Método de Leapfrog - Histórico de revisão

Jhordan em 20h44min de 15 de março de 2022

2022-03-15T20:44:30Z

← Edição anterior		Edição das 20h44min de 15 de março de 2022
Linha 46:		Linha 46:

	#Constantes		#Constantes
	m=1 ; k= 1.; w2= k/m; dt=0.~~0001~~		m=1 ; k= 1.; w2= k/m
			#Parâmetros
			dt = 0.1 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)
	#Valores iniciais		#Valores iniciais
	x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]		x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]
	~~#Parâmetros~~
	~~dt = 0.1 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)~~

	#Usamo Euler-Cromer para calcular a velocidade em t=dt/2		#Usamo Euler-Cromer para calcular a velocidade em t=dt/2

Jhordan em 20h29min de 15 de março de 2022

2022-03-15T20:29:10Z

← Edição anterior		Edição das 20h29min de 15 de março de 2022
Linha 46:		Linha 46:

	#Constantes		#Constantes
	m=1 ; k= 1.; w2= k/m		m=1 ; k= 1.; w2= k/m; dt=0.0001
	#Valores iniciais		#Valores iniciais
	x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]		x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]

Jhordan em 14h35min de 5 de março de 2022

2022-03-05T14:35:23Z

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Linha 60:		Linha 60:
	x.append(x[it]+dt*v[it])		x.append(x[it]+dt*v[it])
	tx.append(dt+it*dt)		tx.append(dt+it*dt)
	a=-w2*x[it+1]		v.append(v[it]-w2x[it+1]dt)
	~~v.append(v[it]+a~~*dt)
	tv.append(dt/2+(1+it)*dt)		tv.append(dt/2+(1+it)*dt)

Jhordan em 08h47min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:47:23Z

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Linha 68:		Linha 68:

	#Para calcular a energia vamos pegar a média da velocidade		#Para calcular a energia vamos pegar a média da velocidade
			#para termos velocidade e posição no mesmo instante

	vm=[v0]		vm=[v0]
	E=[k(x[0]2)/2+m(v[0]**2)/2]		E=[k(x[0]2)/2+m(v[0]**2)/2]

Jhordan em 08h43min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:43:28Z

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Linha 36:		Linha 36:


	Aplicando o algoritmo para:		Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer \| método de Euler-Cromer]]:
	<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>		<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>

			Podemos ressaltar ainda que <math>a =-\omega^{2}x </math> e <math> \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>.

	<pre>		<pre>

Jhordan em 08h37min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:37:56Z

← Edição anterior		Edição das 08h37min de 25 de fevereiro de 2022
Linha 59:		Linha 59:
	tx.append(dt+it*dt)		tx.append(dt+it*dt)
	a=-w2*x[it+1]		a=-w2*x[it+1]
	v.append(v[it]+a*dt) ~~#Usamos x[it+1] ao invés de x[it]~~		v.append(v[it]+a*dt)
	tv.append(dt/2+(1+it)*dt)		tv.append(dt/2+(1+it)*dt)

Jhordan em 08h30min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:30:55Z

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Linha 54:		Linha 54:
	v=[v0-(dt/2)x_tempw2] #Velocidade em t=dt/2		v=[v0-(dt/2)x_tempw2] #Velocidade em t=dt/2

	#Método ~~de Euler~~		#Método Leapfrog
	for it in range(Np):		for it in range(Np):
	x.append(x[it]+dt*v[it])		x.append(x[it]+dt*v[it])

Jhordan em 08h30min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T08:30:28Z

@@ Linha 5: / Linha 5: @@
 \frac{dv}{dt} & =a\end{align}</math>
-Sendo a [[Derivada Numérica]]:
+Sendo a [[Derivada Numérica | derivada numérica]]:
 <math display="block">\begin{align}
@@ Linha 15: / Linha 15: @@
 <math display="block">v\left(t+\Delta t/2\right)\approx\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}</math>
-Ou ainda
+Ou ainda:
 <math display="block">x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t</math>
@@ Linha 33: / Linha 33: @@
 x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t\end{align}</math>
 <pre>
 </pre>
 = Citações =
 <references />

Jhordan em 07h25min de 25 de fevereiro de 2022

2022-02-25T07:25:32Z

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Linha 1:		Linha 1:
			Partindo da ideia que uma inclinação entre dois em uma curva é uma aproximação muito melhor da derivada no ponto médio em alguma das extremidades<ref>[https://young.physics.ucsc.edu/115/leapfrog.pdf https://young.physics.ucsc.edu/115/leapfrog.pdf] (Peter Young, Universidade da California)</ref>., e tendo as seguintes equações do movimento:

			<math display="block">\begin{align}
			\frac{dx}{dt} & =v\\
			\frac{dv}{dt} & =a\end{align}</math>

			Sendo a [[Derivada Numérica]]:

			<math display="block">\begin{align}
			v\left(t\right) & \approx\frac{x\left(+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}\\
			& \approx\frac{x\left(t+\Delta t/2\right)-x\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}\end{align}</math>

			Então para a equação da velocidade temos que:

			<math display="block">v\left(t+\Delta t/2\right)\approx\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}</math>

			Ou ainda

			<math display="block">x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t</math>

			E aplicando a mesma ideia para a aceleração:

			<math display="block">a\left(t\right)\approx\frac{v\left(t+\Delta t/2\right)-v\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}</math>

			Logo:

			<math display="block">v\left(t+\Delta t/2\right)=a\left(t\right)\Delta t+v\left(t-\Delta t/2\right)</math>

			Temos então:

			<math display="block">\begin{align}
			v\left(t+\Delta t/2\right) & =v\left(t-\Delta t/2\right)+a\left(t\right)\Delta t\\
			x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t\end{align}</math>


	<pre>		<pre>
	</pre>		</pre>

			= Citações =
			<references />

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2022-02-25T06:07:27Z

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(Sem diferença)