Métodos de Lyapunov - Histórico de revisão

Jhordan em 02h39min de 10 de novembro de 2022

2022-11-10T02:39:15Z

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	Temos os seguintes autovalores <math>\left\{ -0.37,5.37\right\} </math> com os seguintes autovetores correspondentes <math>\left\{ \left(1,-0.69\right),\left(1,2.19\right)\right\} </math>. Então significa que na direção <math>\left(1,-0.69\right)</math> o sistema evolui de forma a se aproximar da origem (autovalor negativo) e na direção <math>\left(1,2.19\right)</math> se afasta da da origem (autovalor positivo).		Temos os seguintes autovalores <math>\left\{ -0.37,5.37\right\} </math> com os seguintes autovetores correspondentes <math>\left\{ \left(1,-0.69\right),\left(1,2.19\right)\right\} </math>. Então significa que na direção <math>\left(1,-0.69\right)</math> o sistema evolui de forma a se aproximar da origem (autovalor negativo) e na direção <math>\left(1,2.19\right)</math> se afasta da da origem (autovalor positivo).


			Ou ainda em uma explicação mais geral, uma matriz <math>A</math> qualquer que tenha os autovalores <math>\lambda_{i}</math> associado aos autovetores <math>\left\|\lambda_{i}\right\rangle</math>:

			<math display="block">A=\sum_{i}\lambda_{i}\left\|\lambda_{i}\right\rangle \left\langle \lambda_{i}\right\|</math>

			Então escrevendo nosso sistema linear de equações diferenciais como:

			<math display="block">\left\|\dot{x}\right\rangle =A\left\|x\right\rangle </math>

			Ou ainda:

			<math display ="block"> \left\|\dot{x}\right\rangle =\sum_{i}\lambda_{i}\left\|\lambda_{i}\right\rangle \left\langle \lambda_{i}\|x\right\rangle </math>

			Podemos pensar então que o termo <math>\left\langle \lambda_{i}\|x\right\rangle</math> nos dá uma medida de ortogonalidade entre nosso ponto atual <math> \left\|x\right\rangle </math> e o autovetor <math>\left\|\lambda_{i}\right\rangle</math> , o que implica em 'quanto' nosso sistema vai se mover na direção apontada pelo autovalor. Como um extremo, podemos ver que se forem perpendiculares entre si, então <math>\left\langle \lambda_{i}\|x\right\rangle =0 </math> logo o termo inteiro do somatório é zerado. Uma vez que <math>\left\langle \lambda_{i}\|x\right\rangle \neq0</math>, então resta o vetor <math>\left\|\lambda_{i}\right\rangle</math>, que vai dar efetivamente a direção no qual o ponto vai se mover. E ainda por fim, temos <math>\lambda_{i}</math> que vai regular o sentido no qual o sistema vai se 'mover'. Podemos perceber aqui, para valores reais, a necessidade de que todos os autovalores sejam negativos para termos um sistema estável, assim como o motivo de que os autovalores reais positivos configuram um sistema instável.

			Obs. Esta é uma notação emprestada da mecânica quântica, a notação de dirac. Onde <math>\left\langle \lambda_{i}\right\|</math> é o transposto conjugado de <math>\left\|\lambda_{i}\right\rangle</math> e <math>\left\langle \lambda_{i}\|\lambda_{j}\right\rangle</math> denota o produto interno entre os vetores <math>\left\|\lambda_{i}\right\rangle</math> e <math>\left\|\lambda_{j}\right\rangle</math>.
	[[Ficheiro:Wolfafa.gif\|miniaturadaimagem\|Diagrama de fase gerado no [https://www.wolframalpha.com/input/?i=StreamPlot%5B+%7Bx%2B2y%2C3x%2B4y%7D+%2C%7Bx%2C-1%2C1%7D%2C%7By%2C-0.69%2C2.19%7D%5D WolframAlpha] para o sistema formado por <math>\dot{x}=x+2y</math> e <math>\dot{y}=3+4y</math>.\|alt=]]		[[Ficheiro:Wolfafa.gif\|miniaturadaimagem\|Diagrama de fase gerado no [https://www.wolframalpha.com/input/?i=StreamPlot%5B+%7Bx%2B2y%2C3x%2B4y%7D+%2C%7Bx%2C-1%2C1%7D%2C%7By%2C-0.69%2C2.19%7D%5D WolframAlpha] para o sistema formado por <math>\dot{x}=x+2y</math> e <math>\dot{y}=3+4y</math>.\|alt=]]

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Os critérios de Lyapunov para analisar a estabilidade em sistemas não lineares são:
*Primeiro critério de Lyapunov (método reduzido, método indireto ou teorema da linearização): a análise de estabilidade de um ponto de equilíbrio <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> é feito estudando a estabilidade do sistema linearizado correspondente na vizinhança deste ponto de equilíbrio.
*Segundo critério de Lyapunov (método direto): a análise de estabilidade de um ponto de equilíbrio <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> é feito usando funções escalares apropriadas definidas no espaço de estados.

====== Primeiro critério ======
Considerando uma função contínua:

<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)</math>

Considerando a vizinhança do ponto de equilíbrio na origem <math display="inline">\left(x_{0},u_{0}\right)</math> (qualquer ponto pode ser transladado para a origem), temos o seguinte correspondente sistema linearizado:

<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=A\tilde{\boldsymbol{x}}\left(t\right)+B\tilde{\boldsymbol{u}}\left(t\right)</math>

*Se todos os autovalores da matriz <math display="inline">A</math> tem parte real negativa o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável;
*Se ao menos um dos auto valores da matriz da matriz <math display="inline">A</math> tem parte real positiva então o ponto instável;
*Se um dos autovalores está localizado no eixo imaginário, isto é, tem parte real nula, mas todos os outros autovalores são negativos (não há autovalor positivo e nem todos são negativos), não é possível concluir nada sobre a estabilidade do ponto.
**Para 2 dimensões se <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math> temos uma estabilidade não assintótica e se <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}</math> temos um caso degenerado.
Olhando um exemplo simples para entendermos melhor, vamos considerar um sistema autônomo em duas dimensões. Especificamente:

<math display="block">\left(\begin{array}{c}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)</math>

Considerando que os autovalores sejam números reais, a magnitude não é a característica mais importante dos autovalores, mas sim o sinal. Se ambos os autovalores tem sinal positivo, então o sistema vai se afastar da origem. Por exemplo, se o sistema está em um ponto <math>\left(1,-1\right)</math> do espaço de estados vai sofrer uma variação positiva na coordenada x, e negativa na coordenada y. Agora se ambos os autovalores são negativos temos um deslocamento no sentido contrário, ou seja, o sistema vai se aproximar da origem. E por fim, se o sistema tem um autovalor com cada sinal, então significa que em um eixo ele se aproxima e no outro se afasta (ponto de sela).

Olhando para os autovetores da nossa matriz, eles apontam exatamente na direção dos eixos (<math>\left\{ \left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\} </math>), que foram as direções em que discutimos o comportamento do sistema. De maneira geral, tivéssemos uma matriz qualquer, analisaríamos então o comportamento do sistema na direção dos autovetores. Por exemplo para o sistema:

<math display="block">\left(\begin{array}{c}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)</math>

Temos os seguintes autovalores <math>\left\{ -0.37,5.37\right\} </math> com os seguintes autovetores correspondentes <math>\left\{ \left(1,-0.69\right),\left(1,2.19\right)\right\} </math>. Então significa que na direção <math>\left(1,-0.69\right)</math> o sistema evolui de forma a se aproximar da origem (autovalor negativo) e na direção <math>\left(1,2.19\right)</math> se afasta da da origem (autovalor positivo).
[[Ficheiro:Wolfafa.gif|miniaturadaimagem|Diagrama de fase gerado no [https://www.wolframalpha.com/input/?i=StreamPlot%5B+%7Bx%2B2y%2C3x%2B4y%7D+%2C%7Bx%2C-1%2C1%7D%2C%7By%2C-0.69%2C2.19%7D%5D WolframAlpha] para o sistema formado por <math>\dot{x}=x+2y</math> e <math>\dot{y}=3+4y</math>.|alt=]]

====== Segundo critério ======
O segundo critério de Lyapunov geralmente é utilizando quando não podemos utilizar o primeiro (com autovalores negativos). Precisamos de algumas definições adicionais para estudá-lo, sendo <math display="inline">W</math> um subconjunto aberto de <math display="inline">\mathcal{R}^{n}</math> contendo a origem (qualquer ponto de equilíbrio pode ser transladado para a origem), então uma função <math display="inline">V</math>

<math display="block">V:W\rightarrow \mathcal{R}\text{ tal que }\boldsymbol{x}\mapsto V\left(\boldsymbol{x}\right)</math>

É [semi]positiva definida em <math display="inline">W</math> se:

*<math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=0</math>
*<math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)>0</math> <math display="inline">\left[V\left(\boldsymbol{x}\right)\geq0\right]</math>, sendo <math display="inline">\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{x}_{0}</math>

E [semi]definida negativa se:

* <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=0</math>
* <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)<0</math> <math display="inline">\left[V\left(\boldsymbol{x}\right)\leq0\right]</math>, sendo <math display="inline">\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{x}_{0}</math>.

Vale a pena um olhar especial para funções quadráticas.

*1 variável: <math display="inline">f\left(x_{1}\right)=a_{11}x_{1}^{2}=x_{1}a_{11}x_{1}</math>
*2 variáveis: <math display="inline">f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}a_{11}x_{1}+x_{1}a_{12}x_{2}+x_{2}a_{21}x_{1}+x_{2}a_{22}x_{2}</math>
*N-variáveis: <math display="inline">f\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)=\sum_{i,j}^{n}x_{i}a_{ij}x_{j}</math>

De forma que podemos representá-la matricialmente como:

<math display="block">f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{T}P\boldsymbol{x}</math>

Onde: <math display="block">\boldsymbol{x}=\left(x_{1},\dots,x_{n}\right),\qquad P=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right)</math>

Além disso, qualquer forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica<ref>[http://www.rmi.ge/~kade/LecturesT.Kadeishvili/MathEconomics/Term3/Week3QuadraticLEC.pdf Quadratic Forms] (Tornike Kadeishvili, Universidade Estatal de Tbilisi)</ref>, substituindo <math display="inline">a_{ij}^{s}=a_{ji}^{s}=\frac{a_{ji}+a_{ij}}{2}</math> para quando <math display="inline">a_{ij}\neq a_{ji}</math>. Ou de maneira genérica:

<math display="block">P^{s}=\frac{P+P^{T}}{2}</math>

Então só precisamos nos preocupar com <math display="inline">P</math> para classificar a função quadrática. Se os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Menor_(%C3%A1lgebra_linear) menores] principais líderes são maiores que zero, temos um positivo definido. Isto é:

<math display="block">\left|D_{1}\right|=\left|a_{11}\right|>0,\left|D_{2}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0,\dots,\left|D_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right|>0</math>

Lembrando que <math display="inline">\left|M\right|</math> denota o determinante da matriz <math display="inline">M</math>. Para um positivo semidefinido, precisamos levar em conta todos os menores. Isto é, quando a matriz que obtemos não corresponde necessariamente ao quadrante superior esquerdo da matriz. Neste caso se todos os menores principais <math display="inline">D_{j}</math> são maiores ou iguais a <math display="inline">0</math> (<math display="inline">D_{j}\geq0</math>) temos uma função semidefinida positiva.

Já para o negativo definido, temos a seguinte condição para os menores principais líderes:

<math display="block">\left|D_{1}\right|<0,\left|D_{2}\right|>0,\left|D_{3}\right|<0,\dots</math>

Ou seja uma alternância de sinal começando com negativo. Para o negativo semidefinido temos algo análogo porém com todas as matrizes menores, as ímpares são <math display="inline">\leq0</math> e as pares <math display="inline">\geq0</math>. Uma forma mais fácil de classificarmos a matriz é olhando para seus autovalores. Se todos os autovalores da matriz são:

*<math display="inline">\lambda_{i}>0</math>: positivo definido
*<math display="inline">\lambda_{i}<0</math>: negativo definido
*<math display="inline">\lambda_{i}\geq0</math>: positivo semidefinido
*<math display="inline">\lambda_{i}\leq0</math>: negativo semidefinido

Retornando ao sistema não linear:

<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}_{0}\right)</math>

Considerando um sistema autônomo:

<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)</math>

Pelo segundo critério de Lyapunov, se na vizinhança <math display="inline">W</math> de <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> existe uma função <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right):W\rightarrow\mathcal{R}</math> positiva definida e:

*<math display="inline">\dot{V}\leq0</math> , então o ponto <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> é estável;
*<math display="inline">\dot{V}</math> for negativo definido, o ponto é assintoticamente estável;
**Ainda há um ’refinamento’ para determinar estabilidade assintótica quando Lyapunov garante apena estabilidade (critério de La Salle-Krasowski).
*<math display="inline">\dot{V}</math> for positivo definido, o ponto é instável.
**Se <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> for um ponto de acumulação para um conjunto de pontos <math display="inline">\boldsymbol{x}\in W</math> em que <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)>0</math>, o critério também pode ser usado se a função <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)</math> não for positiva definida em todo <math display="inline">W</math>.
Aqui talvez vale a pena fazer uma breve discussão sobre o que é ser um ponto de acumulação e alguns conceitos relacionado.

*[https://www.mathemania.com/lesson/accumulation-point-of-a-set/ Ponto de acumulação]: Um ponto <math display="inline">\boldsymbol{x}</math> é um ponto de acumulação do conjunto <math display="inline">W^{+}\subseteq W</math> se todas as suas vizinhanças abertas contém ao menos um ponto de <math display="inline">W^{+}</math> distinto de <math display="inline">\boldsymbol{x}</math>.
*Vizinhança aberta: a vizinhança aberta de um ponto é todo conjunto aberto que contém o ponto.
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Open_set Conjunto aberto:]
**Uma bola aberta é <math display="inline">K\left(x,r\right)=\left\{ y\in R^{n}:d\left(x,y\right)<r\right\}</math>, onde <math display="inline">d\left(x,y\right)</math> é a distância entre dois pontos. Então <math display="inline">K\left(x,r\right)</math> é uma bola aberta centrada em <math display="inline">x</math> com raio <math display="inline">r</math>.
**Um conjunto aberto é uma união de bolas abertas. Ou seja um conjunto <math display="inline">W^{+}\subseteq \mathcal{R}^{n}</math> é um conjunto aberto se <math display="inline">\left(\forall x\in W^{+}\right)\left(\exists r>0\right)K\left(x,r\right)\subseteq W^{+}</math>, em palavras, para todo <math display="inline">\boldsymbol{x}</math> que pertence a <math display="inline">W^{+}</math>, existe um raio <math display="inline">r</math> maior que <math display="inline">0</math> em que temos uma bola aberta centrada em <math display="inline">x</math> com raio <math display="inline">r</math> que é um subconjunto de <math display="inline">W^{+}</math>.
**Conjunto aberto é uma generalização de intervalos abertos.
**Como exemplo de conjunto aberto, podemos citar o interior de um disco com a fronteira delimitada por <math display="inline">x^{2}+y^{2}=r^{2}</math>. Este conjunto de pontos que satisfazem <math display="inline">x^{2}+y^{2}<r^{2}</math> é um conjunto aberto.

Para compreender melhor o critério, devemos lembrar que o segundo método de Lyapunov é uma generalização baseada em dois princípios físicos básicos:

* Um sistema conservativo é estável somente se sua energia potencial tem um mínimo local no ponto de equilíbrio;
* A energia total de um sistema conservativo é constante durante a evolução do sistema.

Então podemos voltar a física clássica e encarar <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x},t\right)</math> como uma energia potencial, logo <math display="inline">\dot{V}\left(\boldsymbol{x},t\right)</math> é a variação da energia potencial ao longo do tempo. Ou melhor, se considerarmos um sistema mecânico em que a energia é total dada pela soma da potencial e a cinética, então se tivermos uma energia cinética inicial nula, <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}_0,t_0\right)</math> representa a energia inicial total do sistema.

Podemos pensar em um poço potencial em 2 dimensões, potencial em formato de uma "bacia" por exemplo, caso o sistema seja conservativo (não retiramos nem acrescentarmos energia ao sistema), se largarmos uma bolinha em um ponto qualquer, ela ficará oscilando oscilando em torno da origem, que é um ponto de equilíbrio estável. Se tivermos <math>V\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}</math>, podemos ver facilmente que <math display="inline">V\left(\boldsymbol{0}\right)=0</math> e <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)>0</math> se <math display="inline">\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}</math>. Nesse caso a força que atuando sobre a bolinha é <math>\boldsymbol{F}=-\nabla V=-2\left(x,y\right)</math>. Então analisando por exemplo sobre o eixo x (<math>y=0</math>), se estiver no sentido positivo (negativo) de x, vai sentir uma força em direção a origem, isto é

negativa (positiva), uma força restaurativa, neste caso também temos <math display="inline">\dot{V}\left(x,y\right)=0</math>. Para uma dimensão temos <math>\ddot{x}+\frac{2}{m}x=0</math>, esta é uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_da_onda equação da onda] e tem como [https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%28t%29%2B2*x%28t%29%2F%28m%29%3D0 solução] uma soma de senos e cossenos, ou seja periódica.

Porém se o sistema estiver perdendo energia, então o estado do sistema vai se aproximar do ponto de equilíbrio uma vez que ele seja um mínimo local. Nesta situação temos um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. No caso da bolinha poderia ser representado por exemplo pelo atrito que retira energia do sistema, porém ele retira energia cinética. Vamos usar uma analogia diferente: um sistema massa mola em uma dimensão. Neste caso temos <math>F=-kx</math> e <math>V\left(x\right)=\frac{kx^{2}}{2}</math>, onde <math>k</math> é a constante da mola, onde quanto maior a constante, maior a força restauradora e maior a energia potencial. Se consideramos que a mola "cansa" com o tempo, e utilizarmos por exemplo <math>k=\frac{2}{t}</math>, ficamos com <math>F=-\frac{2x}{t}</math> e <math>V\left(x,t\right)=\frac{x^{2}}{t}</math>. Podemos ver que ainda temos as condições satisfeitas para a função de Lyapunov ( <math display="inline">V\left(0,t\right)=0</math> e <math display="inline">V\left(x,t\right)>0</math> se <math display="inline">\left(x,t\right) \neq \boldsymbol{0}</math>), porém agora temos <math display="inline">\dot{V}\left(x,t\right)<0</math>. Isso acontece pois o sistema está perdendo energia na forma de uma diminuição na energia potencial do sistema como um todo. Observando quando a bolinha se desloca entre um extremo e o ponto de origem, temos que a energia potencial está parte sendo convertida em energia cinética, mas parte está simplesmente sendo retirada do sistema. A cada oscilação o ponto extremo ponto possui uma energia cada vez menor e consequentemente uma força restaurativa também cada vez menor. Até que a massa atinge o equilíbrio. O sistema físico em questão, <math>\ddot{x}+\left(\frac{2}{mt}\right)x=0</math>, temo como [https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%28t%29%2B2*x%28t%29%2F%28m*t%29%3D0 solução] [https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function funções de Bessel]. Estas funções tem comportamento similares a funções senos (ou cossenos) amortecidas<ref>[https://www.scirp.org/pdf/jamp_2014031310562629.pdf Bessel Function and Damped Simple Harmonic Motion] (Masoud Asadi-Zeydabadi, Revista de Física e Matemática Aplicada)</ref>.

Antes de avançar para a discussão da instabilidade, vamos lembrar que quando queremos demonstrar que um ponto de equilíbrio é estável, precisamos analisar toda a vizinhança do ponto de equilíbrio, pois precisamos garantir que em qualquer estado inicial próximo ao ponto de equilíbrio, o sistema não se afaste do mesmo. Porém para o critério de instabilidade, não temos a mesma exigência, uma vez que se ele se afastar em um eixo, é o suficiente para ser classificado como um ponto instável. E agora também temos que <math display="inline">\dot{V}\left(x,y\right)>0</math>, isto é, o sistema está recebendo energia, o que permite que se afaste do ponto de equilíbrio. Fisicamente isso pode ser, por exemplo, um sistema que aumente a energia potencial de acordo com a temperatura, e colocamos o sistema sobre o fogo.

Para ilustrar esse último exemplo, vamos utilizar um potencial <math>V\left(x,y,t\right)=t\left(x^{2}-y^{2}\right)</math>, podemos notar que se não fosse explicitamente dependente do tempo, teríamos <math>\dot{V}\left(x,t\right)=0</math>, porém o potencial não é positivo definido na vizinhança da origem, dessa forma, não podemos garantir a estabilidade. Temos então novamente satisfeito <math>V\left(0,0,t\right)=0</math> porém agora temos apenas um subconjunto <math>W^+</math> de pontos em que <math>V\left(0,0,t\right)>0</math>, especificamente quando <math display="inline">\left|x\right|>\left|y\right|</math> . E a variação de energia neste ponto é <math>\dot{V}\left(x,y,t\right)>0</math>, então temos um ponto de instabilidade. Podemos observar ainda que <math>\left(0,0\right)</math> é um ponto de sela para a função <math>f(x,y)=x^{2}-y^{2}</math>, para <math>y=0</math> se reduz a <math>f(x)=x^{2}</math>, então se reduzíssemos o problema a uma dimensão sobre o eixo x, o potencial poderia ser classificado como uma função positiva definida. Resolvendo o sistema físico sobre em uma dimensão, temos <math>\ddot{x}+\left(\frac{2t}{m}\right)x=0</math>, a [https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%28t%29%2B2*t*x%28t%29%2F%28m%29%3D0 solução] deste sistema é escrita em termos de [https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function funções de Airy], e tende a infinito quando a variável independente tende a infinito.

Sendo <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)</math> uma função de <math display="inline">\boldsymbol{x}\left(t\right)</math>, então temos:<math display="block">\begin{align}
\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right) & =\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\frac{\partial x_{1}}{\partial t}+\dots+\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\frac{\partial x_{n}}{\partial t}\\
& =\left[\frac{\partial V}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right]\cdot\left[\dot{x}_{1},\dots,\dot{x}_{n}\right]\end{align}</math>

E como <math display="inline">\nabla V=\left[\frac{\partial V}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right]</math> e <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}=\left[\dot{x}_{1},\dots,\dot{x}_{n}\right]</math>, reescrevemos:

<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\left[\nabla V\right]\cdot\left[\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right]</math>

Como exemplo, se temos o seguinte sistema:

<math display="block">\begin{align}
\dot{x}_{1} & =+x_{1}-x_{1}x_{2}\\
\dot{x}_{2} & =-x_{2}+x_{1}x_{2}\end{align}</math>

Um ponto de equilíbrio é <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}=0</math>. Considerando a seguinte função de Lyapunov:

<math display="block">V\left(\boldsymbol{x}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}</math>

Temos <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=0</math>. além disso temos um conjunto de pontos <math display="inline">W^{+}</math> em que <math display="inline">V\left(\boldsymbol{x}\right)>0</math> quando <math display="inline">\left|x_{1}\right|>\left|x_{2}\right|</math> e <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> é um ponto de acumulação de <math display="inline">W^{+}</math>. Então calculando a derivada da função de Lyapunov:

<math display="block">\begin{align}
\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right) & =\left[\nabla V\right]\cdot\left[\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\right]\\
& =\left(2x_{1},-2x_{2}\right)\left(+x_{1}-x_{1}x_{2},-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)\\
& =2x_{1}^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}+2x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}^{2}\\
& =2x_{1}^{2}\left(1-x_{2}\right)+2x_{2}^{2}\left(1-x_{1}\right)\end{align}</math>

Como estamos avaliando a região <math display="inline">W^{+}</math> próxima ao ponto do equilíbrio, que neste caso está localizado na origem, podemos assumir que há uma região em que <math display="inline">x_{1},x_{2}<1</math> e logo <math display="inline">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)>0</math> é positivo definido em <math display="inline">W^{+}</math>. Sendo assim, temos um ponto de instabilidade.

====== Principais materiais utilizados ======

* [https://def.fe.up.pt/textos.html Dinâmica e Sistemas Dinâmicos] (Jaime E. Villate, Universidade do Porto)
* [http://arrow.utias.utoronto.ca/~damaren/s2.pdf Lyapunov stability] (Christopher J. Damaren, Universidade de Toronto)
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-iv-first-order-systems/linearization-near-critical-points/MIT18_03SCF11_s37_1text.pdf Sketching Non-Linear Systems] (Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
* [http://www.dii.unimo.it/~zanasi/didattica/Teoria_dei_Sistemi/Luc_TDS_ING_2016_Stability_Analysis_of_Nonlinear_Systems.pdf Stability Analysis of Nonlinear Systems] (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)

====== Citações ======
<references />

{{Ecologia| [[Linearização de sistemas de equações não lineares]] |[[Modelo de Lotka-Volterra]]}}