Medidas dinâmicas - Histórico de revisão

Vsud: /* Pressupostos teóricos */

2016-10-07T15:55:04Z

Pressupostos teóricos

← Edição anterior		Edição das 12h55min de 7 de outubro de 2016
Linha 162:		Linha 162:

	<math>		<math>
	Z_{x}(\tau)= \~~bar~~{v}_{x}(\tau)~~\bar{v}_~~{x}(0)		Z_{x}(\tau)= \frac1N \sum_{i=1}^{N}v_{x,i}(\tau)v_{x,i}(0)
	</math>		</math>

Vsud: /* Uma introdução teórica */

2016-06-20T13:35:32Z

Uma introdução teórica

← Edição anterior		Edição das 10h35min de 20 de junho de 2016
Linha 31:		Linha 31:
	Na equação acima d é o número de dimensões simuladas (<math>d=2</math>, em nosso caso bidimensional). Assim, este é um método amplamente usado para quantificar a difusão do sistema. Qualitativamente, classifica-se os sistemas enquanto ao MSD da seguinte forma:		Na equação acima d é o número de dimensões simuladas (<math>d=2</math>, em nosso caso bidimensional). Assim, este é um método amplamente usado para quantificar a difusão do sistema. Qualitativamente, classifica-se os sistemas enquanto ao MSD da seguinte forma:

	* Regime confinado: <math> \lim_{\~~Deltat~~ \to \infty} \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = \langle r^{2}_c \rangle </math>		* Regime confinado: <math> \lim_{\Delta t \to \infty} \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = \langle r^{2}_c \rangle </math>

	* Regime subdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto \Delta t^{\alpha}, 0<\alpha<1</math>		* Regime subdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto \Delta t^{\alpha}, 0<\alpha<1</math>

Vsud: /* Uma introdução teórica */

2016-06-20T13:35:16Z

Uma introdução teórica

Vsud em 13h32min de 20 de junho de 2016

2016-06-20T13:32:20Z

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Linha 299:		Linha 299:

	Note que, pela fórmula apresentada anteriormente, podemos obter o coeficiente de difusão D através do valor da integral. Note que quanto maior a densidade, menor este coeficiente, pois menos difuso é o sistema.		Note que, pela fórmula apresentada anteriormente, podemos obter o coeficiente de difusão D através do valor da integral. Note que quanto maior a densidade, menor este coeficiente, pois menos difuso é o sistema.

			== Constante de difusão ==

			[[Arquivo:Scatterplot_difusao.png\|300px\|thumb\|right\|Scatterplot para a constante de difusão quando calculadas via os dois métodos sugeridos nesta página.]]

			É possível assim comparar as constantes de difusão obtidas para as diferentes densidades de partículas num sistema com potencial do tipo Lennard-Jones. Lembrando que, neste caso, sua unidade é <math>[D]=\sqrt{\frac{\epsilon}{m}} \sigma</math>.

			Para calculá-la via MSD, basta dividir por 4 o coeficiente da reta ajustada. Já pelo método da autocorrelação de velocidades, o próprio valor da integral é a constante de difusão.

			É possível verificar que os valores em geral se aproximam, especialmente para densidade maiores (neste caso deve haver o cuidado na escolha da região para o ajuste da reta, dado que o coeficiente tende a se anular e tonar constante), já para poucas partículas, onde a difusão é maior, a diferença se tornou um pouco mais relevante e acredita-se que pode ser reduzida com médias sobre mais dados.


	== Referências ==		== Referências ==

	[1] Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.		[1] Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.

Vsud em 13h01min de 20 de junho de 2016

2016-06-20T13:01:39Z

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Linha 1:		Linha 1:
	Em Dinâmica Molecular são chamadas de Medidas (ou Propriedades) Dinâmicas aquelas características do sistema que variam no tempo. Aqui, apresentaremos duas medidas dinâmicas de interessante importância: ''o deslocamento quadrático médio'' e a ''autocorrelação de velocidades''.		Em Dinâmica Molecular são chamadas de Medidas (ou Propriedades) Dinâmicas aquelas características do sistema que variam no tempo. Aqui, apresentaremos duas medidas dinâmicas de interessante importância: ''o deslocamento quadrático médio'' e a ''autocorrelação de velocidades''.

	Ambas essas medidas estão relacionadas com o coeficiente de transporte chamado difusão: a quantificação do modo em que uma substância se espalha em um meio. Particularmente, em nosso caso, as moléculas simuladas se difundem (espalham) no próprio meio, o que chamamos de ''autodifusão''. A constante de difusão tem unidades SI de <math>[D]=m^{2}/s</math>. Em unidades reduzidas, a constante de difusão tem unidades <math>[D]=\sqrt{\frac{\epsilon}{m}} \sigma</math>. Talvez estas unidades fiquem mais claras após verificar o método de calculo deste coeficiente.		Ambas essas medidas estão relacionadas com o coeficiente de transporte chamado difusão: a quantificação do modo em que uma substância se espalha em um meio. Particularmente, em nosso caso, as moléculas simuladas se difundem (espalham) no próprio meio, o que chamamos de ''autodifusão''. A constante de difusão tem unidades SI de <math>[D]=m^{2}/s</math>. Em unidades reduzidas para o caso de um potencial Lennard-Jones, a constante de difusão tem unidades <math>[D]=\sqrt{\frac{\epsilon}{m}} \sigma</math>. Talvez estas unidades fiquem mais claras após verificar o método de calculo deste coeficiente.


Linha 136:		Linha 136:
	=== Análise de resultados e exemplos ===		=== Análise de resultados e exemplos ===

	A seguir alguns exemplos de gráficos do Mean Square Displacement podem ser observados para diferentes densidades do sistema simulado.		A seguir alguns exemplos de gráficos do Mean Square Displacement podem ser observados para diferentes densidades do sistema simulado com potencial do tipo Lennard-Jones. Para produzir os dados de todas as figuras, utilizou-se um passo de tamanho 0.01, esperando-se 5000 passos para começar as medições, e então fez-se a média sobre 9 medições por partícula (correspondendo à um tempo final de 500 e um ''numMSD'' de 5000).


Linha 280:		Linha 280:
	=== Exemplos e análises dos resultados ===		=== Exemplos e análises dos resultados ===

	A seguir alguns exemplos de gráficos da Correlação de Velocidades em função do intervalo de tempo <math>\tau</math> podem ser observados para diferentes densidades do sistema simulado com um potencial Lennard-Jones.		A seguir alguns exemplos de gráficos da Correlação de Velocidades em função do intervalo de tempo <math>\tau</math> podem ser observados para diferentes densidades do sistema simulado com um potencial Lennard-Jones. Para produzir os dados de todas as figuras, utilizou-se um passo de tamanho 0.01, esperando-se 5000 passos para começar as medições, e então fez-se a média sobre 9 medições por partícula (correspondendo à um tempo final de 500 e um ''numZ'' de 5000).

	<gallery>		<gallery>

Vsud em 19h45min de 8 de junho de 2016

2016-06-08T19:45:04Z

Mostrar alterações

Vsud: /* Pressupostos teóricos */

2016-06-08T18:51:56Z

Pressupostos teóricos

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Linha 185:		Linha 185:
	Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.		Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.

	O limite <math>Z(t \to \infty)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.		O limite <math>Z(t \to \infty) = 0</math>, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.

	=== Implementação computacional ===		=== Implementação computacional ===

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2016-06-08T18:51:40Z

Pressupostos teóricos

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Linha 185:		Linha 185:
	Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.		Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.

	O limite <math>Z(t \to \~~inftyy~~)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.		O limite <math>Z(t \to \infty)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.

	=== Implementação computacional ===		=== Implementação computacional ===

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2016-06-08T18:51:31Z

Pressupostos teóricos

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Linha 185:		Linha 185:
	Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.		Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.

	O limite <math>Z(t\~~goto~~\~~infty~~)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.		O limite <math>Z(t \to \inftyy)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.

	=== Implementação computacional ===		=== Implementação computacional ===

Vsud: /* Pressupostos teóricos */

2016-06-08T18:51:05Z

Pressupostos teóricos

← Edição anterior		Edição das 15h51min de 8 de junho de 2016
Linha 185:		Linha 185:
	Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.		Interessante notar que a correlação de velocidades em 0 é a energia cinética da componente x em unidades reduzidas: <math>Z_{x}(0) = v_{x}(0)v_{x}(0) = K_{x}(0)</math>. Também é interessante o fato de que a função de correlação de velocidades é uma função par, ou seja, para intervalos de tempo negativos ela possuí o mesmo valor que para intervalos de tempo positivos, afinal, no produto das velocidades, a ordem não importa, e sim o tamanho da diferença de tempo.

	O limite Z(t\goto\infty)=0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.		O limite <math>Z(t\goto\infty)=</math>0, ou seja, nada podemos prever sobre a velocidade da partícula depois de um tempo infinitamente grande baseado na velocidade dela neste instante.

	=== Implementação computacional ===		=== Implementação computacional ===

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Linha 19:		Linha 19:
	Matematicamente, podemos expressar:		Matematicamente, podemos expressar:

	:<math>{\rm MSD}\equiv\langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_{i}(t) - x_{0i})^2+(y_{i}(t) - y_{0i})^2 </math>		:<math>{\rm MSD}\equiv\langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_{i}(\Delta t) - x_{0i})^2+(y_{i}(\Delta t) - y_{0i})^2 </math>

	Perceba que o MSD é uma função do tempo (na verdade, do intervalo de tempo) e portanto estamos interessados em estudar como esta função varia no tempo.		Perceba que o MSD é uma função do tempo (na verdade, do intervalo de tempo) e portanto estamos interessados em estudar como esta função varia no tempo.
Linha 25:		Linha 25:
	Em dinâmicas com fases líquidas e gasosas, teremos então o fenômeno da dispersão. As partículas irão "caminhar" por todo o espaço permitido em um movimento aleatório. Este movimento é conhecido como movimento Browniano e fui estudando por grandes cientistas, como Albert Einstein. Einstein conseguiu modelar o deslocamento quadrático médio como uma função linear do tempo, e determinou uma constante chamada de constante de difusão (D):		Em dinâmicas com fases líquidas e gasosas, teremos então o fenômeno da dispersão. As partículas irão "caminhar" por todo o espaço permitido em um movimento aleatório. Este movimento é conhecido como movimento Browniano e fui estudando por grandes cientistas, como Albert Einstein. Einstein conseguiu modelar o deslocamento quadrático médio como uma função linear do tempo, e determinou uma constante chamada de constante de difusão (D):

	:<math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = ~~2dDt~~ </math>		:<math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = 2dD\Delta t </math>

	[[Arquivo:Regimes.jpg\|300px\|thumb\|right\|Exemplos dos regimes de difusão que podem ser compreendidos com o MSD em função do tempo reduzido.]]		[[Arquivo:Regimes.jpg\|300px\|thumb\|right\|Exemplos dos regimes de difusão que podem ser compreendidos com o MSD em função do tempo reduzido.]]
Linha 31:		Linha 31:
	Na equação acima d é o número de dimensões simuladas (<math>d=2</math>, em nosso caso bidimensional). Assim, este é um método amplamente usado para quantificar a difusão do sistema. Qualitativamente, classifica-se os sistemas enquanto ao MSD da seguinte forma:		Na equação acima d é o número de dimensões simuladas (<math>d=2</math>, em nosso caso bidimensional). Assim, este é um método amplamente usado para quantificar a difusão do sistema. Qualitativamente, classifica-se os sistemas enquanto ao MSD da seguinte forma:

	* Regime confinado: <math> \lim_{t \to \infty} \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = \langle r^{2}_c \rangle </math>		* Regime confinado: <math> \lim_{\Deltat \to \infty} \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = \langle r^{2}_c \rangle </math>

	* Regime subdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto t^{\alpha}, 0<\alpha<1</math>		* Regime subdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto \Delta t^{\alpha}, 0<\alpha<1</math>

	* Regime normalmente difusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = ~~2Dt~~^{1} </math>		* Regime normalmente difusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle = 2D\Delta t^{1} </math>

	* Regime superdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto t^{\alpha}, \alpha>1 </math>		* Regime superdifusivo: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto \Delta t^{\alpha}, \alpha>1 </math>

	* Regime balístico: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto t^{2} </math>		* Regime balístico: <math> \langle (\vec{r}-\vec{r_0})^2 \rangle \propto \Delta t^{2} </math>

	Em uma dinâmica com um estado sólido, esperamos que as partículas apenas vibrem, e não se deslocam grandes distâncias. Portanto, o MSD terá um limite e diremos que o regime é confinado, pois as partículas não têm espaço para se difundirem. Já o regime balístico ocorre para pequenos intervalos de tempo em simulações de fases líquidas ou gasosas, quando inicialmente, além da difusão, há também um impulso unidirecional.		Em uma dinâmica com um estado sólido, esperamos que as partículas apenas vibrem, e não se deslocam grandes distâncias. Portanto, o MSD terá um limite e diremos que o regime é confinado, pois as partículas não têm espaço para se difundirem. Já o regime balístico ocorre para pequenos intervalos de tempo em simulações de fases líquidas ou gasosas, quando inicialmente, além da difusão, há também um impulso unidirecional.

	A imagem ao lado mostra o MSD em função do tempo para cada um destes casos qualitativos.		A imagem ao lado mostra o MSD em função do tempo para cada um destes casos qualitativos.



	=== Implementação computacional ===		=== Implementação computacional ===