Modelo Brusselator de Reação-Difusão - Histórico de revisão

Vit: /* Análise de ponto fixo */

2022-03-15T06:33:40Z

Análise de ponto fixo

← Edição anterior		Edição das 03h33min de 15 de março de 2022
Linha 59:		Linha 59:
	===Análise de ponto fixo===		===Análise de ponto fixo===

	Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge. ~~<math>1-b+a^2 < 0</math>~~		Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge.

	==Método FTCS==		==Método FTCS==

Vit: /* Análise de ponto fixo */

2022-03-15T06:32:52Z

Análise de ponto fixo

← Edição anterior		Edição das 03h32min de 15 de março de 2022
Linha 59:		Linha 59:
	===Análise de ponto fixo===		===Análise de ponto fixo===

	Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge.		Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge. <math>1-b+a^2 < 0</math>

	==Método FTCS==		==Método FTCS==

Vit: /* Análise de ponto fixo */

2022-03-15T06:31:29Z

Análise de ponto fixo

← Edição anterior		Edição das 03h31min de 15 de março de 2022
Linha 59:		Linha 59:
	===Análise de ponto fixo===		===Análise de ponto fixo===

	Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge. ~~<math>1-b+a^2 < 0</math>~~		Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge.

	==Método FTCS==		==Método FTCS==

Vit: /* Análise de ponto fixo */

2022-03-15T06:30:59Z

Análise de ponto fixo

← Edição anterior		Edição das 03h30min de 15 de março de 2022
Linha 59:		Linha 59:
	===Análise de ponto fixo===		===Análise de ponto fixo===

	Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge.		Ainda em Twizell<ref name='t'>Twizell, E. H., Gumel, A. B., & Cao, Q. (1999). Journal of Mathematical Chemistry, 26(4), 297–316 </ref>, foi feita a análise de ponto fixo. O único ponto fixo encontrado é <math>(u^, v^) = \left ( a, \frac{b}{a} \right)</math>. Manipulando a matriz Jacobiana nesse ponto e analisando os autovalores, obtém-se que a solução é atraída para o ponto <math>\left ( a, \frac{b}{a} \right)</math> se <math>1-b+a^2 > 0</math>. Caso contrário, a solução não converge. <math>1-b+a^2 < 0</math>

	==Método FTCS==		==Método FTCS==

Carolinalenzi: /* Análise de estabilidade */

2022-03-15T01:37:12Z

Análise de estabilidade

← Edição anterior		Edição das 22h37min de 14 de março de 2022
Linha 123:		Linha 123:

	:<math>		:<math>
	{\delta u^n \choose \delta v^n} = A^n e^{i(k_x i \Delta x + k_y j \Delta y)} {\delta u_0 \choose \delta v_0}		{\delta u^n \choose \delta v^n} = \xi ^n e^{i(k_x i \Delta x + k_y j \Delta y)} {\delta u_0 \choose \delta v_0}
	</math>		</math>

	Para que o método seja estável, é preciso que <math>\|A\| < 1</math>. Após inserir as soluções nas equações linearizadas e realizar manipulações algébricas, como feito por Scholz<ref name='s'>Scholz, Christian, Morphology of Experimental and Simulated Turing Patterns, 2009, p. 27-29.</ref>, obtemos		Para que o método seja estável, é preciso que <math>\|\xi\| < 1</math>. Após inserir as soluções nas equações linearizadas e realizar manipulações algébricas, como feito por Scholz<ref name='s'>Scholz, Christian, Morphology of Experimental and Simulated Turing Patterns, 2009, p. 27-29.</ref>, obtemos
	:<math>		:<math>
	A_\pm = \frac{1}{2} \left [ \beta \pm \sqrt{\beta ^2 - 4 (\Delta t)^2 a^2 b} \right ]		\xi_\pm = \frac{1}{2} \left [ \beta \pm \sqrt{\beta ^2 - 4 (\Delta t)^2 a^2 b} \right ]
	</math>		</math>
	onde		onde

Carolinalenzi: /* Análise de estabilidade */

2022-03-15T01:32:30Z

Análise de estabilidade

← Edição anterior		Edição das 22h32min de 14 de março de 2022
Linha 115:		Linha 115:

	:<math>		:<math>
	\delta u_{i, j}^{n+1} = \delta u_{i, j}^n + K_u \left( \delta u_{i+1, j}^n + \delta u_{i-1, j}^n \delta u_{i, j+1}^n + \delta u_{i, j-1}^n - 4 \delta u_{i, j}^n \right) + \Delta t f_u \delta u_{i, j}^n + \Delta t f_v \delta v_{i, j}^n		\delta u_{i, j}^{n+1} = \delta u_{i, j}^n + K_u \left( \delta u_{i+1, j}^n + \delta u_{i-1, j}^n + \delta u_{i, j+1}^n + \delta u_{i, j-1}^n - 4 \delta u_{i, j}^n \right) + \Delta t f_u \delta u_{i, j}^n + \Delta t f_v \delta v_{i, j}^n
	</math>		</math>

	:<math>		:<math>
	\delta v_{i, j}^{n+1} = \delta v_{i, j}^n + K_v \left( \delta v_{i+1, j}^n + \delta v_{i-1, j}^n \delta v_{i, j+1}^n + \delta v_{i, j-1}^n - 4 \delta v_{i, j}^n \right) + \Delta t g_u \delta u_{i, j}^n + \Delta t g_v \delta v_{i, j}^n		\delta v_{i, j}^{n+1} = \delta v_{i, j}^n + K_v \left( \delta v_{i+1, j}^n + \delta v_{i-1, j}^n + \delta v_{i, j+1}^n + \delta v_{i, j-1}^n - 4 \delta v_{i, j}^n \right) + \Delta t g_u \delta u_{i, j}^n + \Delta t g_v \delta v_{i, j}^n
	</math>		</math>

Vit em 21h23min de 14 de março de 2022

2022-03-14T21:23:27Z

← Edição anterior		Edição das 18h23min de 14 de março de 2022
Linha 1:		Linha 1:
	''' Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier '''		''' Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier '''

	O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em ~~1970~~ por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (''Forward Time Centered Space'').		O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1968 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (''Forward Time Centered Space'').

	==Modelo de Brusselator==		==Modelo de Brusselator==

Ericnaiber: /* Condições Iniciais */

2022-03-14T21:06:58Z

Condições Iniciais

← Edição anterior		Edição das 18h06min de 14 de março de 2022
Linha 263:		Linha 263:
	O reagente <math>u_0</math> é distribuído no centro formando um sinal de "+".		O reagente <math>u_0</math> é distribuído no centro formando um sinal de "+".

	[[Arquivo:CruzBorda.gif\|thumb\|right\|338px\|'''Figura 4:''': Comportamento em formato de "+" para o reagente u. Para o reagente v foi utilizado a condição de borda.]]		[[Arquivo:CruzBorda.gif\|thumb\|right\|338px\|'''Figura 4''': Comportamento em formato de "+" para o reagente u. Para o reagente v foi utilizado a condição de borda.]]

	<source lang="python">		<source lang="python">
Linha 296:		Linha 296:
	O reagente <math>v_0</math> foi distribuído nos 4 cantos do recipiente.		O reagente <math>v_0</math> foi distribuído nos 4 cantos do recipiente.

	[[Arquivo:CruzBordaB3.gif\|thumb\|right\|338px\|'''Figura 5:''': Analisando u com condição de borda "+". Para o reagente v foi utilizado a condição de borda. Foi utilizado b=3 para mostrar a diferença na simulação.]]		[[Arquivo:CruzBordaB3.gif\|thumb\|right\|338px\|'''Figura 5''': Analisando u com condição de borda "+". Para o reagente v foi utilizado a condição de borda. Foi utilizado b=3 para mostrar a diferença na simulação.]]

	<source lang="python">		<source lang="python">
Linha 325:		Linha 325:
	Os reagentes são aleatoriamente distribuídos ao longo do recipiente, a quantidade de focos de reagente também é aleatória para <math>u_0</math> e <math>v_0</math>.		Os reagentes são aleatoriamente distribuídos ao longo do recipiente, a quantidade de focos de reagente também é aleatória para <math>u_0</math> e <math>v_0</math>.

	[[Arquivo:AleatorioResize.gif\|thumb\|right\|360px\|'''Figura 6:''': Posição aleatória.]]		[[Arquivo:AleatorioResize.gif\|thumb\|right\|360px\|'''Figura 6''': Posição aleatória.]]

	<source lang="python">		<source lang="python">
Linha 353:		Linha 353:
	No centro divide 9 pontos igualmente espaçados de tamanho <math>N_x/4</math>, para <math>u_0</math>. Foi utilizado para <math>u_0</math> na figura 3.		No centro divide 9 pontos igualmente espaçados de tamanho <math>N_x/4</math>, para <math>u_0</math>. Foi utilizado para <math>u_0</math> na figura 3.

	[[Arquivo:9PontosBorda.gif\|thumb\|right\|384px\|'''Figura 7:''': Utilizando a condição de borda para v.]]		[[Arquivo:9PontosBorda.gif\|thumb\|right\|384px\|'''Figura 7''': Utilizando a condição de borda para v.]]

	<source lang="python">		<source lang="python">
Linha 382:		Linha 382:
	Completa toda a borda do recipiente com reagente <math>v_0</math>. Foi utilizado para <math>v_0</math> na figura 3.		Completa toda a borda do recipiente com reagente <math>v_0</math>. Foi utilizado para <math>v_0</math> na figura 3.

	[[Arquivo:9PontosB3.gif\|thumb\|right\|359px\|'''Figura 8:''': Utilizando a condição de borda para v e b=3.]]		[[Arquivo:9PontosB3.gif\|thumb\|right\|359px\|'''Figura 8''': Utilizando a condição de borda para v e b=3.]]

	<source lang="python">		<source lang="python">

Ericnaiber: /* Simulação */

2022-03-14T21:06:34Z

Simulação

← Edição anterior		Edição das 18h06min de 14 de março de 2022
Linha 246:		Linha 246:


	[[Arquivo:AnaliseMid.gif\|thumb\|center\|1300px\|'''Figura 3:''': Comportamento do reagente.]]		[[Arquivo:AnaliseMid.gif\|thumb\|center\|1300px\|'''Figura 3''': Comportamento do reagente.]]


Linha 252:		Linha 252:


	[[Arquivo:ZoomGraph.jpg\|thumb\|center\|800px\|'''Figura 4:''': Análise de um ponto.]]		[[Arquivo:ZoomGraph.jpg\|thumb\|center\|800px\|'''Figura 4''': Análise de um ponto.]]

	----		----

Carolinalenzi: /* Condições Iniciais */

2022-03-14T20:58:57Z

Condições Iniciais

← Edição anterior		Edição das 17h58min de 14 de março de 2022
Linha 258:		Linha 258:
	===Condições Iniciais===		===Condições Iniciais===
	Realizamos as simulações variando espacialmente as condições iniciais, para verificar os diferentes padrões formados pelo sistema.		Realizamos as simulações variando espacialmente as condições iniciais, para verificar os diferentes padrões formados pelo sistema.

	~~Levando em consideração que u_n é uma matriz de tamanho <math>N_x</math> por <math>N_y</math>.~~

	====Condição em Formato do Sinal "+"====		====Condição em Formato do Sinal "+"====