Método de Verlet - Histórico de revisão

Jhordan em 14h33min de 5 de março de 2022

2022-03-05T14:33:27Z

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Linha 139:		Linha 139:

	<pre>		<pre>
			import matplotlib.pyplot as plt #Biblioteca para plotar gráficos
			import numpy as np #Biblitoeca de cálculos científicos

			#Constantes
			m=1 ; k= 1.; w2= k/m
			#Valores iniciais
			x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k(x[0]2)/2+m(v[0]**2)/2]
			#Parâmetros
			dt = 0.1 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)

			#Método de Velocidade Verlet:
			for it in range(Np):
			x.append(x[it]+v[it]dt-w2x[it]dt*2/2)
			v.append(v[it]+(-w2x[it+1]-w2x[it])*dt/2)
			E.append(kx[it]2/2+mv[it]**2/2)
			t.append(dt+it*dt)

			#plt.plot(t,x)
			#plt.plot(t,v)
			#plt.plot(t,E)
			plt.plot(x,v)
	</pre>		</pre>

Jhordan em 14h22min de 5 de março de 2022

2022-03-05T14:22:13Z

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-= O método =
+= Método de Verlet =
 Para o [[método de Euler]] implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:
@@ Linha 49: / Linha 49: @@
 Logo temos um erro <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta t^{2}\right)</math> na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de <math display="inline">\Delta t</math>, também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número <math display="inline">\epsilon</math> em que para qualquer número <math display="inline">\alpha\leq\epsilon</math> então <math display="inline">1+\alpha=1</math>. <math display="inline">\epsilon</math> é o maior número que pode ser somado a <math display="inline">1</math> sem alterar o resultado.
-= Exemplo =
+== Exemplo ==
 Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer | método de Euler-Cromer]]:
@@ Linha 83: / Linha 82: @@
 #plt.plot(t[:len(t)-1],E)
 plt.plot(x[:len(x)-1],v)
 </pre>
@@ Linha 88: / Linha 144: @@
 # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)

Jhordan em 08h44min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:44:15Z

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Linha 51:		Linha 51:
	= Exemplo =		= Exemplo =

	Aplicando o algoritmo para:
			Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer \| método de Euler-Cromer]]:
	<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>		<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>

			Podemos ressaltar ainda que <math>a =-\omega^{2}x </math> e <math> \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>.

	<pre>		<pre>

Jhordan em 08h15min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:15:13Z

← Edição anterior		Edição das 05h15min de 25 de fevereiro de 2022
Linha 51:		Linha 51:
	= Exemplo =		= Exemplo =

	~~Aplicano~~ o algoritmo para:		Aplicando o algoritmo para:
	<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=\omega^{2}x </math>		<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>

	<pre>		<pre>

Jhordan em 19h20min de 22 de fevereiro de 2022

2022-02-22T19:20:58Z

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 Para o [[método de Euler]] implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:
@@ Linha 46: / Linha 48: @@
 Logo temos um erro <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta t^{2}\right)</math> na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de <math display="inline">\Delta t</math>, também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número <math display="inline">\epsilon</math> em que para qualquer número <math display="inline">\alpha\leq\epsilon</math> então <math display="inline">1+\alpha=1</math>. <math display="inline">\epsilon</math> é o maior número que pode ser somado a <math display="inline">1</math> sem alterar o resultado.
 <pre>
 </pre>

Jhordan em 18h35min de 22 de fevereiro de 2022

2022-02-22T18:35:36Z

@@ Linha 25: / Linha 25: @@
 Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: <math display="block">v\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}</math>
 = Principais materiais utilizados =
 # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)

Jhordan em 04h19min de 18 de fevereiro de 2022

2022-02-18T04:19:09Z

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Linha 1:		Linha 1:
			Para o [[método de Euler]] implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

			<math display="block">f'\left(t\right)\approx\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}</math>

			Então se <math display="inline">y\left(t\right)=f'\left(t\right)</math> a segunda derivada é <math display="inline">y'\left(t\right)=f''\left(t\right)</math>, pela definição, da derivada a direita:

			<math display="block">y'\left(t\right)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}</math>

			Logo utilizando as aproximações:

			<math display="block">\begin{align}
			f''\left(t\right) & \approx\frac{1}{\Delta t}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\
			& \approx\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}-\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}\right)\\
			& \approx\frac{f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}\end{align}</math>

			Isolando então <math display="inline">f\left(t+\Delta t\right)</math>:

			<math display="block">\begin{align}
			f\left(t+\Delta t\right) & =\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{align}</math>

			Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer <math display="inline">f\left(t\right)</math> em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se <math display="inline">f\left(t\right)=x\left(t\right)</math> é posição, então <math display="inline">f''\left(t\right)=\ddot{x}\left(t\right)=a\left(x,t\right)</math> logo podemos reescrever:

			<math display="block">\begin{align}
			x\left(t+\Delta t\right) & =a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{align}</math>

			Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: <math display="block">v\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}</math>


	= Principais materiais utilizados =		= Principais materiais utilizados =

	# [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)		# [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)

Jhordan: Criou página com '= Principais materiais utilizados = # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_Th...'

2022-02-18T01:48:06Z

Criou página com '= Principais materiais utilizados = # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_Th...'

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= Principais materiais utilizados =

# [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)