Método de Euler-Cromer - Histórico de revisão

Jhordan em 19h22min de 22 de fevereiro de 2022

2022-02-22T19:22:07Z

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	#Constantes		#Constantes
	m=1 ; k= 1.; w2= k/m ~~; w=w2**(1/2)~~		m=1 ; k= 1.; w2= k/m
	#Valores iniciais		#Valores iniciais
	x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k(x[0]2)/2+m(v[0]**2)/2]		x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k(x[0]2)/2+m(v[0]**2)/2]

Jhordan em 18h52min de 22 de fevereiro de 2022

2022-02-22T18:52:25Z

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Linha 104:		Linha 104:
	dt = 0.1 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)		dt = 0.1 ; tau = 2np.pi; tf=4tau ; Np= int(tf/dt)

	#Método de Euler		#Método de Euler-Cromer
	for it in range(Np):		for it in range(Np):
	x.append(x[it]+dt*v[it])		x.append(x[it]+dt*v[it])

Jhordan em 16h42min de 22 de fevereiro de 2022

2022-02-22T16:42:01Z

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 <math display="block">\det\left(\overline{M}\right)=1+\left(\omega\Delta t\right)^{2}>1</math>
-Ométodo de Euler-Crome propõe usar <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math> no lugar de <math display="inline">v\left(t\right)</math> para calcular <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math>. Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>:
+Outra forma de analisar o caso da oscilção quando usado o método explícito de Euler, é abrindo as contas. Escrevendo então a energia como:
 <math display="block">\begin{align}x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\\

Jhordan: Criou página com 'Lembrando do que vimos no Método de Euler, o sistema de equações para o sistema massa-mola era: $\begin{align}\frac{dv}{dt} & =-\omega^{2}x\left(t...'$

2022-02-16T02:11:53Z

Criou página com 'Lembrando do que vimos no Método de Euler, o sistema de equações para o sistema massa-mola era: <math display="block">\begin{align}\frac{dv}{dt} & =-\omega^{2}x\left(t...'

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Lembrando do que vimos no [[Método de Euler]], o sistema de equações para o sistema massa-mola era:

<math display="block">\begin{align}\frac{dv}{dt} & =-\omega^{2}x\left(t\right)\\
\frac{dx}{dt} & =v\left(t\right)
\end{align}</math>

Aplicando o método de Euler então:

<math display="block">\begin{align}v\left(t+\Delta t\right) & =v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\\
x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t
\end{align}</math>

Em notação matricial temos:

<math display="block">\begin{align}\left(\begin{array}{c}
x\left(t+\Delta t\right)\\
v\left(t+\Delta t\right)
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
1 & \Delta t\\
-\omega^{2}\Delta t & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\left(t\right)\\
v\left(t\right)
\end{array}\right)\\
\boldsymbol{u}\left(t+\Delta t\right) & =\overline{M}\boldsymbol{u}\left(t\right)
\end{align}</math>

Porém a matriz <math display="inline">\overline{M}</math> transforma o vetor <math display="inline">\boldsymbol{u}\left(t\right)</math> no vetor <math display="inline">\boldsymbol{u}\left(t+\Delta t\right)</math>, representando então a evolução no espao de fases e seu determinante representa a variação dovolume no espaço de fases. Para um problema conservativo, logo o determinante deve ser <math display="inline">1</math>, uma vez que essevolume deve se manter constante. Para o método de Euler temos:

<math display="block">\det\left(\overline{M}\right)=1+\left(\omega\Delta t\right)^{2}>1</math>

Ométodo de Euler-Crome propõe usar <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math> no lugar de <math display="inline">v\left(t\right)</math> para calcular <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math>. Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>:

<math display="block">\begin{align}x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\\
& =x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t\right)\Delta t\\
& =x\left(t\right)+\left[v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\Delta t\\
& =x\left(t\right)\left(1-\omega^{2}\Delta t^{2}\right)+v\left(t\right)\Delta t
\end{align}</math>

Atualizando então a notação matricial temos:

<math display="block">\begin{align}\left(\begin{array}{c}
x\left(t+\Delta t\right)\\
v\left(t+\Delta t\right)
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
1-\omega^{2}\Delta t^{2} & \Delta t\\
-\omega^{2}\Delta t & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\left(t\right)\\
v\left(t\right)
\end{array}\right)\\
\boldsymbol{u}\left(t+\Delta t\right) & =\overline{M}\boldsymbol{u}\left(t\right)
\end{align}</math>

Calculando então o novo determinante, temos:

<math display="block">\det\left(\overline{M}\right)=1-\omega^{2}\Delta t^{2}+\left(\omega\Delta t\right)^{2}=1</math>

Algumas observações que podem ser feitas: a primeira é que também podemos fazer diferente e usar <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math> no lugar de <math display="inline">x\left(t\right)</math> para calcular <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>. E a segunda é que quando olhamos para nossa aproximação, temos um intervalo de tempo <math display="inline">\Delta t</math> entre <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math> e <math display="inline">v\left(t\right)</math>. No método de Euler original, usamo a velocidade no começo intervalo (<math display="inline">v\left(t\right)</math>) para calcular a nova posição (<math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math>, no de Euler-Cramer usamos no fim do intervalo (<math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>), mas de certa forma tem a mesma natureza de aproximação. Como para uma equação tivemos o método de Euler-implícito, porém agora trabalhamos com um sistema de equações. Esse método também é chamado de ’semi-implícito.

<pre>
import matplotlib.pyplot as plt #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1 ; k= 1.; w2= k/m ; w=w2**(1/2)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2]
#Parâmetros
dt = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler
for it in range(Np):
x.append(x[it]+dt*v[it])
v.append(v[it]-dt*x[it+1]*w2) #Usamos x[it+1] ao invés de x[it]
E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)
</pre>

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