar que os spins podem trocar para outros spins independentemente do ângulo entre eles)
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	<ref name = WIKI(2022)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_-_2D </ref>		<ref name = WIKI(2022)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_-_2D </ref>

Velasquez: /* Algoritmo de Banho Térmico */

2026-06-01T17:02:27Z

Algoritmo de Banho Térmico

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Linha 77:		Linha 77:
	O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (<math>i</math>), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para <math>s_i</math>. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor <math>n</math>, entre 1 e <math>q</math>, ao spin com uma probabilidade		O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo em que mudamos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (<math>i</math>), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para <math>s_i</math>. Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com os pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor <math>n</math>, entre 1 e <math>q</math>, ao spin com uma probabilidade

	<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta ~~E_m~~}} ,</math>		<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_n}} ,</math>

	onde <math>E_n</math> é a energia do sistema quando <math>s_i = n</math> e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que <math>A(\mu \rightarrow \nu) = a_{\nu}</math> e <math>A(\nu \rightarrow \mu) = a_{\mu}</math>, assim, pela descrição do algoritmo temos		onde <math>E_n</math> é a energia do sistema quando <math>s_i = n</math> e o somatório é dado em todas energias possíveis. Pelo fato desse algoritmo permitir que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que <math>A(\mu \rightarrow \nu) = a_{\nu}</math> e <math>A(\nu \rightarrow \mu) = a_{\mu}</math>, assim, pela descrição do algoritmo temos

Velasquez: /* Algoritmo de Banho Térmico */

2026-06-01T17:01:02Z

Algoritmo de Banho Térmico

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Linha 83:		Linha 83:
	<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{a_{\nu}}{a_{\mu}} = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}} \times \frac{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu}}} = e^{-\beta \Delta E}.</math>		<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{a_{\nu}}{a_{\mu}} = \frac{e^{-\beta E_{\nu}}}{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}} \times \frac{\sum_{m=1}^q e^{-\beta E_m}}{e^{-\beta E_{\mu}}} = e^{-\beta \Delta E}.</math>

	Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.		Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.

	Veremos que para valores pequenos de <math>q</math> (como <math>q = 2</math>, que é o modelo de Ising), o algoritmo de Metropolis é mais eficiente. Porém, para valores altos de <math>q</math> ou altas temperaturas o algoritmo de banho térmico é mais eficiente.

	=== O Parâmetro de Ordem e Transições de Fase ===		=== O Parâmetro de Ordem e Transições de Fase ===

Luizamossi: /* Comparação entre os casos Q <= 4 */

2026-06-01T16:33:14Z

Comparação entre os casos Q <= 4

← Edição anterior		Edição das 16h33min de 1 de junho de 2026
Linha 141:		Linha 141:

	Nos gráficos, observamos que o aumento do número de estados Q desloca o ponto de transição de fase (temperatura crítica) para valores menores: temos <math>T_c \approx 1.13</math> para Q = 2, <math>T_c \approx 1.0</math> para Q = 3 e <math>T_c \approx 0.9</math> para Q = 4.		Nos gráficos, observamos que o aumento do número de estados Q desloca o ponto de transição de fase (temperatura crítica) para valores menores: temos <math>T_c \approx 1.13</math> para Q = 2, <math>T_c \approx 1.0</math> para Q = 3 e <math>T_c \approx 0.9</math> para Q = 4.

	Na análise do Parâmetro de Ordem, vemos claramente a quebra de simetria do sistema. Em baixas temperaturas, o parâmetro tende a 1, indicando que a grande maioria dos spins da rede se alinhou em um único estado majoritário (fase ordenada). À medida que a temperatura cruza a temperatura crítica, a agitação térmica destrói essa ordem e o parâmetro cai rapidamente para zero, caracterizando a fase desordenada, onde todos os Q estados têm populações equivalentes. É importante notar que, para todos esses três casos, a transição ocorre de maneira contínua (transição de segunda ordem).

	O comportamento das flutuações corrobora essa continuidade. No gráfico de calor específico, os picos nos pontos de transição de fase se tornam cada vez mais estreitos e acentuados à medida que Q aumenta. Isso nos indica que a energia necessária para o sistema realinhar seus spins e destruir a ordem global cresce significativamente com o número de estados possíveis. A susceptibilidade magnética acompanha esse padrão, divergindo próximo à temperatura crítica devido ao surgimento de domínios de spins de todos os tamanhos, uma marca registrada de sistemas críticos. A energia do sistema reflete essa física com uma curvatura que se torna cada vez mais íngreme perto da temperatura crítica para valores maiores de Q, embora ainda sem apresentar a descontinuidade abrupta característica de transições de primeira ordem.		O comportamento das flutuações corrobora essa continuidade. No gráfico de calor específico, os picos nos pontos de transição de fase se tornam cada vez mais estreitos e acentuados à medida que Q aumenta. Isso nos indica que a energia necessária para o sistema realinhar seus spins e destruir a ordem global cresce significativamente com o número de estados possíveis. A susceptibilidade magnética acompanha esse padrão, divergindo próximo à temperatura crítica devido ao surgimento de domínios de spins de todos os tamanhos, uma marca registrada de sistemas críticos. A energia do sistema reflete essa física com uma curvatura que se torna cada vez mais íngreme perto da temperatura crítica para valores maiores de Q, embora ainda sem apresentar a descontinuidade abrupta característica de transições de primeira ordem.

Velasquez em 16h32min de 1 de junho de 2026

2026-06-01T16:32:27Z

← Edição anterior		Edição das 16h32min de 1 de junho de 2026
Linha 17:		Linha 17:
	<ref name = WIKI(2022)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_-_2D </ref>		<ref name = WIKI(2022)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_-_2D </ref>

	A energia de cada interação entre dois spins é dada pelo potencial <math> V(s_i, s_j) = -J{\delta{(s_i,s_j)}} </math>, em que <math> J </math> é a constante de interação entre os dois spins <ref name = WIKI(2020)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_2D</ref>. Esse tipo de sistema o Hamiltoniano da forma:		A energia de cada interação entre dois spins é dada pelo potencial <math> V(s_i, s_j) = -J{\delta{(s_i,s_j)}} </math>, em que <math> J </math> é a constante de interação entre os dois spins <ref name = WIKI(2020)>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Potts_2D</ref>. Esse tipo de sistema tem o Hamiltoniano na forma:

	<math> \mathcal{H} = -J\sum_{\langle i,j \rangle}{\delta{(s_i,s_j)}}</math>		<math> \mathcal{H} = -J\sum_{\langle i,j \rangle}{\delta{(s_i,s_j)}}</math>

Velasquez: /* Metodologia */

2026-05-31T23:30:55Z

Metodologia

← Edição anterior		Edição das 23h30min de 31 de maio de 2026
Linha 42:		Linha 42:
	== Metodologia ==		== Metodologia ==

	Para realizar este trabalho, utilizamos uma rede quadrada 2D de comprimento L com N=L*L spins. A rede possui condições de contorno periódicas e vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A constante de interação é <math> J = 1</math> e ~~para o banho térmico~~ <math> \beta = 1</math>.		Para realizar este trabalho, utilizamos uma rede quadrada 2D de comprimento L com N=L*L spins. A rede possui condições de contorno periódicas e vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A constante de interação é <math> J = 1</math> e <math> \beta = 1</math>.

	=== Método de Monte Carlo ===		=== Método de Monte Carlo ===

Velasquez: /* Objetivos */

2026-05-31T23:24:47Z

Objetivos

← Edição anterior		Edição das 23h24min de 31 de maio de 2026
Linha 38:		Linha 38:
	=== Objetivos ===		=== Objetivos ===

	Neste trabalho, buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico. ~~A partir deles~~, ~~comparamos a temperatura do sistema com a~~ energia, ~~em cada um dos algoritmos~~. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores. Além disso, expandimos a análise computacional para <math>Q = 6</math> e <math>Q = 7</math> a fim de investigar a mudança na natureza da transição de fase, observando o surgimento de transições de primeira ordem em contrapartida às transições contínuas observadas para <math>Q \le 4</math>.		Neste trabalho, primeiro buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico, em Q = 2. Para isso, realizamos medidas de energia e magnetização média, além da susceptibilidade magnética e calor específico. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores. Além disso, expandimos a análise computacional para <math>Q = 6</math> e <math>Q = 7</math> a fim de investigar a mudança na natureza da transição de fase, observando o surgimento de transições de primeira ordem em contrapartida às transições contínuas observadas para <math>Q \le 4</math>.

	== Metodologia ==		== Metodologia ==

Velasquez: /* Objetivos */

2026-05-31T23:14:16Z

Objetivos

← Edição anterior		Edição das 23h14min de 31 de maio de 2026
Linha 38:		Linha 38:
	=== Objetivos ===		=== Objetivos ===

	Neste trabalho, buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico. A partir deles, comparamos a temperatura do sistema com a energia, em cada um dos algoritmos. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores. Além disso, expandimos a análise computacional para $Q = 6$ e $Q = 7$ a fim de investigar a mudança na natureza da transição de fase, observando o surgimento de transições de primeira ordem em contrapartida às transições contínuas observadas para $Q \le 4$.		Neste trabalho, buscamos analisar o comportamento do sistema utilizando dois algoritmos diferentes: o Algoritmo de Metropolis-Hastings e o Algoritmo de Banho Térmico. A partir deles, comparamos a temperatura do sistema com a energia, em cada um dos algoritmos. Depois, com FSS, aplicamos o método de U4 para analisar o comportamento do sistema em diferentes temperaturas, para valores diferentes de L. Por fim, procuramos analisar a susceptibilidade magnética e o calor específico bruto, também com L de diferentes valores. Além disso, expandimos a análise computacional para <math>Q = 6</math> e <math>Q = 7</math> a fim de investigar a mudança na natureza da transição de fase, observando o surgimento de transições de primeira ordem em contrapartida às transições contínuas observadas para <math>Q \le 4</math>.

	== Metodologia ==		== Metodologia ==

Velasquez: /* Conclusões */

2026-05-29T23:06:03Z

Conclusões

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Linha 205:		Linha 205:
	== Conclusões ==		== Conclusões ==

	A partir da simulação do modelo de Potts em duas dimensões, foi possível validar a eficácia e as diferenças entre os algoritmos de Metropolis e Banho Térmico. A comparação evidenciou que, enquanto o algoritmo de Metropolis é adequado para valores baixos de Q (como Q = 2) e altas temperaturas, o Banho Térmico se mostrou mais vantajoso para contornar a baixa taxa de aceitação em regimes de alta frustração (Q elevados ou baixas temperaturas), convergindo mais rapidamente para o equilíbrio. Contudo, observamos alguns problemas nas simulações com o Banho Térmico em Q's e T's baixos, mas que acreditamos ~~poderem~~ ser contornados se o tempo de simulação fosse ~~aumentado~~.		A partir da simulação do modelo de Potts em duas dimensões, foi possível validar a eficácia e as diferenças entre os algoritmos de Metropolis e Banho Térmico. A comparação evidenciou que, enquanto o algoritmo de Metropolis é adequado para valores baixos de Q (como Q = 2) e altas temperaturas, o Banho Térmico se mostrou mais vantajoso para contornar a baixa taxa de aceitação em regimes de alta frustração (Q elevados ou baixas temperaturas), convergindo mais rapidamente para o equilíbrio. Contudo, observamos alguns problemas nas simulações com o Banho Térmico em Q's e T's baixos, mas que acreditamos que podem ser contornados se o tempo de simulação fosse maior.

	A análise feita para Q <= 4 confirmou as expectativas teóricas, mostrando que o aumento do número de estados desloca a temperatura crítica para valores menores e torna as curvas de transição de fase mais abruptas. O modelo Q = 2 reproduziu o que esperávamos do modelo de Ising, com a temperatura crítica convergindo para o valor analítico já conhecido.		A análise feita para Q <= 4 confirmou as expectativas teóricas, mostrando que o aumento do número de estados desloca a temperatura crítica para valores menores e torna as curvas de transição de fase mais abruptas. O modelo Q = 2 reproduziu o que esperávamos do modelo de Ising, com a temperatura crítica convergindo para o valor analítico já conhecido.

Velasquez: /* Discrepâncias com o Banho Térmico */

2026-05-29T23:05:28Z

Discrepâncias com o Banho Térmico

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	Observamos que, diferentemente do que acontece em T=0.6 e T=0.8, em T=0.7 o sistema atinge um estado em que os dois grandes domínios de spins coexistem. Isso esclarece o porquê da energia média em 0.7 ser um pouco maior com o banho térmico do que com o metropolis nesse ponto. Além disso, também entendemos a magnetização média ser <math>\approx 0.5</math> em T=0.7, ao invés de 1 ou 0 como o que é observado para as simulações com <math> T < T_C </math>. Da mesma forma, do gráfico da susceptibilidade magnética podemos entender o que acontece em T=0.7. Como a susceptibilidade magnética é alta, ~~acreditamos~~ que isso acontece aleatoriamente, e ~~porque~~ o algoritmo de Banho Térmico atua localmente, ele não consegue desmanchar completamente esses domínios se o sistema atinge esse ponto em <math> T < T_C </math>.		Observamos que, diferentemente do que acontece em T=0.6 e T=0.8, em T=0.7 o sistema atinge um estado em que os dois grandes domínios de spins coexistem. Isso esclarece o porquê da energia média em 0.7 ser um pouco maior com o banho térmico do que com o metropolis nesse ponto. Além disso, também entendemos a magnetização média ser <math>\approx 0.5</math> em T=0.7, ao invés de 1 ou 0 como o que é observado para as simulações com <math> T < T_C </math>. Da mesma forma, do gráfico da susceptibilidade magnética podemos entender o que acontece em T=0.7. Como a susceptibilidade magnética é alta, a nossa hipótese é de que isso acontece aleatoriamente, e já que o algoritmo de Banho Térmico atua localmente, ele não consegue desmanchar completamente esses domínios se o sistema atinge esse ponto em <math> T < T_C </math>. acreditamos que isso pode ser contornado aumentando o tempo total de simulação, esperando que eventualmente um desses domínios tome conta do sistema.

	Não foi possível colocar aqui os gif's para T's maiores, mas podemos dizer que para T próximo da temperatura crítica, os spins que são a maioria na rede trocam: em dado momento são os spins 0, enquanto em outros momentos são os spins 1 que estão em maioria. Para temperaturas muito altas, o sistema tem aproximadamente o mesmo número de spins de cada tipo, de modo que a magnetização média é próxima de 0.		Não foi possível colocar aqui os gif's para T's maiores, mas podemos dizer que para T próximo da temperatura crítica, os spins que são a maioria na rede trocam: em dado momento são os spins 0, enquanto em outros momentos são os spins 1 que estão em maioria. Para temperaturas muito altas, o sistema tem aproximadamente o mesmo número de spins de cada tipo, de modo que a magnetização média é próxima de 0.