MBA: Gás simples - Histórico de revisão

Jhordan em 23h54min de 9 de agosto de 2022

2022-08-09T23:54:00Z

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	= Distribuição de velocidades para um gás a certa temperatura =		= Distribuição de velocidades para um gás a certa temperatura =

	A distribuição das ~~velocidads~~ das ~~molécula~~ de um gá é dada pela distribuição de Maxwell-Boltzmann <ref>[https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/48089/course/section/16461/qsp_chapter4-kineticTheory.pdf The Kinetic Theory of Gases]</ref>		A distribuição das velocidades das moléculas de um gás é dada pela distribuição de Maxwell-Boltzmann <ref>[https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/48089/course/section/16461/qsp_chapter4-kineticTheory.pdf The Kinetic Theory of Gases]</ref>

	<math display="block"> f\left(v\right)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{kT}\right) </math>		<math display="block"> f\left(v\right)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{kT}\right) </math>

Jhordan em 23h53min de 9 de agosto de 2022

2022-08-09T23:53:07Z

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	= Distribuição de velocidades para um gás a certa temperatura =		= Distribuição de velocidades para um gás a certa temperatura =

	A distribuição das velocidads das molécula de um gá é dada pela distribuição de Maxwell-~~Boltmann~~ <ref>[https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/48089/course/section/16461/qsp_chapter4-kineticTheory.pdf The Kinetic Theory of Gases]</ref>		A distribuição das velocidads das molécula de um gá é dada pela distribuição de Maxwell-Boltzmann <ref>[https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/48089/course/section/16461/qsp_chapter4-kineticTheory.pdf The Kinetic Theory of Gases]</ref>

	<math display="block"> f\left(v\right)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{kT}\right) </math>		<math display="block"> f\left(v\right)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{kT}\right) </math>

Jhordan em 10h47min de 22 de julho de 2022

2022-07-22T10:47:45Z

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Linha 63:		Linha 63:


	Foi realizado uma simulação com 100 partículas por ~~1.000~~.000 de passos e o resultado encontra-se na figura abaixo assim como o código.		Foi realizado uma simulação com 100 partículas por 500.000 de passos em uma grade 100x100 com fronteira toroidal, o resultado encontra-se na figura abaixo assim como o código.

	<div class="center">[[Ficheiro:mba_colisao.png\|centro\|miniaturadaimagem\|750x750px\|Resultado da simulação com a distribuição de Maxwell-Boltmann para kT=0.7 e m=1.]]</div>		<div class="center">[[Ficheiro:mba_colisao.png\|centro\|miniaturadaimagem\|750x750px\|Resultado da simulação com a distribuição de Maxwell-Boltmann para kT=0.7 e m=1.]]</div>
Linha 97:		Linha 97:
	self.vel = (vnp.cos(ang),vnp.sin(ang)) #Velocidade decomposta		self.vel = (vnp.cos(ang),vnp.sin(ang)) #Velocidade decomposta
	self.colisao=False		self.colisao=False
			self.ac=False

	def prox_pos(self):		def prox_pos(self):
Linha 128:		Linha 129:
	nvel1=(self.vel[0]+u1d[0],self.vel[1]+u1d[1])		nvel1=(self.vel[0]+u1d[0],self.vel[1]+u1d[1])
	#partícula 2,pela conservação de momento:		#partícula 2,pela conservação de momento:
	nvel2=(self.vel[0]+a.vel[0]-nvel1[0],self.vel[1]+a.vel[1]-nvel1[1])		nvel2=(self.vel[0]+a.vel[0]-nvel1[0],self.vel[1]+a.vel[1]-nvel1[1])
	#Atualiza as velocidades		#Se nenhuma partícula tinha se colidido
	self.vel=nvel1; a.vel=nvel2		if (self.colisao==False and a.colisao==False):
			#Atualiza as velocidades
			self.vel=nvel1; a.vel=nvel2
			self.ac=True;a.ac=True
	#Registra a colisão		#Registra a colisão
	self.colisao=True; a.colisao=True		self.colisao=True; a.colisao=True
	break		break
	return ()		return ()
Linha 138:		Linha 142:
	def movimento(self):		def movimento(self):
	if(self.colisao):		if(self.colisao):
	~~self.colisao=False~~
	return (self.pos)		return (self.pos)
	else:		else:
Linha 195:		Linha 198:
	"""Avançar um passo do modelo"""		"""Avançar um passo do modelo"""
	self.schedule.step() #Avançamos os agentes		self.schedule.step() #Avançamos os agentes
			#Limpamos as colisões
			for a in self.schedule.agents: #Vamos percorrer os agentes
			a.colisao=False
	#Parâmetros		#Parâmetros
	MAX =~~100000~~		MAX =1000000
	N=100		N=100
	modelo = {"Largura":10 ,"Altura":10 ,"Seed":1}		modelo = {"Largura":100 ,"Altura":100 ,"Seed":1}
	M = Modelo(modelo,N)		M = Modelo(modelo,N)
	for i in range(MAX):		for i in range(MAX):
Linha 206:		Linha 211:
	#clear_output()		#clear_output()
	print(str(100*(1+i)/MAX)+"%")		print(str(100*(1+i)/MAX)+"%")
	~~</pre>~~

	~~Para visualizar os resultados, podemos usar:~~

	~~<pre>~~
	~~import numpy as np~~
	~~import matplotlib.pyplot as plt~~

	vel=[]		vel=[]
Linha 220:		Linha 218:
	E+=a.vel[0]2+a.vel[1]2		E+=a.vel[0]2+a.vel[1]2
	print(E)		print(E)
	a,b,c=plt.hist(vel,10, density=~~False~~, facecolor='g', alpha=0.75)		with open('velocidades0.2R100K1000.txt', 'w') as f:
			f.write(str(vel))
			</pre>

			Para plotar o gráfico, podemos então usar simplesmente:
			<pre>
			import numpy as np
			import matplotlib.pyplot as plt

			a,b,c=plt.hist(vel,8, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)
	m=1		m=1
	K=0.7		K=0.7
	x=np.arange(0,2, 0.00001)		x=np.arange(0,2.5, 0.00001)
	y = (4/np.sqrt(np.pi))((m/K)(3/2))(x*2)np.exp(-m(x*2)/K)		y = (4/np.sqrt(np.pi))((m/K)(3/2))(x*2)np.exp(-m(x*2)/K)
	plt.plot(x,y)		plt.plot(x,y)

Jhordan em 07h16min de 21 de julho de 2022

2022-07-21T07:16:26Z

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Jhordan: Criou página com '{{Ecologia| Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos |MBA: Caminhante aleatório}} = Colisão entre partículas = Considerando um modelo simples de...'

2022-07-21T06:12:56Z

Criou página com '{{Ecologia| Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos |MBA: Caminhante aleatório}} = Colisão entre partículas = Considerando um modelo simples de...'

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{{Ecologia| [[Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos]] |[[MBA: Caminhante aleatório]]}}

= Colisão entre partículas =

Considerando um modelo simples de gás ideal, não há força atuando sob as partículas, então a interação que ocorre entre as partículas se dá apenas por meio de colisões. Assim é necessário calcular a variação na velocidade de cada partícula após a colisão. Começando em uma dimensão, precisamos garantir a conservação do momento: <math display="block">m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=m_{1}v_{1}''+m_{2}v_{2}''
</math>E da energia cinética: <math display="block">\frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}''^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}''^{2}</math>Colocando o referencial de forma que <math display="inline">v_2'=0</math>, então as velocidades no novo referencial podem ser escritas como <math display="inline">u_i=v_i-v_2'</math>, de forma que da conservação do momento ficamos com: <math display="block">u_{1}''=u_{1}'-\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}'', \qquad (1)
</math> Elevando ao quadrado: <math display="block">u_{1}''^{2}=u_{1}'^{2}-\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{1}'u_{2}''</math> Substituindo na equação de conservação de energia, podemos encontrar <math display="inline">u_2''</math>:
<math display="block">\begin{array}{c}
m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}''^{2}+m_{2}u_{2}''^{2}\\
m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}\left[u_{1}'{}^{2}+\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{1}'u_{2}''\right]+m_{2}u_{2}''^{2}\\
m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}'{}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}u_{2}''^{2}-2m_{2}u_{1}'u_{2}''+m_{2}u_{2}''^{2}\\
0=\left(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}+m_{2}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2m_{2}u_{1}'\right)u_{2}''\\
0=\left(\frac{m_{2}+m_{1}}{m_{1}}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2u_{1}'\right)u_{2}''
\end{array}</math>
Calculando as raízes do segundo grau, temos: <math display="block">u_{2}''=\frac{2u_{1}'\pm\sqrt{4u_{1}'^{2}}}{2\left(\frac{m_{2}+m_{1}}{m_{1}}\right)}=\frac{m_{1}}{m_{2}+m_{1}}\left(u_{1}'\pm u_{1}'\right)</math>E como uma solução é <math display="inline">u_{2}'=0</math>, mas queremos a situação em que <math display="inline">u_{2}'\neq0</math>, logo: <math display="block">u_{2}''=\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}u_{1}'</math>Substituindo em '''(1)''', temos:
<math display="block">\begin{array}{c}
u_{1}''=u_{1}'-\frac{m_{2}}{m_{1}}\left(\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}u_{1}'\right)\\
u_{1}''=\left(1-\frac{2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}\right)u_{1}\\
u_{1}''=\left(\frac{m_{2}+m_{1}-2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}\right)u_{1}
\end{array}</math>
Ou seja: <math display="block">u_{1}''=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}u_{1}'</math>Retornando ao referencial original, sendo <math display="inline">v_i=u_i+v_2'</math>, temos então para <math display="inline">v_1'</math>: <math display="block">\begin{array}{c}
u_{1}''=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}u_{1}'\\
v_{1}''-v_{2}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\
v_{1}''=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}v_{1}'+\left(1-\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}\right)v_{2}'\\
v_{1}''=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}v_{1}'+\frac{2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}v_{2}'
\end{array}</math>E de maneira análoga para <math display="inline">v_2'</math>: <math display="block">\begin{array}{c}
u_{2}''=\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}u_{1}'\\
v_{2}''-v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\
v_{2}''=\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}v_{1}'+\left(1-\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}\right)v_{2}'\\
v_{2}''=\frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}v_{1}'+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}v_{2}'
\end{array}</math>Um caso especial ocorre se <math display="inline">m_1=m_2, \qquad (2)</math> então temos simplesmente: <math display="block">
v_1''=v_2',\qquad \text{e} \qquad v_2''=v_1'</math>Em duas dimensões, podemos reduzir o problema a uma dimensão, considerando que toda a alteração na velocidade devido a colisão entre partículas ocorre apenas na componente paralela a reta que liga o centro das duas esferas. Considerando que a posição de cada partícula é dada por <math display="inline">\overrightarrow{r}_{i}</math>, então um vetor entre as partículas pode ser escrito como <math display="inline">\overrightarrow{d}=\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1}</math>. Podemos projetar ambas as velocidades então fazendo: <math display="block">{u}_{i}'=\frac{\overrightarrow{v}_{i}\cdot\overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{d}\right|}=\overrightarrow{v}_{i}\cdot\widehat{d}</math>Obtemos o módulo da velocidade da partícula <math display="inline">i</math> na direção <math display="inline">\overrightarrow{d}</math> e podemos trabalhar em uma única dimensão para encontrarmos a velocidade de ambas partículas após a colisão nesta dimensão. Ao fim podemos decompor novamente a velocidade final <math display="inline">u_i''</math> em ambos os eixos mantendo a mesma direção utilizando <math display="inline">\theta=\arctan\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)</math>, onde <math display="inline">\Delta z = z_2 - z_1</math> é a diferença entre a posição das partículas <math display="inline">2</math> e <math display="inline">1</math> na componente <math display="inline">z</math>.

Além disso vale lembrar que há a componente da velocidade perpendicular a <math display="inline">\overrightarrow{d}</math>, que vamos denotar como <math display="inline">\overrightarrow{w}_i=\overrightarrow{v}_i-u_{i}'\left(\cos\theta,\sin\theta\right)</math>. Esta componente perpendicular permanece inalterada e pode ser visualizada na figura ao lado.

[[File:Mba_gas.png|esquerda|miniaturadaimagem|300x300px|alt=Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula <math display="inline">1</math>. |Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula 1. ]]

Sendo assim, a velocidade final é dada por: <math display="block">\begin{array}{c}
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\left(u_{i}''\cos\theta,u_{i}''\sin\theta\right)+\overrightarrow{w}_{i}\\
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=u_{i}''\left(\cos\theta,\sin\theta\right)+\overrightarrow{v}_{i}-u_{i}'\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\overrightarrow{a}
\end{array}</math>Onde <math display="inline">\overrightarrow{a}</math> é um vetor unitário que nos dá a direção entre os centros das partículas. Utilizando ad identidades: <math display="block">\cos\left(\arctan\left(x\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, \qquad \sin\left(\arctan\left(x\right)\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}</math> ficamos então com: <math display="block">\begin{array}{c}
\overrightarrow{a}=\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\
\overrightarrow{a}=\left(\cos\arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right),\sin\arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)\right)\\
\overrightarrow{a}=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)^{2}}},\frac{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}}\right)\\
\overrightarrow{a}=\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)^{2}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\\
\overrightarrow{a}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta x}}\frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)
\end{array}</math>Logo: <math display="block">\overrightarrow{a} =\frac{\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}</math> E uma vez que <math display="inline">\overrightarrow{d}=\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)=\left(\Delta x,\Delta y\right)</math>, então <math display="inline">\overrightarrow{a}= \overrightarrow{d}/\left|d\right|= \widehat{d}</math>. Logo: <math display="block">\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\widehat{d}</math>Ou ainda mais explícito, se fizermos <math display="inline">m_1=m_2</math>, sendo as partículas <math display="inline">i</math> e <math display="inline">j</math>, onde <math display="inline">i\neq j</math>, usando '''(2)''':
<math display="block">\begin{array}{cc}
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} & =\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{j}'-u_{i}'\right)\widehat{d}\\
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} & =\overrightarrow{v}_{i}+\left(\overrightarrow{v}_{j}\cdot\widehat{d}-\overrightarrow{v}_{i}\cdot\widehat{d}\right)\widehat{d}
\end{array}</math>
Temos então que: <math display="block">
\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} =\overrightarrow{v}_{i}+\left[\left(\overrightarrow{v}_{j}-\overrightarrow{v}_{i}\right)\cdot\widehat{d}\right]\widehat{d}</math>Todo o cálculo exibido foi para uma partícula, para a segunda partícula, o cálculo é análogo.

= Código =

{{Ecologia| [[Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos]] |[[MBA: Caminhante aleatório]]}}