Modelo de Gray-Scott - Histórico de revisão

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-05T18:16:52Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 18h16min de 5 de março de 2022
Linha 246:		Linha 246:

	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png\|700px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 3'''. ~~Exemplos~~ de simulações realizadas para ~~mais~~ valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens ~~nas primeiras três linhas~~ apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. ~~Nas imagens da última linha~~ (~~coloridas~~), a ~~concentração de <math>u</math>~~ é ~~maior nas áreas mais escuras~~. ]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png\|700px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 3'''. Amostragem de simulações realizadas da concentração <math>u</math>, para diversos valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Os números sequenciais (1, 2, 3, ..., 16) se referem aos pontos no diagrama de fases da '''Figura 4'''. Tentou-se, sempre que possível, mostrar o comportamento dos sistemas nos mesmos tempos, exceto onde destacado em vermelho. '''A escolha de tempos diferentes nesses casos é meramente para melhor representar o comportamento dinâmico do sistema''', não se tentou mascarar nenhum resultado. Na simulação 4, para tempos grandes, a dinâmica do sistema é muito instável e os pontos estão sempre em transformação, apagando, ressurgindo e formando padrões. Nas simulações 15 e 16, os pontos apenas começam a se multiplicar para tempos grandes.]]</li>
	</center>		</center>

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-05T05:56:30Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 05h56min de 5 de março de 2022
Linha 229:		Linha 229:
	!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.		!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.055, 0.015)</math>, de t=0 até t=2000.\|~~400px~~]]		\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.055, 0.015)</math>, de t=0 até t=2000.\|500px]]
	\|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.05, 0.02)</math>, de t=0 até t=2000.\|~~400px~~]]		\|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.05, 0.02)</math>, de t=0 até t=2000.\|500px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-05T05:54:09Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 05h54min de 5 de março de 2022
Linha 254:		Linha 254:

	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados, conforme a '''Figura 3''' e a '''Tabela 1'''. ~~Ver~~ [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. ]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados, conforme a '''Figura 3''' e a '''Tabela 1'''. As curvas são as mesmas da '''Figura 1''' (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]). ]]</li>
	</center>		</center>

Wallec: /* Implementação numérica */

2022-03-04T19:13:49Z

Implementação numérica

← Edição anterior		Edição das 19h13min de 4 de março de 2022
Linha 205:		Linha 205:

	Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:		Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:


	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Linha 210:		Linha 211:
	v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\		v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>.		Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>.

Wallec: /* Implementação numérica */

2022-03-04T19:13:08Z

Implementação numérica

← Edição anterior		Edição das 19h13min de 4 de março de 2022
Linha 211:		Linha 211:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira ~~conforme a~~ '''Figura 2'''.		Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>.

			Foram usadas condições de fronteira totalmente periódicas. Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=2</math>, <math>D=6</math>, <math>L=31</math>, <math>R=7</math>; o elemento <math>6</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>D=5</math>, <math>L=36</math>, <math>R=12</math>; o elemento <math>31</math> tem vizinhos <math>U=32</math>, <math>D=36</math>, <math>L=25</math>, <math>R=1</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>36</math> são <math>U=31</math>, <math>D=35</math>, <math>L=30</math> e <math>R=6</math>.

	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png\|600px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
	</center>		</center>

	Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

	== Resultados e discussão ==		== Resultados e discussão ==

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-04T18:43:12Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 18h43min de 4 de março de 2022
Linha 227:		Linha 227:
	!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.		!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(F~~, k~~) = (0.~~015~~, 0.~~055~~)</math>, de t=0 até t=2000.\|400px]]		\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.055, 0.015)</math>, de t=0 até t=2000.\|400px]]
	\|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(F~~, k~~) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.\|400px]]		\|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.05, 0.02)</math>, de t=0 até t=2000.\|400px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}
Linha 235:		Linha 235:
	!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.		!colspan="2"\|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>.<br/> Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(F~~, k~~) = (0.~~030~~, 0.~~055~~)</math>,<br/> de t=0 até t=2000.\|500px]]		\|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.055, 0.030)</math>,<br/> de t=0 até t=2000.\|500px]]
	\|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(F~~, k~~) = (0.~~030~~, 0.~~060~~)</math>,<br/> de t=0 até t=2000.\|500px]]		\|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\| Concentração de <math>u</math> para <math>(k, F) = (0.060, 0.030)</math>,<br/> de t=0 até t=2000.\|500px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Wallec: /* Análise de estabilidade */

2022-03-04T18:40:44Z

Análise de estabilidade

← Edição anterior		Edição das 18h40min de 4 de março de 2022
Linha 42:		Linha 42:
	Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>		Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

	== Análise de estabilidade ==		== Análise de estabilidade linear ==
	'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.		'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-04T18:40:12Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 18h40min de 4 de março de 2022
Linha 252:		Linha 252:

	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados na '''Tabela 1'''. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. ]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados, conforme a '''Figura 3''' e a '''Tabela 1'''. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. ]]</li>
	</center>		</center>

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-04T18:39:00Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 18h39min de 4 de março de 2022
Linha 252:		Linha 252:

	<center>		<center>
	<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott~~. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas~~. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]~~. A curva laranja é <math>F=4(F+k)^{2}</math>; a curva vermelha é <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math>~~.]]</li>		<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png\|500px\|left\|thumb\|center\|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados na '''Tabela 1'''. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. ]]</li>
	</center>		</center>

	Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. ~~Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):~~		Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>.


	(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}		Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F<4(F+k)^{2}</math> (à direita da curva azul), ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões''' nesses casos.


	Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F<4(F+k)^{2}</math> (à direita da curva ~~laranja~~), ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões''' nesses casos.

Wallec: /* Resultados e discussão */

2022-03-02T18:35:26Z

Resultados e discussão

← Edição anterior		Edição das 18h35min de 2 de março de 2022
Linha 221:		Linha 221:
	== Resultados e discussão ==		== Resultados e discussão ==

	As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268> Sayama, p. 268.</ref>		As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268> Sayama, p. 268</ref>

	<center>		<center>