Modelo de Lotka-Volterra - Histórico de revisão

Jhordan: /* Versão adimensional */

2022-11-10T03:42:37Z

Versão adimensional

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	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	\frac{d}{d\widehat{t}}n & =n-np\\		\frac{d n}{d\widehat{t}} & =n-np\\
	\frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}\frac{d}{c}pn-\alpha p		\frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}\frac{d}{c}pn-\alpha p
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Linha 224:		Linha 224:

	<math display="block">K=\alpha n+p+\ln\left(n^{\alpha}p\right)</math>		<math display="block">K=\alpha n+p+\ln\left(n^{\alpha}p\right)</math>



	== Referências ==		== Referências ==

Jhordan em 03h41min de 10 de novembro de 2022

2022-11-10T03:41:38Z

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 {{Ecologia| [[AC: Jogo da Vida | Jogo da Vida]]|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}
 No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
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 Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
 === Principais materiais utilizados ===

Jhordan em 11h11min de 22 de julho de 2022

2022-07-22T11:11:48Z

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	{{Ecologia\| [[~~Modelos Logísticos~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}		{{Ecologia\| [[AC: Jogo da Vida \| Jogo da Vida]]\|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

	No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:		No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
Linha 172:		Linha 172:
	=== Citações ===		=== Citações ===
	<references />		<references />
			{{Ecologia\| [[AC: Jogo da Vida \| Jogo da Vida]]\|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}
	{{Ecologia\| [[~~Modelos Logísticos~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

Jhordan em 00h51min de 3 de maio de 2021

2021-05-03T00:51:34Z

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	{{Ecologia\| [[~~Modelo de Levins~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}		{{Ecologia\| [[Modelos Logísticos]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

	No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:		No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
Linha 173:		Linha 173:
	<references />		<references />

	{{Ecologia\| [[~~Modelo de Levins~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}		{{Ecologia\| [[Modelos Logísticos]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

Jhordan em 22h46min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T22:46:38Z

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	{{Ecologia\| [[~~Métodos~~ de ~~Lyapunov~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}		{{Ecologia\| [[Modelo de Levins]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

	No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:		No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
Linha 173:		Linha 173:
	<references />		<references />

	{{Ecologia\| [[~~Métodos~~ de ~~Lyapunov~~]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}		{{Ecologia\| [[Modelo de Levins]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]]}}

Jhordan em 22h30min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T22:30:19Z

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	Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.		Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.

	<div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png\|miniaturadaimagem\|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.~~alt=~~\|300x300px]]</div>		<div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png\|miniaturadaimagem\|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.\|300x300px]]</div>

	=== Segundo método de Lyapunov ===		=== Segundo método de Lyapunov ===

Jhordan em 22h19min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T22:19:47Z

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	<math display="block">-\left(a-\lambda\right)\left(-c-\lambda\right)=0</math><math display="block">\left(a-\lambda\right)\left(c+\lambda\right)=0</math>		<math display="block">-\left(a-\lambda\right)\left(-c-\lambda\right)=0</math><math display="block">\left(a-\lambda\right)\left(c+\lambda\right)=0</math>



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	Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.		Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.

	~~Outro~~ exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]].		=== Solução numérica ===

			Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.

	=== Principais materiais utilizados ===		=== Principais materiais utilizados ===

Jhordan em 22h18min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T22:18:16Z

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	Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.		Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.

			Outro exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]].

	=== Principais materiais utilizados ===		=== Principais materiais utilizados ===

Jhordan em 21h09min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T21:09:00Z

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	Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.		Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.

	<div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png\|miniaturadaimagem\|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.]]</div>		<div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png\|miniaturadaimagem\|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.alt=\|300x300px]]</div>

	=== Segundo método de Lyapunov ===		=== Segundo método de Lyapunov ===

Jhordan em 21h01min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T21:01:25Z

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