Modelo de Levins aprimorado para 3 espécies - Histórico de revisão

Jhordan em 00h16min de 29 de abril de 2021

2021-04-29T00:16:42Z

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	==== Análise dos pontos de equilíbrio====		==== Análise dos pontos de equilíbrio====

	Utilizando o software [https://www.wolfram.com/mathematica/index.html.pt-br?footer=lang Mathematica] ~~para~~ obter os pontos de equilíbrio, ~~então obtém-se que~~ há 10 pontos de equilíbrio distribuídos da seguinte forma:		Utilizando o software [https://www.wolfram.com/mathematica/index.html.pt-br?footer=lang Mathematica] pode-se obter os pontos de equilíbrio. Para este conjunto de equações diferenciais, de maneira geral, há 10 pontos de equilíbrio distribuídos da seguinte forma:
	[[Ficheiro:pts_es.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio estáveis à direita e os correspondente autovalores à esquerda.]]		[[Ficheiro:pts_es.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio estáveis à direita e os correspondente autovalores à esquerda.]]
	* 1 ponto que nenhuma espécie sobrevive <math display="inline">\left(0,0,0\right)</math>;		*1 ponto que nenhuma espécie sobrevive <math display="inline">\left(0,0,0\right)</math>;
	*1 ponto que apenas o guanaco sobrevive: <math display="inline">\left(x_{j},0,0\right)</math>;		*1 ponto que apenas o guanaco sobrevive: <math display="inline">\left(x_{j},0,0\right)</math>;
	*1 ponto em que sobrevive apenas a ovelha: <math display="inline">\left(0,y_{j},0\right)</math>;		*1 ponto em que sobrevive apenas a ovelha: <math display="inline">\left(0,y_{j},0\right)</math>;
	*1 ponto em que sobrevive apenas presas: <math display="inline">\left(x_{j},y_{j},0\right)</math>;		*1 ponto em que sobrevive apenas presas: <math display="inline">\left(x_{j},y_{j},0\right)</math>;
	* 2 pontos que sobrevivem apenas o guanaco e a puma <math display="inline">\left(x_{j},0,z_{j}\right)</math>;		*2 pontos que sobrevivem apenas o guanaco e a puma <math display="inline">\left(x_{j},0,z_{j}\right)</math>;
	*2 pontos que sobrevivem apenas a ovelha e a puma <math display="inline">\left(0,y_{j},z_{j}\right)</math>;		*2 pontos que sobrevivem apenas a ovelha e a puma <math display="inline">\left(0,y_{j},z_{j}\right)</math>;
	*2 ponto que todas espécies sobrevivem <math display="inline">\left(x_{j},y_{j},z_{j}\right)</math>.		*2 ponto que todas espécies sobrevivem <math display="inline">\left(x_{j},y_{j},z_{j}\right)</math>.
	Para ~~conseguirmos analisar melhor então~~, devido a complexidade dos pontos, será utilizado o seguinte conjunto de parâmetros: <math>c_1=0.2</math>,<math>c_2=0.4</math>, <math>c_y=0.06</math>, <math>e_1=0.05</math>, <math>e_2=0.01</math>, <math>\mu_1=0.2</math> e <math>\mu_2=0.8</math>. Pode-se ~~ver~~ que a destruição do sistema <math>D</math> foi mantida como variável. Utilizando então o método de linearização ~~pela~~ matriz Jacobiana, tem-se 5 pontos ~~no qual apresentam~~ autovalores negativos ~~para~~ alguma faixa de valores de <math>D</math>. Especificamente:
			Para que seja possível efetuar uma análise, devido a complexidade dos pontos, será utilizado o seguinte conjunto de parâmetros: <math>c_1=0.2</math>,<math>c_2=0.4</math>, <math>c_y=0.06</math>, <math>e_1=0.05</math>, <math>e_2=0.01</math>, <math>\mu_1=0.2</math> e <math>\mu_2=0.8</math>. Pode-se perceber que a destruição do sistema <math>D</math> foi mantida como variável. Utilizando-se então o método de linearização da matriz Jacobiana, tem-se 5 pontos que possuem todos os autovalores negativos em alguma faixa de valores de <math>D</math>. Especificamente:
	[[Ficheiro:pts_ins.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio instáveis à direita e os correspondente autovalores à esquerda.]]		[[Ficheiro:pts_ins.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio instáveis à direita e os correspondente autovalores à esquerda.]]
	*<math display="inline">D<0.35</math>: Guanaco e puma sobrevivem:		*<math display="inline">D<0.35</math>: Guanaco e puma sobrevivem:
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	*<math display="inline">0.975<D<1</math>: Nenhuma espécie sobrevive.		*<math display="inline">0.975<D<1</math>: Nenhuma espécie sobrevive.

	~~Temos mais~~ 2 pontos de equilíbrio que ainda são estados possíveis, mas ~~tem~~ ao menos um autovalor positivo, isto é, são pontos de equilíbrio instável. ~~Porém elas também~~ possuem ~~ao menos um autovalor negativo~~, o que implica que se o sistema estiver ~~exatamente nesta direção~~ (~~dada~~ pelo ~~autovetor~~ correspondente ao autovalor) vai se aproximar do ponto de equilíbrio. O primeiro ponto é um ponto de estabilidade em uma situação sem guanacos, os 2 autovetores com autovalores negativos ~~também~~ estão no plano <math display="inline">x_{2}\times y</math> com <math display="inline">x_{1}=0</math>, ou seja, um sistema sem guanacos se aproximaria deste ponto de equilíbrio.		2 pontos de equilíbrio que ainda são estados possíveis, mas posuem ao menos um autovalor positivo, isto é, são pontos de equilíbrio instável. Estes pontos não possuem todos os autovalores positivo, o que implica que se o sistema estiver certas direções (dadas pelo autovetores correspondente aos autovalor negativo) vai se aproximar do ponto de equilíbrio. O primeiro ponto é um ponto de estabilidade em uma situação sem guanacos, os 2 autovetores com autovalores negativos estão no plano <math display="inline">x_{2}\times y</math> com <math display="inline">x_{1}=0</math>, ou seja, um sistema sem guanacos se aproximaria deste ponto de equilíbrio.


	~~E o segundo é um ponto de equilíbrio apenas com guanacos. Mas temos diferentes comportamentos em cada faixa de <math display="inline">D</math>. Em um~~
	[[Ficheiro:pts_ss.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio que não fazem sentido ecologicamente à direita e os correspondentes autovalores à esquerda.]]		[[Ficheiro:pts_ss.png\|miniaturadaimagem\|Posição dos pontos de equilíbrio que não fazem sentido ecologicamente à direita e os correspondentes autovalores à esquerda.]]
	primeiro momento <math display="inline">\left(D<D_{1}\right)</math> os autovetores de autovalor negativo estão em um plano sem predador <math display="inline">x_{1}\times x_{2}</math>. Em um segundo momento <math display="inline">\left(D_{1}<D<D_{2}\right)</math> temos apenas um autovetor apontando no eixo dos guanacos, por fim <math display="inline">D>D_{2}</math> sem ovelhas, isto é, os 2 autovetores estão no plano <math display="inline">x_{1}\times y</math>. Além disso, como comentamos, o primeiro ponto deixa de ser estável a partir de <math display="inline">0.35</math>, este continua sendo um ponto de equilíbrio, apresentando os 2 autovetores com o autovalor negativo no plano <math display="inline">x_{1}\times y</math>, isto é, se não existir ovelhas, é um ponto de estabilidade. Em todo caso, podemos ver que ambos se comportam como estável apenas em situações em que alguma espécie está extinta, ou seja quando já temos um sistema de duas espécies.

	~~Algo interessante~~ é que os pontos de equilíbrio fora do ’volume de estados possíveis’ e que possuem algum autovalor negativo, a direção ~~em que~~ o sistema se aproximaria deste ponto, não passa pelo volume de estados possíveis. Por exemplo, para <math display="inline">D=0.8</math> há um ponto de equilíbrio em <math display="inline">\left(0,0.31,-0.068\right)</math>, o que não é aceitável por possuir uma população de predador negativa. Porém o seu autovalor negativo ~~é <math display="inline">-0.023</math>, com~~ o autovetor <math display="inline">\left(-0.29,0.,0.95\right)</math>, ou seja, o sistema nessa direção se aproxima deste ponto de equilíbrio. Porém esta direção não passa pelo volume de estados aceitáveis.		E o segundo ponto tem diferentes comportamentos para diferentes faixas de <math display="inline">D</math>. Em um primeiro momento <math display="inline">\left(D<D_{1}\right)</math> os autovetores de autovalor negativo estão em um plano sem predador <math display="inline">x_{1}\times x_{2}</math>. Em um segundo momento <math display="inline">\left(D_{1}<D<D_{2}\right)</math> temos apenas um autovetor apontando no eixo dos guanacos, por fim <math display="inline">D>D_{2}</math> sem ovelhas, isto é, os 2 autovetores estão no plano <math display="inline">x_{1}\times y</math>. Além disso, como comentamos, o primeiro ponto deixa de ser estável a partir de <math display="inline">0.35</math>, este continua sendo um ponto de equilíbrio, apresentando os 2 autovetores com o autovalor negativo no plano <math display="inline">x_{1}\times y</math>, isto é, se não existir ovelhas, é um ponto de estabilidade. Em todo caso, podemos ver que ambos se comportam como estável apenas em situações em que alguma espécie está extinta, ou seja quando já temos um sistema de duas espécies.
	<div class="center">[[Ficheiro:vol.png\|centro\|miniaturadaimagem\|400x200px\|À esquerda ~~temos o~~ ponto de equilíbrio fora do volume de configurações aceitáveis ~~do sistema, com o direção com que o autovetor associado ao autovalor negativo aponta. E~~ à direita ~~o equivalente para~~ um ponto ~~na face do cubo e com dois autovalores negativos~~.]]
			Vale destacar que os pontos de equilíbrio fora do ’volume de estados possíveis’ e que possuem algum autovalor negativo, a direção no qual o sistema se aproximaria deste ponto, não passa pelo volume de estados possíveis. Por exemplo, para <math display="inline">D=0.8</math> há um ponto de equilíbrio em <math display="inline">\left(0,0.31,-0.068\right)</math>, o que não é aceitável por possuir uma população de predador negativa. Porém o seu autovalor negativo possui o seguinte autovetor: <math display="inline">\left(-0.29,0.,0.95\right)</math>, ou seja, o sistema nessa direção se aproxima deste ponto de equilíbrio. Porém esta direção não passa pelo volume de estados aceitáveis.

			<div class="center">[[Ficheiro:vol.png\|centro\|miniaturadaimagem\|400x200px\|À esquerda um ponto de equilíbrio instável fora do volume de configurações aceitáveis e à direita um ponto de equilíbrio também instável, mas aceitável.]]
	</div>		</div>
	A esquerda to ponto mencionado, mostrando como o autovetor não aponta em uma direção que passe pelo cubo de volumes aceitáveis. ~~Para~~ <math display="inline">D=0.4</math>, o mesmo ponto se desloca para um valor aceitável <math display="inline">\left(0,0.37,0.10\right)</math>, ~~porém é~~ instável. Dois dos seus autovalores são negativos ~~(<math display="inline">-0.14,-0.014</math>)~~ com os correspondentes autovetores <math display="inline">\left(0,1.00,-0.04\right)</math> e <math display="inline">\left(0,-0.91,0.41\right)</math>. Então nestas direções o sistema se aproxima do ponto de equilíbrio, ou seja no plano em que não há guanacos, uma vez que nosso sistema é <math display="inline">\left(x_{1},x_{2},y\right)</math>. Além dos 7 pontos discutidos aqui, ~~temos~~ mais 3 pontos que não representam um estado acessível ao sistema, portanto não há interesse em analisá-los.
			Na imagem anterior, à esquerda ponto mencionado anteriormente, mostrando como o autovetor não aponta em uma direção que passe pelo cubo de volumes aceitáveis. Agora, para <math display="inline">D=0.4</math>, o mesmo ponto se desloca para um valor aceitável, <math display="inline">\left(0,0.37,0.10\right)</math>, sem deixar de ser instável. Dois dos seus autovalores são negativos com os correspondentes autovetores <math display="inline">\left(0,1.00,-0.04\right)</math> e <math display="inline">\left(0,-0.91,0.41\right)</math>. Então nestas direções o sistema se aproxima do ponto de equilíbrio, ou seja, apresentam um comportamento estável no plano em que não há guanacos, uma vez que nosso sistema é <math display="inline">\left(x_{1},x_{2},y\right)</math>. Além dos 7 pontos discutidos aqui, há mais 3 pontos que não representam um estado acessível ao sistema, portanto não há interesse em analisá-los.

	Plotando as frações ocupada <math display="inline">\times</math> a destruição do sistema, tem-se:		Plotando as frações ocupada <math display="inline">\times</math> a destruição do sistema, tem-se:
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	</div>		</div>
	.Pode-se perceber todas combinações possíveis de sobrevivência: as duas presas sozinhas (O,P), presas coexistindo entre si (PO), cada ~~presas~~ coexistindo apenas com o predador (PO,PG), e a coexistência das três espécies (PGO) e ainda para uma faixa próxima <math display="inline">D\approx1</math> a extinção total de todas as espécies. Podemos perceber que a destruição do sistema é o que mais pesa para a sobrevivência ou não das presas, sendo que o Guanaco tem vantagem para valores de destruição mais ~~baixo~~, e as ovelhas para maiores destruições, devido ao ~~apoio~~ humano.		Pode-se perceber todas combinações possíveis de sobrevivência: as duas presas sozinhas (G,O), presas coexistindo entre si (GO), cada presa coexistindo apenas com o predador (PO,PG), e a coexistência das três espécies (PGO) e ainda para uma faixa próxima <math display="inline">D\approx1</math> a extinção total de todas as espécies. Podemos perceber que a destruição do sistema é o que mais pesa para a sobrevivência ou não das presas, sendo que o Guanaco tem vantagem para valores de destruição mais baixos devido a ser um competidor superior, e as ovelhas para maiores destruições, devido ao suporte humano.

	====== Códigos ======		====== Códigos ======

Jhordan em 06h50min de 28 de abril de 2021

2021-04-28T06:50:03Z

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	Algo interessante é que os pontos de equilíbrio fora do ’volume de estados possíveis’ e que possuem algum autovalor negativo, a direção em que o sistema se aproximaria deste ponto, não passa pelo volume de estados possíveis. Por exemplo, para <math display="inline">D=0.8</math> há um ponto de equilíbrio em <math display="inline">\left(0,0.31,-0.068\right)</math>, o que não é aceitável por possuir uma população de predador negativa. Porém o seu autovalor negativo é <math display="inline">-0.023</math>, com o autovetor <math display="inline">\left(-0.29,0.,0.95\right)</math>, ou seja, o sistema nessa direção se aproxima deste ponto de equilíbrio. Porém esta direção não passa pelo volume de estados aceitáveis.		Algo interessante é que os pontos de equilíbrio fora do ’volume de estados possíveis’ e que possuem algum autovalor negativo, a direção em que o sistema se aproximaria deste ponto, não passa pelo volume de estados possíveis. Por exemplo, para <math display="inline">D=0.8</math> há um ponto de equilíbrio em <math display="inline">\left(0,0.31,-0.068\right)</math>, o que não é aceitável por possuir uma população de predador negativa. Porém o seu autovalor negativo é <math display="inline">-0.023</math>, com o autovetor <math display="inline">\left(-0.29,0.,0.95\right)</math>, ou seja, o sistema nessa direção se aproxima deste ponto de equilíbrio. Porém esta direção não passa pelo volume de estados aceitáveis.
	<div class="center">[[Ficheiro:vol.png\|centro\|miniaturadaimagem\|~~602x300px~~\|À esquerda temos o ponto de equilíbrio fora do volume de configurações aceitáveis do sistema, com o direção com que o autovetor associado ao autovalor negativo aponta. E à direita o equivalente para um ponto na face do cubo e com dois autovalores negativos.]]		<div class="center">[[Ficheiro:vol.png\|centro\|miniaturadaimagem\|400x200px\|À esquerda temos o ponto de equilíbrio fora do volume de configurações aceitáveis do sistema, com o direção com que o autovetor associado ao autovalor negativo aponta. E à direita o equivalente para um ponto na face do cubo e com dois autovalores negativos.]]
	</div>		</div>
	A esquerda to ponto mencionado, mostrando como o autovetor não aponta em uma direção que passe pelo cubo de volumes aceitáveis. Para <math display="inline">D=0.4</math>, o mesmo ponto se desloca para um valor aceitável <math display="inline">\left(0,0.37,0.10\right)</math>, porém é instável. Dois dos seus autovalores são negativos (<math display="inline">-0.14,-0.014</math>) com os correspondentes autovetores <math display="inline">\left(0,1.00,-0.04\right)</math> e <math display="inline">\left(0,-0.91,0.41\right)</math>. Então nestas direções o sistema se aproxima do ponto de equilíbrio, ou seja no plano em que não há guanacos, uma vez que nosso sistema é <math display="inline">\left(x_{1},x_{2},y\right)</math>. Além dos 7 pontos discutidos aqui, temos mais 3 pontos que não representam um estado acessível ao sistema, portanto não há interesse em analisá-los.		A esquerda to ponto mencionado, mostrando como o autovetor não aponta em uma direção que passe pelo cubo de volumes aceitáveis. Para <math display="inline">D=0.4</math>, o mesmo ponto se desloca para um valor aceitável <math display="inline">\left(0,0.37,0.10\right)</math>, porém é instável. Dois dos seus autovalores são negativos (<math display="inline">-0.14,-0.014</math>) com os correspondentes autovetores <math display="inline">\left(0,1.00,-0.04\right)</math> e <math display="inline">\left(0,-0.91,0.41\right)</math>. Então nestas direções o sistema se aproxima do ponto de equilíbrio, ou seja no plano em que não há guanacos, uma vez que nosso sistema é <math display="inline">\left(x_{1},x_{2},y\right)</math>. Além dos 7 pontos discutidos aqui, temos mais 3 pontos que não representam um estado acessível ao sistema, portanto não há interesse em analisá-los.

Jhordan em 06h48min de 28 de abril de 2021

2021-04-28T06:48:37Z

Mostrar alterações

Jhordan em 05h11min de 28 de abril de 2021

2021-04-28T05:11:40Z

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	{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito ~~apra~~ 3 espécies }}		{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| [[Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito para 3 espécies]] }}

	Para três espécies o modelo de Levins se torna:		Para três espécies o modelo de Levins se torna:
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	{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito ~~apra~~ 3 espécies }}		{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| [[Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito para 3 espécies]] }}

Jhordan em 05h10min de 28 de abril de 2021

2021-04-28T05:10:22Z

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	{{Ecologia\| [[Modelo ~~de Levins aprimorado~~ para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito }}		{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito apra 3 espécies }}

	Para três espécies o modelo de Levins se torna:		Para três espécies o modelo de Levins se torna:
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	{{Ecologia\| [[Modelo ~~de Levins aprimorado~~ para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito }}		{{Ecologia\| [[Modelo espacialmente explícito para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito \| Modelo espacialmente explícito apra 3 espécies }}

Jhordan em 23h48min de 13 de abril de 2021

2021-04-13T23:48:01Z

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	Para três espécies o modelo de Levins se torna:		Para três espécies o modelo de Levins se torna:

	<math>\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	\frac{dx_{1}}{dt}= & c_{1}x_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-e_{1}x_{1}-\mu_{1}x_{1}y \\		\frac{dx_{1}}{dt}= & c_{1}x_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-e_{1}x_{1}-\mu_{1}x_{1}y \\
	\frac{dx_{2}}{dt}= & x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right] \\		\frac{dx_{2}}{dt}= & x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right] \\
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	====== Ovelha ======		====== Ovelha ======
	<math>\frac{dx_{2}}{dt}= x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right]</math>		<math display="block">\frac{dx_{2}}{dt}= x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right]</math>

	A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso <math display="inline">c_{2}</math> '''e''' a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é <math display="inline">P\left(F_{D}^{O}\right)</math>. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:<math display="block">P\left(F_{D}^{G}\right)=\left(1-D-x_{1}\right)</math>Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é <math display="inline">D</math>, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é <math display="inline">x_{1}</math>, e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por <math display="inline">D+x_{1}</math>, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}\right)</math>.		A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso <math display="inline">c_{2}</math> '''e''' a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é <math display="inline">P\left(F_{D}^{O}\right)</math>. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:<math display="block">P\left(F_{D}^{G}\right)=\left(1-D-x_{1}\right)</math>Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é <math display="inline">D</math>, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é <math display="inline">x_{1}</math>, e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por <math display="inline">D+x_{1}</math>, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}\right)</math>.
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	====== '''Puma''' ======		====== '''Puma''' ======
	<math>\frac{dy}{dt}= y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] </math>		<math display="block">\frac{dy}{dt}= y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] </math>

	Começando com a parte simples do que já discutimos, a população é reduzida devido a um fator de extinção <math display="inline">e_{y}</math>, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. <div class="center">[[Ficheiro:Veinn.png\|esquerda\|miniaturadaimagem\|208x208px\|[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn Diagrama de Veinn] representando os conjuntos envolvidos no sistema.]]		Começando com a parte simples do que já discutimos, a população é reduzida devido a um fator de extinção <math display="inline">e_{y}</math>, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. <div class="center">[[Ficheiro:Veinn.png\|esquerda\|miniaturadaimagem\|208x208px\|[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn Diagrama de Veinn] representando os conjuntos envolvidos no sistema.]]

Jhordan em 23h46min de 13 de abril de 2021

2021-04-13T23:46:25Z

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	{{Ecologia\| [[Modelo de Levins aprimorado para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito }}		{{Ecologia\| [[Modelo de Levins aprimorado para 2 espécies]] \| Modelo espacialmente explícito }}

			Para três espécies o modelo de Levins se torna:

			<math>\begin{align}
			\frac{dx_{1}}{dt}= & c_{1}x_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-e_{1}x_{1}-\mu_{1}x_{1}y \\
			\frac{dx_{2}}{dt}= & x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right] \\
			\frac{dy}{dt}= & y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] \\
			\end{align}</math>

			====== Guanaco ======
			<math display="block">\frac{dx_{1}}{dt}=x_{1}\left[c_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-\left(e_{1}+\mu_{1}y\right)\right]</math>Podemos perceber que é a mesma equação para a presa no modelo de duas [[Modelo de Levins aprimorado para 2 espécies\|2 espécies]], proporcional a população atual.

			O termo responsável pelo aumento na população é o que representa a colonização. Podemos pensar em termos probabilísticos, que temos 3 eventos independentes:
			*Probabilidade <math display="inline">x_{1}</math> de selecionar um fragmento com um guanaco disponível para tentar a colonização;
			*Probabilidade <math display="inline">\left(1-D-x_{1}\right)</math> selecionar um fragmento disponível para ser colonizado;
			*Probabilidade <math display="inline">c_{1}</math> de que cada tentativa de colonização tenha sucesso.
			A queda na população acontece por dois termos que representam dois eventos diferentes:
			*Extinção local: depende da taxa <math display="inline">e_{1}</math>. Temos como dois eventos independentes a probabilidade <math>x_1</math> selecionar um fragmento com guanaco e a probabilidade <math>e_1</math> de que cada guanaco sofra a extinção local.
			*Predação: depende da população de predadores <math display="inline">y</math> e a taxa de predação <math display="inline">\mu_{1}</math>. Novamente podemos interpretar como três eventos independentes. Probabilidade <math>y</math> de selecionarmos uma puma, probabilidade <math>x_1</math> de selecionarmos um guanaco e probabilidade <math>\mu_1</math> de ocorrer a predação a cada encontro. Assim como o modelo de Lotka-Volterra, a predação é proporcional a população de ambas as espécies.

			====== Ovelha ======
			<math>\frac{dx_{2}}{dt}= x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right]</math>

			A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso <math display="inline">c_{2}</math> '''e''' a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é <math display="inline">P\left(F_{D}^{O}\right)</math>. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:<math display="block">P\left(F_{D}^{G}\right)=\left(1-D-x_{1}\right)</math>Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é <math display="inline">D</math>, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é <math display="inline">x_{1}</math>, e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por <math display="inline">D+x_{1}</math>, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}\right)</math>.

			Agora precisamos considerar os fragmentos que estão destruídos e os ocupados por ovelhas ou guanacos. Mas a ocupação de guanacos e ovelhas não é exclusiva, isto é, temos fragmentos ocupados por guanacos e ovelhas. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento ocupado por guanaco ou ovelha é dado por <math display="inline">P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)=x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}</math>, uma vez são eventos independentes. Sendo assim a probabilidade de selecionarmos um fragmento indisponível é dado por <math display="inline">D+x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}</math>. E novamente recorrendo a complementaridade, a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível para a ovelha é dada por então por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)</math>.

			De resto, a população diminui de forma semelhante ao guanaco:
			*Termo de extinção local: proporcional a taxa de extinção local <math display="inline">e_{2}</math>;
			*Termo de predação: proporcional a população de predadores <math display="inline">y</math> e a taxa de predação <math display="inline">\mu_{2}</math>.;
			*Termo de deslocamento: ocorre devido a competição hierárquica e matematicamente é idêntico a predação, apenas substituímos <math>y \rightarrow x_1</math> e <math>\mu_2 \rightarrow c_1</math>.

			====== '''Puma''' ======
			<math>\frac{dy}{dt}= y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] </math>

			Começando com a parte simples do que já discutimos, a população é reduzida devido a um fator de extinção <math display="inline">e_{y}</math>, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. <div class="center">[[Ficheiro:Veinn.png\|esquerda\|miniaturadaimagem\|208x208px\|[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn Diagrama de Veinn] representando os conjuntos envolvidos no sistema.]]

			</div>Agora novamente a parte complexa reside na hora de levarmos em conta a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível. Precisamos considerar todos os fragmentos ocupados ocupados por guanacos ou ovelhas. E quando fazemos isso, precisamos tomar cuidado para não contar duas vezes fragmentos que estejam ocupados por ambas as espécies, então temos <math>P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)=P\left(x_{1}\right)+P\left(x_{2}\right)-P\left(x_{1}\cap x_{2}\right)</math>. Além disso, também precisamos descontar os fragmentos que já estão ocupados por pumas, então precisamos descontar os que possuem guanaco e puma <math>P\left(x_{1}\cap y\right)</math> , ovelha e puma <math>P\left(x_{2}\cap y\right)</math>. Porém novamente, não podemos descontar duas vezes os fragmentos que possuem ovelha, guanaco e puma, então é necessário "devolver" <math>P\left(x_{1}\cap x_2\cap y\right)</math>. Temos então:

			<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)-P\left(x_{1}\cap y\right)-P\left(x_{2}\cap y\right)+P\left(x_{2}\cap y\cap x_{1}\right)\right]-e_{y}\right]</math> <math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[P\left(x_{1}\right)+P\left(x_{2}\right)-P\left(x_{1}\cap x_{2}\right)-P\left(x_{1}\cap y\right)-P\left(x_{2}\cap y\right)+P\left(x_{2}\cap y\cap x_{1}\right)\right]-e_{y}\right]</math>

			Como são todos eventos independentes:<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[P\left(x_{1}\right)+P\left(x_{2}\right)-P\left(x_{1}\right)P\left(x_{2}\right)-P\left(x_{1}\right)P\left(y\right)-P\left(x_{2}\right)P\left(x_{y}\right)+P\left(x_{1}\right)P\left(x_{2}\right)P\left(x_{y}\right)\right]-e_{y}\right]</math>E substituindo as probabilidades pelas frações:<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}-x_{1}y-x_{2}y+x_{1}x_{2}y\right]-e_{y}\right]</math> <math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right]</math>E como <math display="inline">\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)=P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)</math>, podemos reescrever como:<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left[P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)-P\left(y\right)P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)\right]-e_{y}\right]</math>Ou ainda:<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}\left(1-P\left(y\right)\right)P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)-e_{y}\right]</math>Denotando o espaço complementar como <math display="inline">\left(1-P\left(y\right)\right)=P\left(y\right)^{c}</math>:<math display="block">\frac{dy}{dt}=y\left[c_{y}P\left(y\right)^{c}P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)-e_{y}\right]</math>Ou seja o termo de colonização é proporcional aos fragmentos ocupados pelas ovelhas e guanacos <math display="inline">P\left(x_{1}\cup x_{2}\right)</math> e os fragmentos livres das pumas <math display="inline">P\left(y\right)^{c}</math>

			===Principal material utilizado===

			#[https://arxiv.org/pdf/1409.0024.pdf Mathematical model of livestock and wildlife: Predationand competition under environmental disturbances] (Fabiana Laguna e outros, Ecological Modelling)


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