Método de Euler - Histórico de revisão

Jhordan em 18h16min de 15 de março de 2022

2022-03-15T18:16:05Z

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Linha 296:		Linha 296:

	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	y\left(t+\Delta t\right) & =y\left(t\right)+~~\Delta ty^{'}~~\left(t\right)+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{y^{\left(n\right)}\left(t\right)}{n!}\Delta t^{n}\end{align}</math>		y\left(t+\Delta t\right) & =y\left(t\right)+f\left(t ,y \right) \Delta t+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{y^{\left(n\right)}\left(t\right)}{n!}\Delta t^{n}\end{align}</math>

	Os primeiros dois termos então correspondem ao método de Euler, e o somatório se torna o erro ao jogarmos fora. O menor grau que desprezamos é <math display="inline">n=2</math>, então o erro local é <math display="inline">Err\left(\Delta t\right)\propto\Delta t^{2}</math>. E como o número de passos é dado por <math display="inline">N=t/\Delta t</math> então após <math display="inline">N</math> passos temos uma estimativa de erro global dada por <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto N \cdot \Delta t^{2} </math> ou apenas <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto\Delta t</math>. Cálculos mais detalhados da estimativa do erro podem ser encontrados em textos matemáticos<ref>[https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_225_Differential_Equations/3%3A_Numerical_Methods/3.1%3A_Euler%27s_Method Euler's Method] (William F. Trench, LibreTexts)</ref>.		Os primeiros dois termos então correspondem ao método de Euler, e o somatório se torna o erro ao jogarmos fora. O menor grau que desprezamos é <math display="inline">n=2</math>, então o erro local é <math display="inline">Err\left(\Delta t\right)\propto\Delta t^{2}</math>. E como o número de passos é dado por <math display="inline">N=t/\Delta t</math> então após <math display="inline">N</math> passos temos uma estimativa de erro global dada por <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto N \cdot \Delta t^{2} </math> ou apenas <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto\Delta t</math>. Cálculos mais detalhados da estimativa do erro podem ser encontrados em textos matemáticos<ref>[https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_225_Differential_Equations/3%3A_Numerical_Methods/3.1%3A_Euler%27s_Method Euler's Method] (William F. Trench, LibreTexts)</ref>.

Jhordan em 18h13min de 15 de março de 2022

2022-03-15T18:13:44Z

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Linha 291:		Linha 291:
	Considerando que <math display="inline">\Delta t</math> é constante, então: <math display="inline">\Delta t'=\Delta t</math>, e sendo o ponto <math display="inline">a=t</math>, temos:		Considerando que <math display="inline">\Delta t</math> é constante, então: <math display="inline">\Delta t'=\Delta t</math>, e sendo o ponto <math display="inline">a=t</math>, temos:

	<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)\approx\frac{y\left(t'+\Delta t\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t}=\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\longrightarrow\left.\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\right\|_{t'=t}=f'\left(t\right)</math>		<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)\approx\frac{y\left(t'+\Delta t\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t}=\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\longrightarrow\left.\frac{d}{dt}y\left(t'\right)\right\|_{t'=t}=y'\left(t\right)</math>

	De forma que ficamos então apenas com:		De forma que ficamos então apenas com:

	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	f\left(t+\Delta t\right) & =f\left(t\right)+\Delta tf^{'}\left(t\right)+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(t\right)}{n!}\Delta t^{n}\end{align}</math>		y\left(t+\Delta t\right) & =y\left(t\right)+\Delta ty^{'}\left(t\right)+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{y^{\left(n\right)}\left(t\right)}{n!}\Delta t^{n}\end{align}</math>

	Os primeiros dois termos então correspondem ao método de ~~Taylor~~, e o somatório se torna o erro ao jogarmos fora. O menor grau que desprezamos é <math display="inline">n=2</math>, então o erro local é <math display="inline">Err\left(\Delta t\right)\propto\Delta t^{2}</math>. E como o número de passos é dado por <math display="inline">N=t/\Delta t</math> então após <math display="inline">N</math> passos temos uma estimativa de erro global dada por <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto N \cdot \Delta t^{2} </math> ou apenas <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto\Delta t</math>. Cálculos mais detalhados da estimativa do erro podem ser encontrados em textos matemáticos<ref>[https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_225_Differential_Equations/3%3A_Numerical_Methods/3.1%3A_Euler%27s_Method Euler's Method] (William F. Trench, LibreTexts)</ref>.		Os primeiros dois termos então correspondem ao método de Euler, e o somatório se torna o erro ao jogarmos fora. O menor grau que desprezamos é <math display="inline">n=2</math>, então o erro local é <math display="inline">Err\left(\Delta t\right)\propto\Delta t^{2}</math>. E como o número de passos é dado por <math display="inline">N=t/\Delta t</math> então após <math display="inline">N</math> passos temos uma estimativa de erro global dada por <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto N \cdot \Delta t^{2} </math> ou apenas <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto\Delta t</math>. Cálculos mais detalhados da estimativa do erro podem ser encontrados em textos matemáticos<ref>[https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_225_Differential_Equations/3%3A_Numerical_Methods/3.1%3A_Euler%27s_Method Euler's Method] (William F. Trench, LibreTexts)</ref>.

	= Exemplo: SIR =		= Exemplo: SIR =

Jhordan em 01h58min de 18 de fevereiro de 2022

2022-02-18T01:58:58Z

← Edição anterior		Edição das 22h58min de 17 de fevereiro de 2022
Linha 456:		Linha 456:
	= Principais materiais utilizados =		= Principais materiais utilizados =

			# [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-erro_de_truncamento.html Erro de truncamento] (REAMAT, UFRGS)
			# [https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/eulersmethod.aspx Euler's Method] (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
	# [https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node3.html Forward and Backward Euler Methods] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)		# [https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node3.html Forward and Backward Euler Methods] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
	~~# [https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/eulersmethod.aspx Euler's Method] (Paul Dawkins, Universidade Lamar)~~
	# [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-metodo_de_euler.html#x105-19100010.2 Método de Euler] (REAMAT, UFRGS)		# [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-metodo_de_euler.html#x105-19100010.2 Método de Euler] (REAMAT, UFRGS)

Jhordan em 01h55min de 18 de fevereiro de 2022

2022-02-18T01:55:35Z

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Linha 287:		Linha 287:
	Podemos olhar <math display="inline">f^{\left(n\right)}\left(a\right)</math> com mais atenção uma vez que tecnicamente nosssa variável da função que estamos expandindo é <math display="inline">t'</math>.		Podemos olhar <math display="inline">f^{\left(n\right)}\left(a\right)</math> com mais atenção uma vez que tecnicamente nosssa variável da função que estamos expandindo é <math display="inline">t'</math>.

	<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)=\frac{y\left(t'+\Delta t'\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t'}</math>		<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)\approx\frac{y\left(t'+\Delta t'\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t'}</math>

	Considerando que <math display="inline">\Delta t</math> é constante, então: <math display="inline">\Delta t'=\Delta t</math>, e sendo o ponto <math display="inline">a=t</math>, temos:		Considerando que <math display="inline">\Delta t</math> é constante, então: <math display="inline">\Delta t'=\Delta t</math>, e sendo o ponto <math display="inline">a=t</math>, temos:

	<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)=\frac{y\left(t'+\Delta t\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t}=\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\longrightarrow\left.\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\right\|_{t'=t}=f'\left(t\right)</math>		<math display="block">\frac{d}{dt'}y\left(t'\right)\approx\frac{y\left(t'+\Delta t\right)-y\left(t'\right)}{\Delta t}=\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\longrightarrow\left.\frac{d}{dt}f\left(t'\right)\right\|_{t'=t}=f'\left(t\right)</math>

	De forma que ficamos então apenas com:		De forma que ficamos então apenas com:

Jhordan em 03h06min de 14 de fevereiro de 2022

2022-02-14T03:06:40Z

@@ Linha 366: / Linha 366: @@
 plt.plot(t,r) #Recuperados
 plt.plot(t,T) #Total
 </pre>
@@ Linha 371: / Linha 449: @@
 Além disso temos uma discussão sobre o [[Modelo de Lotka-Volterra]] e também sobre [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], que além da discussão apresenta uma solução numérica utilizando o Método de Euler, com a única diferença de um termo de amortecimento. Uma vez que zerarmos este termo, retornamos ao Modelo de Lotka-Volterra clássico.
 = Citações =

Jhordan em 04h05min de 9 de fevereiro de 2022

2022-02-09T04:05:06Z

← Edição anterior		Edição das 01h05min de 9 de fevereiro de 2022
Linha 367:		Linha 367:
	plt.plot(t,T) #Total		plt.plot(t,T) #Total
	</pre>		</pre>

			= Exemplo: Modelo de Lotka Volterra =

	Além disso temos uma discussão sobre o [[Modelo de Lotka-Volterra]] e também sobre [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], que além da discussão apresenta uma solução numérica utilizando o Método de Euler, com a única diferença de um termo de amortecimento. Uma vez que zerarmos este termo, retornamos ao Modelo de Lotka-Volterra clássico.		Além disso temos uma discussão sobre o [[Modelo de Lotka-Volterra]] e também sobre [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], que além da discussão apresenta uma solução numérica utilizando o Método de Euler, com a única diferença de um termo de amortecimento. Uma vez que zerarmos este termo, retornamos ao Modelo de Lotka-Volterra clássico.

Jhordan em 04h04min de 9 de fevereiro de 2022

2022-02-09T04:04:40Z

← Edição anterior		Edição das 01h04min de 9 de fevereiro de 2022
Linha 368:		Linha 368:
	</pre>		</pre>

			Além disso temos uma discussão sobre o [[Modelo de Lotka-Volterra]] e também sobre [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], que além da discussão apresenta uma solução numérica utilizando o Método de Euler, com a única diferença de um termo de amortecimento. Uma vez que zerarmos este termo, retornamos ao Modelo de Lotka-Volterra clássico.

	= Citações =		= Citações =

Jhordan em 23h52min de 8 de fevereiro de 2022

2022-02-08T23:52:21Z

← Edição anterior		Edição das 20h52min de 8 de fevereiro de 2022
Linha 343:		Linha 343:
	Além disso, um modelo SIRS (no qual recuperados podem tornar-se suscetíveis novamente) e com atraso foi discutido [[Sistemas de equações diferenciais com atrasos fixos - SIRS \| aqui]]		Além disso, um modelo SIRS (no qual recuperados podem tornar-se suscetíveis novamente) e com atraso foi discutido [[Sistemas de equações diferenciais com atrasos fixos - SIRS \| aqui]]
	<pre>		<pre>
	~~import numpy as np #Biblioteca com recursos matemáticos~~
	import matplotlib.pyplot as plt #Biblioteca para plotar gráficos		import matplotlib.pyplot as plt #Biblioteca para plotar gráficos

Jhordan em 23h45min de 8 de fevereiro de 2022

2022-02-08T23:45:07Z

@@ Linha 343: / Linha 343: @@
 Além disso, um modelo SIRS (no qual recuperados podem tornar-se suscetíveis novamente) e com atraso foi discutido [[Sistemas de equações diferenciais com atrasos fixos - SIRS | aqui]]
 <pre>
 </pre>

Jhordan em 21h45min de 5 de fevereiro de 2022

2022-02-05T21:45:56Z

@@ Linha 39: / Linha 39: @@
 <span id="exemplo-1"></span>
-== Exemplo ==
+== Exemplo: Decaimento ==
 O primeiro exemplo de aplicação é o '''decaimento radiativo''', cuja equação diferencial é: <math display="block">\frac{dN}{dt}=-\lambda N</math>
@@ Linha 93: / Linha 93: @@
 <span id="exemplo"></span>
-== Exemplo ==
+== Exemplo: Decaimento ==
 Trabalhando novamente com o decaimento radioativo:
@@ Linha 300: / Linha 300: @@
 Os primeiros dois termos então correspondem ao método de Taylor, e o somatório se torna o erro ao jogarmos fora. O menor grau que desprezamos é <math display="inline">n=2</math>, então o erro local é <math display="inline">Err\left(\Delta t\right)\propto\Delta t^{2}</math>. E como o número de passos é dado por <math display="inline">N=t/\Delta t</math> então após <math display="inline">N</math> passos temos uma estimativa de erro global dada por <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto N \cdot \Delta t^{2} </math> ou apenas <math display="inline">Err\left(\Delta t,t\right)\propto\Delta t</math>. Cálculos mais detalhados da estimativa do erro podem ser encontrados em textos matemáticos<ref>[https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_225_Differential_Equations/3%3A_Numerical_Methods/3.1%3A_Euler%27s_Method  Euler's Method] (William F. Trench, LibreTexts)</ref>.
-=== Citações ===
+= Exemplo: SIR =
 <references />