Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem - Histórico de revisão

Jhordan em 21h10min de 25 de março de 2022

2022-03-25T21:10:22Z

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Linha 57:		Linha 57:
	a+b & =1\\		a+b & =1\\
	bd & =\frac{1}{2}\\		bd & =\frac{1}{2}\\
	bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=-1</math>:		bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=0</math>:

	* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>		* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>

Jhordan em 20h51min de 21 de março de 2022

2022-03-21T20:51:42Z

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Linha 77:		Linha 77:

	==Exemplo ==		==Exemplo ==

			Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer \| método de Euler-Cromer]]:
			<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>

			Podemos ressaltar ainda que <math>a =-\omega^{2}x </math> e <math> \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>.


	<pre>		<pre>
Linha 97:		Linha 103:
	#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio		#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
	for it in range(Np):		for it in range(Np):
	#~~Posição~~		#Primeira etapa
	k1 = fx(v[it])*dt		k1x = fx(v[it])*dt
	k2 = fx(v[it]~~+k1/2~~)*dt		k1v = fv(x[it],w2)*dt
	~~x.append~~(x[it]+k2)		#Segunda etapa
	~~#Velocidade~~		k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
	k1 = fv(x[it],w2)*dt		k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
	~~k2 = fv~~(x[it]+~~k1/2,w2~~)*dt		#Solução
	v.append(v[it]+k2)		x.append(x[it]+k2x)
			v.append(v[it]+k2v)
	#Energia		#Energia
	E.append(kx[it+1]2/2+mv[it+1]**2/2)		E.append(kx[it+1]2/2+mv[it+1]**2/2)
Linha 110:		Linha 117:
	t.append(dt+it*dt)		t.append(dt+it*dt)

	plt.plot(t,x)		#plt.plot(t,x)
	plt.plot(t,v)		#plt.plot(t,v)
	plt.plot(t,E)		#plt.plot(t,E)
	#plt.plot(x,v)		plt.plot(x,v)
	</pre>		</pre>

Linha 148:		Linha 155:
	m=1 ; k= 1.; w2= k/m		m=1 ; k= 1.; w2= k/m
	#Parâmetros		#Parâmetros
	dt = 0.~~00001~~ ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)		dt = 0.01 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)
	#Valores iniciais		#Valores iniciais
	x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[kx[0]2/2+mv[0]**2/2]		x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[kx[0]2/2+mv[0]**2/2]
Linha 154:		Linha 161:
	#Método Range-Kutta de quarta ordem		#Método Range-Kutta de quarta ordem
	for it in range(Np):		for it in range(Np):
	#~~Posição~~		#Primeira etapa
	k1 = fx(v[it])*dt		k1x = fx(v[it])*dt
	k2 = fx(v[it]~~+k1/2~~)*dt		k1v = fv(x[it] ,w2)*dt
	k3 = fx(v[it]+k2/2)*dt		#Segunda etapa
	k4 = fx(v[it]+k3)*dt		k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
	~~x.append~~(x[it]+~~(k1+~~2~~k2+2k3+k4)/6)~~		k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
	~~#Velocidade~~		#Terceira etapa
	k1 = fv(x[it] ,w2)*dt		k3x = fx(v[it]+k2v/2)*dt
	k2 = fv(x[it]+~~k1/2,w2~~)*dt		k3v = fv(x[it]+k2x/2,w2)*dt
	k3 = fv(x[it]+~~k2/2~~,w2)*dt		#Quarta etapa
	~~k4 = fv~~(x[it]+~~k3 ,w2~~)*dt		k4x = fx(v[it]+k3v)*dt
	v.append(v[it]+(k1+2k2+2k3+k4)/6)		k4v = fv(x[it]+k3x,w2)*dt
			#Solução:
			x.append(x[it]+(k1x+2k2x+2k3x+k4x)/6)
			v.append(v[it]+(k1v+2k2v+2k3v+k4v)/6)
	#Energia		#Energia
	E.append(kx[it+1]2/2+mv[it+1]**2/2)		E.append(kx[it+1]2/2+mv[it+1]**2/2)
Linha 176:		Linha 186:
	#plt.plot(x,v)		#plt.plot(x,v)
	</pre>		</pre>

			Ainda podemos chamar a atenção para o fato de que devemos intercalar os coeficientes <math>k_i</math> em ambos os métodos, uma vez que coeficientes seguintes dependem dos valores anteriores.

	= Principais materiais utilizados =		= Principais materiais utilizados =

Jhordan em 19h48min de 20 de março de 2022

2022-03-20T19:48:43Z

@@ Linha 118: / Linha 118: @@
 = Runge-Kutta 4ª ordem =
 ==Exemplo ==
-<pre>
+#Método Range-Kutta de quarta ordem
 </pre>
 = Principais materiais utilizados =
 #[https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node5.html  Runge-Kutta Methods ] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
 #[https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntSecond.html##section13  Second Order Runge-Kutta ] (Erik Cheever, Swarthmore)

Jhordan em 20h48min de 15 de março de 2022

2022-03-15T20:48:10Z

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Linha 79:		Linha 79:

	<pre>		<pre>
			import matplotlib.pyplot as plt #Biblioteca para plotar gráficos
			import numpy as np #Biblitoeca de cálculos científicos

			#Taxas de variação
			def fv(x,w2): #Velocidade
			return (-w2*x)
			def fx(v):
			return (v) #Posição

			#Constantes
			m=1 ; k= 1.; w2= k/m
			#Parâmetros
			dt = 0.0001 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)
			#Valores iniciais
			x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[kx[0]2/2+mv[0]**2/2]

			#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
			for it in range(Np):
			#Posição
			k1 = fx(v[it])*dt
			k2 = fx(v[it]+k1/2)*dt
			x.append(x[it]+k2)
			#Velocidade
			k1 = fv(x[it],w2)*dt
			k2 = fv(x[it]+k1/2,w2)*dt
			v.append(v[it]+k2)
			#Energia
			E.append(kx[it+1]2/2+mv[it+1]**2/2)
			#Tempo
			t.append(dt+it*dt)

			plt.plot(t,x)
			plt.plot(t,v)
			plt.plot(t,E)
			#plt.plot(x,v)
	</pre>		</pre>

Jhordan em 20h21min de 15 de março de 2022

2022-03-15T20:21:27Z

← Edição anterior		Edição das 20h21min de 15 de março de 2022
Linha 32:		Linha 32:
	<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+\left(\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)\qquad\left(2\right)</math>		<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+\left(\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)\qquad\left(2\right)</math>

	Vamos expandir <math display="inline">k_{2}</math>. Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de <math display="inline">\left(a,b\right)</math> é dado por<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables		Vamos expandir <math display="inline">k_{2}</math>. Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de <math display="inline">\left(a,b\right)</math> é dado por <ref> [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables Taylor Polynomials of Functions of Two Variables] ( Paul Seeburger, LibreTexts)</ref>:
	Taylor Polynomials of Functions of Two Variables ] ( Paul Seeburger, LibreTexts)</ref>:

	<math display="block">f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f_{x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_{y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)</math>		<math display="block">f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f_{x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_{y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)</math>
Linha 75:		Linha 74:
	y_{n+1} & =y_{n}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\frac{1}{2}\end{align}</math>		y_{n+1} & =y_{n}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\frac{1}{2}\end{align}</math>

	Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é <math> \mathcal{O}\left(\Delta^{2}\right) </math) e o local é <math>\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right) </math>.		Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é <math> \mathcal{O}\left(\Delta^{2}\right) </math> e o local é <math>\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right) </math>.

	==Exemplo ==		==Exemplo ==

Jhordan: Criou página com '= Runge-Kutta 2ª ordem = No método explícito de euler tínhamos: $\begin{align} y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\end{align}$ ...'

2022-03-15T20:20:27Z

Criou página com '= Runge-Kutta 2ª ordem = No método explícito de euler tínhamos: <math display="block">\begin{align} y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\end{align}</math>...'

Página nova

= Runge-Kutta 2ª ordem =

No método explícito de euler tínhamos:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\end{align}</math>

Sendo <math display="inline">\frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)</math>. Podemos reescrever como:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+ak_{1}\end{align}</math>

Onde <math display="inline">a=1</math> e <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>. Agor se supormos uma solução:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+ak_{1}+bk_{2}\qquad\left(1\right)\end{align}</math> Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica <math display="inline">y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math> em um tempo genérico <math display="inline">t+d\Delta t</math>, isto é <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\right)\Delta t</math>. Usando o fato de que <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>, podemos escrever então que:

* <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>
* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+ck_{1}\right)\Delta t</math>

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+y''\left(t\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\sum_{n=3}^{\infty}y^{\left(n\right)}\left(t\right)\frac{\Delta t^{n}}{n!}</math>

Abrindo a segunda derivada, temos:

<math display="block">\begin{align}
y''\left(t\right)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}y\left(t\right) & =\frac{d}{dt}f\left(t,y\right)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\end{align}</math>

Substituindo então, e escrevendo apenas <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)=\sum_{n=3}^{\infty}y^{\left(n\right)}\left(t\right)\frac{\Delta t^{n}}{n!}</math>, temos a seguinte expansão em série de Taylor:

<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+\left(\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)\qquad\left(2\right)</math>

Vamos expandir <math display="inline">k_{2}</math>. Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de <math display="inline">\left(a,b\right)</math> é dado por<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables
Taylor Polynomials of Functions of Two Variables ] ( Paul Seeburger, LibreTexts)</ref>:

<math display="block">f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f_{x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_{y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)</math>

Onde <math display="inline">f_{a}</math> denota a derivada da função <math display="inline">f</math> na variável <math display="inline">a</math>. Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de <math display="inline">\left(x,y\right)</math>:

<math display="block">f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)\approx f\left(x,y\right)+f_{x}\left(x,y\right)\Delta x+f_{y}\left(x,y\right)\Delta y</math>

Expandindo então <math display="inline">k_{2}</math> em torno de <math display="inline">\left(t_{n},y_{n}\right)</math> temos:

<math display="block">k_{2}\approx\left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+ck_{1}\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t</math>

Aqui podemos notar que <math display="inline">\Delta t</math> multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de <math display="inline">f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)</math>, deprezamos os termos de terceira ordem de <math display="inline">k_{2}</math>. Substituindo então o <math display="inline">k_{2}</math>aproximado e <math display="inline">k_{1}</math> na equação '''1''', temos:

<math display="block">y_{n+1}=y_{n}+af\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+b\left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t</math>

Manipulando:

<math display="block">y_{n+1}=y_{n}+\left(a+b\right)f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+\left[2bd\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+2bcf\left(t_{n},y_{n}\right)\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\frac{\Delta t^{2}}{2}\qquad\left(3\right)</math>

Comparando a aproximação '''3''' com a expansão '''2''' temos a seguinte relação:

<math display="block">\begin{align}
a+b & =1\\
bd & =\frac{1}{2}\\
bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=-1</math>:

* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>

Então:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\frac{\Delta t}{2}\right)\Delta t\end{align}</math>

O método de Heun é obtido se for escolhido <math display="inline">a=b=\frac{1}{2}</math> e <math display="inline">c=d=1</math>:

* <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>
* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\Delta t,y_{n}+k_{1}\Delta t\right)\Delta t</math>

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\frac{1}{2}\end{align}</math>

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é <math> \mathcal{O}\left(\Delta^{2}\right) </math) e o local é <math>\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right) </math>.

==Exemplo ==

<pre>

</pre>

= Runge-Kutta 4ª ordem =

==Exemplo ==

<pre>

</pre>

= Principais materiais utilizados =

#[https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node5.html Runge-Kutta Methods ] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
#[https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntSecond.html##section13 Second Order Runge-Kutta ] (Erik Cheever, Swarthmore)

= Citações =
<references />