Jhordan em 06h14min de 21 de julho de 2022

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	= Caminhante aleatório =		= Caminhante aleatório =
	O problema do caminhante aleatório pode ser definido da seguinte forma: Um homem começa de um ponto <math display="inline">0</math> e caminha 1 metro em uma linha reta, então ele vira um ângulo qualquer e anda outro <math display="inline">1</math> metro em uma linha reta. Ele repete esse processo <math display="inline">n</math> vezes, qual é a probabilidade de após estes <math display="inline">N</math> passos que o homem esteja a uma distância entre <math display="inline">r</math> e <math display="inline">r+\delta r</math> da origem.		O problema do caminhante aleatório pode ser definido da seguinte forma: Um homem começa de um ponto <math display="inline">0</math> e caminha 1 metro em uma linha reta, então ele vira um ângulo qualquer e anda outro <math display="inline">1</math> metro em uma linha reta. Ele repete esse processo <math display="inline">n</math> vezes, qual é a probabilidade de após estes <math display="inline">N</math> passos que o homem esteja a uma distância entre <math display="inline">r</math> e <math display="inline">r+\delta r</math> da origem.
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	* [https://books.google.com.br/books?id=ue1ScAAACAAJ A Modern Course in Statistical Physics] (L.E. Reichl)		* [https://books.google.com.br/books?id=ue1ScAAACAAJ A Modern Course in Statistical Physics] (L.E. Reichl)

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{{Ecologia| [[Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos]] |[[Contexto]]}}
= Caminhante aleatório =
O problema do caminhante aleatório pode ser definido da seguinte forma: Um homem começa de um ponto <math display="inline">0</math> e caminha 1 metro em uma linha reta, então ele vira um ângulo qualquer e anda outro <math display="inline">1</math> metro em uma linha reta. Ele repete esse processo <math display="inline">n</math> vezes, qual é a probabilidade de após estes <math display="inline">N</math> passos que o homem esteja a uma distância entre <math display="inline">r</math> e <math display="inline">r+\delta r</math> da origem.

Inspirado por este problema, propõe-se uma situação bidimensional similar. A principal diferença constitui-se no fato de que o ângulo não é mais aleatório. Reescrevendo o problema, agora em cada um dos eixos, nos quais o homem se move de maneira independe, há uma probabilidade <math display="inline">p</math> de se mover <math display="inline">1</math> metro em um sentido e uma probabilidade <math display="inline">q=1-p</math> de se mover no sentido contrário.

Trabalhando inicialmente apenas com uma dimensão, executando <math display="inline">N</math> passos, um caminho possível para o homem terminar a simulação em uma posição <math display="inline">m=n_1-n_2</math> tendo dado <math display="inline">n_1</math> passos à direita e <math display="inline">n_2</math> passos à esquerda, é dado por:

<math display="block">p^{n_{1}}q^{n_{2}}=p^{\frac{N+m}{2}}q^{\frac{N-m}{2}}</math>Pois sendo <math display="inline">N=n_1+n_2</math> podemo escrever: <math display="block">n_{1}=\frac{N+m}{2},\qquad n_{2}=\frac{N-m}{2}</math>Porém, está é a probabilidade de obtermos apenas um dos caminhos que leva o homem a <math display="inline">m</math>. O número total de caminhos indistinguíveis com <math display="inline">n_1</math> passos à direita e <math display="inline">n_2</math> passos a esquerda é dado por: <math display="block">\frac{N!}{n_{1}!n_{2}!}=\frac{N!}{n_{1}!\left(N-n_{1}\right)!}=\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}</math> Temos então que a probabilidade estar na posição <math display="inline">m</math> após <math display="inline">N</math> passos é dado por: <math display="block">p\left(m,N\right)=\frac{N!}{\left(\frac{N+m}{2}\right)!\left(\frac{N-m}{2}\right)!}p^{\frac{N+m}{2}}q^{\frac{N-m}{2}}</math> Ou reescrevendo <math display="inline">n_{1}=n</math> para facilitar, e lembrando que <math display="inline">n_{1}=\frac{N+m}{2}</math> e <math display="inline">N=n_{1}+n_{2}</math>: <math display="block">p\left(n\right)=\frac{N!}{n!\left(N-n\right)!}p^{n}q^{N-n}=\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)p^{n}q^{N-n}</math> Onde <math display="inline">\left(\begin{array}{c}N\\n \end{array}\right)=C_{n}^{N}</math> também é chamado de combinatória. Utilizando o binômio de Newton: <math display="block">\left(x+y\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n\\
k
\end{array}\right)x^{n-k}y^{k}</math>Temos a normalização: <math display="block">\sum_{n=0}^{n}p\left(n\right)=\sum_{n=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)q^{N-n}p^{n}=\left(p+q\right)^{N}=1</math>Uma vez que <math display="inline">p+q=1</math>. E lembrando que <math display="inline">p\left(n\right)</math> é a probabilidade de estar em <math display="inline">m=2n-N</math>, ou seja de obtermos <math display="inline">n</math> vezes passo a direita em <math display="inline">N</math> passos no total, então o valor médio de <math display="inline">n</math> pode ser dado por: <math display="block">\left\langle n\right\rangle =\sum_{n=0}^{N}np\left(n\right)</math>Derivando o binômio de Newton: <math display="block">\begin{array}{c}
p\frac{d}{dp}\left(p+q\right)^{N}=pN\left(p+q\right)^{N-1}=pN\end{array}</math>E também: <math display="block">\begin{align}
p\frac{d}{dp}\left(p+q\right)^{N} & =p\frac{d}{dp}\left[\sum_{n=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\right]\\
& =p\sum_{n=0}^{n}n\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)q^{N-n}p^{n-1}\\
& =\sum_{n=0}^{n}n\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)q^{N-n}p^{n}\\
& =\sum_{n=0}^{n}np\left(n\right)\end{align}</math>Então: <math display="block">pN=\sum_{n=0}^{n}np\left(n\right)=\left\langle n\right\rangle</math>E com isso podemos obter a posição final média <math display="inline">\left\langle m\right\rangle</math>. Utilizando a notação anterior posição final exata é <math display="inline">m=n_1-n_2</math>, ou ainda podemos rescrever como <math display="inline">m=2n-N</math>, pois: <math display="block">n_{1}-n_{2}=n_{1}-\left(N-n_{1}\right)=2n_{1}-N</math> A partir destes resultados podemos obter: <math display="block">\begin{align}
\left\langle m\right\rangle & =\sum_{n=0}^{N}mp\left(n\right)\\
& =\sum_{n=0}^{N}\left(2n-N\right)p\left(n\right)\\
& =2\sum_{n=0}^{N}np\left(n\right)-\sum_{n=0}^{N}Np\left(n\right)\\
& =2\left\langle n\right\rangle -N\sum_{n=0}^{N}p\left(n\right)\\
& =2\left\langle n\right\rangle -N\end{align}</math> A princípio, não temos motivos para dar preferência para o movimento em nenhuma direção, logo é razoável utilizar <math display="inline">p=q=1/2</math>, o que resulta em <math display="inline">\left\langle n\right\rangle=N/2</math> consequentemente <math display="inline">\left\langle m\right\rangle=0</math>. O que pode parecer contra-intuitivo para nosso modelo, mas além de distribuirmos animais por todo o espaço, o que resultado implica é a posição final média, mas é preciso entender que não impede que ao longo da simulação cada indivíduo percorra diferentes áreas do espaço.

<span id="distribuição-gaussiana"></span>
== Distribuição Gaussiana ==

Quando <math display="inline">N\rightarrow\infty</math> tendo <math display="inline">p \not\approx 1</math> temos a distribuição Gaussiana: <math display="block">p\left(n\right)=\left(\begin{array}{c}
N\\
n
\end{array}\right)p^{n}q^{N-n}\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi Npq}}\exp\left(\frac{-\left(n-Np\right)^{2}}{2Npq}\right)</math>

Foi realizada uma simulação utilizando Python e o módulo Mesa, grande parte do código segue a mesma discussão feita anteriormente no Jogo da Vida. A figura ilustra uma simulação com 10.000 caminhantes aleatórios em uma grade 100 X 100, iniciando na posição P=(50,50).

<div class="center">[[Ficheiro:mba_gauss.png|centro|miniaturadaimagem|750x750px|Resultado da simulação com a distribuição gaussiana sobreposta para N=100 para ambas as coordenadas.]]</div>

= Código =

<pre>
#Bibliotecas necessárias
from mesa import Agent, Model #Classes Agente e Modelo
from mesa.time import SimultaneousActivation #Agendador simultâneo
from mesa.space import MultiGrid #Malha multigrid
import random #Número aleatórios

#AGENTE---------------------------------------------------------------------------------
class Agente(Agent):
"""Classe do agente"""
def __init__(self,modelo):
"""Bibliotecas necessárias"""
#modelo - Modelo que ao qual o agente pertence
super().__init__(self,modelo) #Necessário para funcionar o modelo
self.ppos=(0,0)

def step(self):
"""Método obrigatório que prepara as mudanças"""
dx = (+1) if (random.random()<0.5) else(-1)
dy = (+1) if (random.random()<0.5) else (-1)
self.ppos = (self.pos[0]+dx,self.pos[1]+dy) #Próxima posição

def advance(self):
"""Método obrigatório que aplica as mudanças"""
self.model.grid.move_agent(self, self.ppos)

#MODELO
class Modelo(Model):
"""Modelo geral"""

def __init__(self, modelo,N,seed=None):
"""Função chamada quando o modelo é inicializazdo"""
# Modelo - Dicionário com especificações do modelo
# N - Quantiade de caminhantes
# seed - Seed dos números aleatórios do modelo do mesa

largura = modelo["Largura"];altura=modelo["Altura"];seed_random=modelo["Seed"]
random.seed(seed_random) #Seed dos números aleatórios
self.grid = MultiGrid(largura, altura, True) #Configura a grade
self.schedule = SimultaneousActivation(self) #Configura o agendador
self.running = True #Condiçao para seguir executando o modelo
for n in range(N):
a = Agente(self)
self.schedule.add(a)
X= 50
Y= 50
self.grid.place_agent(a, (X, Y))

def step(self):
"""Avançar um passo do modelo"""
self.schedule.step() #Avançamos os agentes

MAX =100
N=10000
modelo = {"Largura":100 ,"Altura":100 ,"Seed":0}
M = Modelo(modelo,N)
for i in range(MAX):
M.step()
if ((i+1)%(MAX/100)==0):
print(str(100*(1+i)/MAX)+"%")
</pre>

E o gráfico foi gerado utilizando:

<pre>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=[];y=[]
for a in M.schedule.agents:
x.append(a.pos[0])
y.append(a.pos[1])

a,b,c=plt.hist(x, 70, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)
m=1
K=100
X=np.arange(0,100, 0.1)
sigma = 2*np.pi*K*0.5*0.5
plt.plot(X,np.exp(-((X-K*0.5)**2)/sigma)/(np.sqrt(sigma)))
</pre>

Acima fazendos um histograma das posições em x, uma alteração simples permite visualizarmos o equivalente em y.

= Principais materiais utilizados: =

* [https://www.nature.com/articles/072294b0 The Problem of the Random Walk]. (Karl Pearson, Nature)
* [https://books.google.com.br/books?id=ue1ScAAACAAJ A Modern Course in Statistical Physics] (L.E. Reichl)

{{Ecologia| [[Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos]] |[[Contexto]]}}

MBA: Caminhante aleatório - Histórico de revisão

Jhordan em 06h14min de 21 de julho de 2022

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