Mínimos Quadrados - Histórico de revisão

Sebas: pequeno erro de grafia mas com significado

2021-07-27T14:22:21Z

pequeno erro de grafia mas com significado

← Edição anterior		Edição das 11h22min de 27 de julho de 2021
Linha 266:		Linha 266:
	* E erro das medidas (<math>\Delta y</math>) que deve ser minimizado, porem está geralmente limitado pelo instrumento utililizado		* E erro das medidas (<math>\Delta y</math>) que deve ser minimizado, porem está geralmente limitado pelo instrumento utililizado
	* O número de medidas <math>N</math>, quanto maior, melhor, porem vemos que o erro dos coeficientes diminui com a raiz dele		* O número de medidas <math>N</math>, quanto maior, melhor, porem vemos que o erro dos coeficientes diminui com a raiz dele
	* Por último, a dispersão da viariável ~~dependente~~ x (<math>\sigma</math>) também, quanto maior, melhor		* Por último, a dispersão da viariável independente x (<math>\sigma</math>) também, quanto maior, melhor

	Por último, consideremos o caso mais simples, ajuste sem ponderar e sem informação sobre <math>\Delta y</math>, apenas <math>N</math> pares de dados {<math>{x_i, y_i}</math>}.		Por último, consideremos o caso mais simples, ajuste sem ponderar e sem informação sobre <math>\Delta y</math>, apenas <math>N</math> pares de dados {<math>{x_i, y_i}</math>}.

Sebas: /* Ajuste ponderado */

2018-07-04T14:52:43Z

Ajuste ponderado

← Edição anterior		Edição das 11h52min de 4 de julho de 2018
Linha 181:		Linha 181:
	</pre>		</pre>
	=Ajuste ponderado=		=Ajuste ponderado=
	Dependendo da situação, convém fazer um ajuste levando em conta o erro associado a cada ponto, i.e., atribuindo maior peso para pontos com um erro baixo e menor peso para os pontos onde o erro é sabidamente maior. Ou seja, se definirmos <math>w_i</math> como o peso associado ao ponto <math>(~~X_i~~,~~Y_i~~)</math>, gostaríamos que ele seja maior quanto menor for o erro associado a este ponto.		Dependendo da situação, convém fazer um ajuste levando em conta o erro associado a cada ponto, i.e., atribuindo maior peso para pontos com um erro baixo e menor peso para os pontos onde o erro é sabidamente maior. Ou seja, se definirmos <math>w_i</math> como o peso associado ao ponto <math>(x_i,y_i)</math>, gostaríamos que ele seja maior quanto menor for o erro associado a este ponto.
	Se <math>S_{y_i}</math> é o erro associado a este ponto, e considerando que o ajuste proposto é tal que minimiza a distância quadrática, podemos definir então <math>w_i</math> como:		Se <math>S_{y_i}</math> é o erro associado a este ponto, e considerando que o ajuste proposto é tal que minimiza a distância quadrática, podemos definir então <math>w_i</math> como:

Sebas: /* Erro dos coeficientes */

2018-07-04T14:51:48Z

Erro dos coeficientes

← Edição anterior		Edição das 11h51min de 4 de julho de 2018
Linha 218:		Linha 218:
	fonte de erro. Assim para ver como o erro neles propaga-se para os coeficientes, escrevemos:		fonte de erro. Assim para ver como o erro neles propaga-se para os coeficientes, escrevemos:

	<math>a = a(y_i) \Rightarrow \frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta} \frac{\partial }{\partial y_i} \left\{[Yw][X^2w] - [~~XYw~~][Xw]\right\}</math>		<math>a = a(y_i) \Rightarrow \frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta} \frac{\partial }{\partial y_i} \left\{[yw][x^2w] - [xyw][xw]\right\}</math>

	<math>\frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta}\left\{ w_i[X^2w] - x_i w_i [Xw]\right\}</math>		<math>\frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta}\left\{ w_i[x^2w] - x_i w_i [xw]\right\}</math>

	~~pois só~~ os termos com y contribuem para a derivada. ~~e como~~ os <math>y_i</math> aparecem somados, ao derivar respeito do i-esimo		Só os termos com y contribuem para a derivada. Como os <math>y_i</math> aparecem somados, ao derivar respeito do ''i''-esimo
	sobra apenas o que multiplica ele		sobra apenas o que multiplica ele

	Para incluir o efeito do erro de cada y_i deveriamos somar i de 1 a N, mas como o erro pode ser para mais o menos		Para incluir o efeito do erro de cada <math>y_i</math> deveriamos somar i de 1 a N, mas como o erro pode ser para mais o menos
	fazemos uma media quadrática deles:		fazemos uma media quadrática deles:

Linha 231:		Linha 231:

	onde:		onde:
	<math>\left(\frac{\partial a}{\partial y_i}\Delta y_i \right)^2 = \frac{1}{\Delta^2} \left\{ w_i^2[X^2w]^2 + x_i^2 w_i^2 [Xw]^2 - 2w_i[X^2w] x_i w_i [Xw]\right\}w_i^{-1}</math>		<math>\left(\frac{\partial a}{\partial y_i}\Delta y_i \right)^2 = \frac{1}{\Delta^2} \left\{ w_i^2[x^2w]^2 + x_i^2 w_i^2 [xw]^2 - 2w_i[x^2w] x_i w_i [xw]\right\}w_i^{-1}</math>

	o somatório fica:		o somatório fica:

	<math>\frac{1}{\Delta^2} \sum_{i=1}^N \left(w_i[X^2w]^2 + x_i^2 w_i [Xw]^2 - 2 [X^2w] x_i w_i [Xw]\right) =		<math>\frac{1}{\Delta^2} \sum_{i=1}^N \left(w_i[x^2w]^2 + x_i^2 w_i [xw]^2 - 2 [x^2w] x_i w_i [xw]\right) =
	\frac{1}{\Delta^2} \left([w][X^2w]^2 + [X^2w][Xw]^2 - 2 [X^2w][Xw][Xw]\right)</math>		\frac{1}{\Delta^2} \left([w][x^2w]^2 + [x^2w][xw]^2 - 2 [x^2w][xw][xw]\right)</math>


	e com mais algumas simplificações chegamos a simples relação:		e com mais algumas simplificações chegamos a simples relação:

	<math>\Delta a = \sqrt{\frac{[X^2w]}{\Delta}}</math>		<math>\Delta a = \sqrt{\frac{[x^2w]}{\Delta}}</math>

	Analogamente para o b (que resulta ser mais fácil), se chega a:		Analogamente para o b (que resulta ser mais fácil), se chega a:
Linha 252:		Linha 252:
	<math>w=1/(\Delta y)^2</math>		<math>w=1/(\Delta y)^2</math>

	:<math>\Rightarrow \Delta = w^2 (N[X^2] - [X]^2)= (w N \sigma)^2</math>		:<math>\Rightarrow \Delta = w^2 (N[x^2] - [x]^2)= (w N \sigma)^2</math>

	onde <math>\sigma^2 = <x^2> - <x>^2</math>		onde <math>\sigma^2 = <x^2> - <x>^2</math>

Sebas: /* Ajuste ponderado */

2018-07-04T14:45:46Z

Ajuste ponderado

← Edição anterior		Edição das 11h45min de 4 de julho de 2018
Linha 193:		Linha 193:

	:<math> \begin{bmatrix}		:<math> \begin{bmatrix}
	a[w] + b[Xw] & = &[Yw] \\		a[w] + b[xw] & = &[yw] \\
	a[Xw] + b[X^2w] & = & [~~XYw~~]		a[xw] + b[x^2w] & = & [xyw]
	\end{bmatrix}</math>		\end{bmatrix}</math>

	E, portanto, os valores de <math>a</math> e <math>b</math> são:		E, portanto, os valores de <math>a</math> e <math>b</math> são:

	<math>a = [Yw][X^2w] - [~~XYw~~][Xw] / \Delta</math>		<math>a = ([yw][x^2w] - [xyw][xw]) / \Delta</math>

	<math>b = [w][~~XYw~~] - [Xw][Yw] / \Delta</math>		<math>b = ([w][xyw] - [xw][yw]) / \Delta</math>

	com <math>\Delta</math>:		com <math>\Delta</math>:

	<math>\Delta = [w][X^2w] - [Xw]^2</math>		<math>\Delta = [w][x^2w] - [xw]^2</math>

	=Erro dos coeficientes=		=Erro dos coeficientes=

Sebas: /* Equação linear */

2018-07-04T14:40:25Z

Equação linear

← Edição anterior		Edição das 11h40min de 4 de julho de 2018
Linha 17:		Linha 17:
	Sendo que um experimento foi realizado e temos <math>N</math> pontos, como descrito acima, e consideramos que um ajuste linear é coerente, uma reta deve ser construída para melhor representar estes pontos. Como mostrado na figura a baixo, para cada ponto, teremos um erro <math>\epsilon_i</math>, que é definido como a distância entre o ponto experimental e a curva (reta neste caso) teórica que desejamos ajustar, ou seja,		Sendo que um experimento foi realizado e temos <math>N</math> pontos, como descrito acima, e consideramos que um ajuste linear é coerente, uma reta deve ser construída para melhor representar estes pontos. Como mostrado na figura a baixo, para cada ponto, teremos um erro <math>\epsilon_i</math>, que é definido como a distância entre o ponto experimental e a curva (reta neste caso) teórica que desejamos ajustar, ou seja,

	:<math>\epsilon_i = ~~Y_i~~ - f(~~X_i~~)</math> ,		:<math>\epsilon_i = y_i - f(x_i)</math> ,

	onde		onde
Linha 33:		Linha 33:
	:<math>S = \sum_{i=1}^N \epsilon_i^2</math>,		:<math>S = \sum_{i=1}^N \epsilon_i^2</math>,
	assim		assim
	:<math>S = \sum_{i=1}^N [~~Y_i~~ - f(~~X_i~~)]^2 = \sum_{i=1}^N [~~Y_i~~ - f(~~X_i~~;\alpha_0,\alpha_1)]^2 </math>.		:<math>S = \sum_{i=1}^N [y_i - f(x_i)]^2 = \sum_{i=1}^N [y_i - f(x_i;\alpha_0,\alpha_1)]^2 </math>.

	Para obter a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais, temos que minimizar <math>S</math> em relação às constantes da função <math>(\alpha_0,\alpha_1)</math>:		Para obter a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais, temos que minimizar <math>S</math> em relação às constantes da função <math>(\alpha_0,\alpha_1)</math>:
Linha 41:		Linha 41:
	Como a reta possui apenas dois coeficientes, para o ajuste linear temos duas equações:		Como a reta possui apenas dois coeficientes, para o ajuste linear temos duas equações:

	:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_0} = \frac{\partial}{\partial \alpha_0}\sum_{i=1}^N [~~Y_i~~ - (\alpha_0 + \~~alpha_1X_i~~)]^2 = 0</math>		:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_0} = \frac{\partial}{\partial \alpha_0}\sum_{i=1}^N [y_i - (\alpha_0 + \alpha_1x_i)]^2 = 0</math>
	e		e
	:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_1} = \frac{\partial}{\partial \alpha_1}\sum_{i=1}^N [~~Y_i~~ - (\alpha_0 + \~~alpha_1X_i~~)]^2 = 0</math> .		:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_1} = \frac{\partial}{\partial \alpha_1}\sum_{i=1}^N [y_i - (\alpha_0 + \alpha_1x_i)]^2 = 0</math> .

	Derivando as equações acima, temos que		Derivando as equações acima, temos que

	:<math>\sum_{i=1}^N ~~Y_i~~ - \sum_{i=1}^N \alpha_0 - \sum_{i=1}^N \~~alpha_1X_i~~ = 0</math>		:<math>\sum_{i=1}^N y_i - \sum_{i=1}^N \alpha_0 - \sum_{i=1}^N \alpha_1x_i = 0</math>
	e		e
	:<math>\sum_{i=1}^N ~~Y_iX_i~~ - \sum_{i=1}^N \~~alpha_0X_i~~ - \sum_{i=1}^N \~~alpha_1X_i~~^2 = 0</math> .		:<math>\sum_{i=1}^N y_ix_i - \sum_{i=1}^N \alpha_0x_i - \sum_{i=1}^N \alpha_1x_i^2 = 0</math> .

	Assim,		Assim,

	:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N 1}_N + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N ~~X_i~~}_X = \underbrace{\sum_{i=1}^N ~~Y_i~~}_Y </math>		:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N 1}_N + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N x_i}_X = \underbrace{\sum_{i=1}^N y_i}_Y </math>
	e		e
	:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N ~~X_i~~}_X + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N ~~X_i~~^2}_{X^2} = \underbrace{\sum_{i=1}^N ~~Y_iX_i~~}_{YX}</math> .		:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N x_i}_X + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N x_i^2}_{X^2} = \underbrace{\sum_{i=1}^N y_ix_i}_{YX}</math> .

	Lembre-se de que os valores <math>~~X_i~~</math> e <math>~~Y_i~~</math> são conhecidos (são dados do problema). Desse modo, terminamos com um sistema linear para resolver, que na notação matricial fica		Lembre-se de que os valores <math>x_i</math> e <math>y_i</math> são conhecidos (são dados do problema). Desse modo, terminamos com um sistema linear para resolver, que na notação matricial fica

	:<math>\begin{pmatrix}N & X \\ X & X^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y \\ YX \end{pmatrix}</math> .		:<math>\begin{pmatrix}N & X \\ X & X^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y \\ YX \end{pmatrix}</math> .
Linha 63:		Linha 63:

	Cuidado com o fato que <math>(X^2 \neq XX)</math> e <math>(YX \neq YX)</math>. Após construir a matriz, resolva com o método que mais lhe agrade (ha diversos métodos de solução de sistemas lineares, tais como a Regra de Cramer ou a eliminação Gaussiana).		Cuidado com o fato que <math>(X^2 \neq XX)</math> e <math>(YX \neq YX)</math>. Após construir a matriz, resolva com o método que mais lhe agrade (ha diversos métodos de solução de sistemas lineares, tais como a Regra de Cramer ou a eliminação Gaussiana).




	=Equação quadrática=		=Equação quadrática=

Sebas: /* Ajuste ponderado */

2018-07-04T14:35:08Z

Ajuste ponderado

← Edição anterior		Edição das 11h35min de 4 de julho de 2018
Linha 191:		Linha 191:
	E o resíduo <math>\chi^2</math>, para o cálculo do ajuste ponderado, será dada por:		E o resíduo <math>\chi^2</math>, para o cálculo do ajuste ponderado, será dada por:

	<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^N (~~Y_i~~ - a - b ~~X_i~~)^{2}w_i</math>		<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^N (y_i - a - b x_i)^{2}w_i</math>

	Aplicando o mesmo procedimento anterior para minimizar <math> \chi^2 </math>, obtemos as equações		Aplicando o mesmo procedimento anterior para minimizar <math> \chi^2 </math>, obtemos as equações

Sebas em 14h33min de 4 de julho de 2018

2018-07-04T14:33:36Z

← Edição anterior		Edição das 11h33min de 4 de julho de 2018
Linha 261:		Linha 261:
	resultando:		resultando:

	<math>\Delta a = \Delta y \sqrt~~{\frac~~{<x^2>}{N\sigma^2}}</math>		<math>\Delta a = \frac{\Delta y \sqrt{<x^2>}}{\sigma \sqrt{N}}</math>

	<math>\Delta b = \Delta y \sqrt~~{\frac{1}~~{N~~\sigma^2~~}}</math>		<math>\Delta b = \frac{\Delta y}{\sigma \sqrt{N}}</math>

	Por tanto, três fatores determinam a qualidade do ajuste:		Por tanto, três fatores determinam a qualidade do ajuste:
Linha 269:		Linha 269:
	* E erro das medidas (<math>\Delta y</math>) que deve ser minimizado, porem está geralmente limitado pelo instrumento utililizado		* E erro das medidas (<math>\Delta y</math>) que deve ser minimizado, porem está geralmente limitado pelo instrumento utililizado
	* O número de medidas <math>N</math>, quanto maior, melhor, porem vemos que o erro dos coeficientes diminui com a raiz dele		* O número de medidas <math>N</math>, quanto maior, melhor, porem vemos que o erro dos coeficientes diminui com a raiz dele
	* Por último, a dispersão da viariável dependente x (<math>\sigma</math>), ~~também~~ quanto maior, melhor		* Por último, a dispersão da viariável dependente x (<math>\sigma</math>) também, quanto maior, melhor

			Por último, consideremos o caso mais simples, ajuste sem ponderar e sem informação sobre <math>\Delta y</math>, apenas <math>N</math> pares de dados {<math>{x_i, y_i}</math>}.
			Nesse caso podemos estimar o valor de <math>\Delta y</math> pelo <math>\chi^2</math> assim:

			<math>\Delta y \approx \sqrt{\frac{\chi^2}{N-2}}</math>

			Pois o resíduo <math>\chi^2</math> pode ser interpretado como o somatório dos erros de cada ponto, tomados como a distancia entre a medida e o ajuste.
			O <math>N-2</math> em lugar de <math>N</math>, é pelo fato de que o ajuste já contem dois parâmetros (<math>a</math> e <math>b</math>
			obtidos dos dados, então os erros individuais não são todos independentes.

Sebas em 22h45min de 2 de julho de 2018

2018-07-02T22:45:03Z

← Edição anterior		Edição das 19h45min de 2 de julho de 2018
Linha 184:		Linha 184:
	</pre>		</pre>
	=Ajuste ponderado=		=Ajuste ponderado=
	Dependendo da situação, convém fazer um ajuste levando em conta o erro associado a cada ponto, i.e., atribuindo maior peso para pontos com um erro baixo e menor peso para os pontos onde o erro é sabidamente maior.Ou seja, se definirmos <math>w_i</math> como o peso associado ao ponto <math>(X_i,Y_i)</math>, gostaríamos que ele seja maior quanto menor for o erro associado a este ponto.		Dependendo da situação, convém fazer um ajuste levando em conta o erro associado a cada ponto, i.e., atribuindo maior peso para pontos com um erro baixo e menor peso para os pontos onde o erro é sabidamente maior. Ou seja, se definirmos <math>w_i</math> como o peso associado ao ponto <math>(X_i,Y_i)</math>, gostaríamos que ele seja maior quanto menor for o erro associado a este ponto.
	Se <math>S_{y_i}</math> é o erro associado a este ponto, e considerando que o ajuste proposto é tal que minimiza a distância quadrática, podemos definir então <math>w_i</math> como:		Se <math>S_{y_i}</math> é o erro associado a este ponto, e considerando que o ajuste proposto é tal que minimiza a distância quadrática, podemos definir então <math>w_i</math> como:

	<math>w_i=S_{y_i}^{-2}</math>		<math>w_i=S_{y_i}^{-2}</math>

	E ~~a variável~~ <math>\chi</math>, para o cálculo do ajuste ponderado, será dada por:		E o resíduo <math>\chi^2</math>, para o cálculo do ajuste ponderado, será dada por:

	<math>\chi = \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)^{2}w_i</math>		<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)^{2}w_i</math>

	Aplicando o mesmo procedimento anterior para minimizar <math> \chi </math>, obtemos as equações		Aplicando o mesmo procedimento anterior para minimizar <math> \chi^2 </math>, obtemos as equações

	:<math> \begin{bmatrix}		:<math> \begin{bmatrix}
Linha 201:		Linha 201:

	E, portanto, os valores de <math>a</math> e <math>b</math> são:		E, portanto, os valores de <math>a</math> e <math>b</math> são:

	~~<math>\Delta = [w][X^2w] - [Xw]^2</math>~~

	<math>a = [Yw][X^2w] - [XYw][Xw] / \Delta</math>		<math>a = [Yw][X^2w] - [XYw][Xw] / \Delta</math>
Linha 208:		Linha 206:
	<math>b = [w][XYw] - [Xw][Yw] / \Delta</math>		<math>b = [w][XYw] - [Xw][Yw] / \Delta</math>

			com <math>\Delta</math>:

			<math>\Delta = [w][X^2w] - [Xw]^2</math>

	=Erro dos coeficientes=		=Erro dos coeficientes=
Linha 264:		Linha 265:
	<math>\Delta b = \Delta y \sqrt{\frac{1}{N\sigma^2}}</math>		<math>\Delta b = \Delta y \sqrt{\frac{1}{N\sigma^2}}</math>

	~~Ou seja~~ quanto maior o ~~número e mais espalhadas no eixo X as medidas~~ melhor		Por tanto, três fatores determinam a qualidade do ajuste:

			* E erro das medidas (<math>\Delta y</math>) que deve ser minimizado, porem está geralmente limitado pelo instrumento utililizado
			* O número de medidas <math>N</math>, quanto maior, melhor, porem vemos que o erro dos coeficientes diminui com a raiz dele
			* Por último, a dispersão da viariável dependente x (<math>\sigma</math>), também quanto maior, melhor

Ejagnes em 14h56min de 18 de outubro de 2011

2011-10-18T14:56:23Z

Mostrar alterações

Tekkito: Criou página com 'Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados. Se $(X_i, Y_i)$ com $i=1, N$ representam o conjunto de ...'

2011-09-19T17:38:16Z

Criou página com 'Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados. Se <math>(X_i, Y_i)</math> com <math>i=1, N</math> representam o conjunto de ...'

Página nova

Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados.

Se <math>(X_i, Y_i)</math> com <math>i=1, N</math> representam o conjunto de dados (N) obtidos de um experimento (instrumento) ou
de uma observação (pesquisa de opinião ou censo) ou de uma simulação numérica.
E se suspeitamos que existe uma correlação entre os X (variável independente ou de entrada, controlada pelo experimento)
e os Y (cuja dependência com X queremos testar), primeiro colocamos os pontos num gráfico para ver se o conjunto forma
uma nuvem dispersa (quando não existe correlação aparente, isto é X e Y não conformam uma função), ou se existe
correlação (os pontos parecem estar sobre alguma curva). <br>
Depois o seguinte a fazer é o ajuste de mínimos quadrados:

Suponhamos que a relação aparente entre Y e X é linear:

:<math>Y = a + bX\;</math>

ou seja que para cada i:

:<math>Y_i = a + b X_i\;</math>

Definimos:

<math>\chi = \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)^{2}</math>

Se a relação linear entre Y e X fosse exata o valor de <math>\chi</math> seria zero. Mas, como se trata de valores provenientes de um experimento,
mesmo sendo essa a relação entre eles, <math>\chi</math> não será zero. Entretanto os valores de {a, b} que procuramos são aqueles que minimizam o valor de <math>\chi</math>.
Isto não mostra o caminho para encontrar esses coeficientes:

<math>\frac{\partial\chi}{\partial a} = \frac{\partial\chi}{\partial b} = 0</math>

o que nos leva a:

<math>\sum_{i=1}^N 2 (Y_i - a - b X_i)(-1) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)= 0</math>

<math>\sum_{i=1}^N 2 (Y_i - a - b X_i)(-X_i) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^N (Y_i X_i - a X_i - b X_i^2)= 0</math>

Definindo a seguinte notação:

:<math>[1] = \sum_{i=1}^N 1 = N; \;\;\; [X] = \sum_{i=1}^N X_i; \;\;\; [Y] = \sum_{i=1}^N Y_i </math>

:<math>[XY] = \sum_{i=1}^N X_i Y_i; \;\; [X^2] = \sum_{i=1}^N X_i^2 </math>

Temos as duas equações que determinam os valores de {a.b}:

:<math> \begin{bmatrix}
a[1] + b[X] & = &[ Y] \\
a[X] + b[X^2] & = & [XY]
\end{bmatrix}</math>

Ou seja, um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas (a e b) em termos dos valores [1], [x], etc.<br>
Em forma matricial:

:<math>
\begin{matrix}
a & [1] & [X] & = & [Y] \\
b & [X] & [X^2] & = & [XY]
\end{matrix}
</math>

Os valores a eb são obtidos resolvendo os determinantes correspondentes, ficando assim:

<math>det = [1][X^2] - [X]^2</math>

<math>a = [Y][X^2] - [XY][X] / det</math>

<math>b = [1][XY] - [X][Y] / det</math>

Mínimos Quadrados - Histórico de revisão

Sebas: pequeno erro de grafia mas com significado

Sebas: /* Ajuste ponderado */

Sebas: /* Erro dos coeficientes */

Sebas: /* Ajuste ponderado */

Sebas: /* Equação linear */

Sebas: /* Ajuste ponderado */

Sebas em 14h33min de 4 de julho de 2018

Sebas em 22h45min de 2 de julho de 2018

Ejagnes em 14h56min de 18 de outubro de 2011

Tekkito: Criou página com 'Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados. Se (X_i, Y_i) com i=1, N representam o conjunto de ...'

Tekkito: Criou página com 'Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados. Se $(X_i, Y_i)$ com $i=1, N$ representam o conjunto de ...'