Método de Elementos Finitos - Histórico de revisão

Renanrs em 12h46min de 26 de outubro de 2021

2021-10-26T12:46:17Z

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Linha 223:		Linha 223:
	</math>		</math>

	No entanto, ela está em termos das forças internas~~, para~~ reescrever isso, basta lembrar que a tensão é definida como a força pela área da seção transversal e, pela lei de tensão deformação para um material elástico linear, nós temos que		No entanto, ela está em termos das forças internas. Para reescrever isso, basta lembrar que a tensão é definida como a força pela área da seção transversal e, pela lei de tensão deformação para um material elástico linear, nós temos que

	:<math>		:<math>
Linha 244:		Linha 244:

	:<math>		:<math>
	\sigma(0) = (E \frac{du}{dx})_{x=0} = \frac{p(0)}{A(0)} \equiv \tau		\sigma(0) = (E \frac{du}{dx})_{x=0} = \frac{p(0)}{A(0)} \equiv -\tau
	</math>		</math>

			<math>
			u(l)= u
			</math>


	relembrando que u(x) é a função que representa o deslocamento do corpo, ou seja, a deformação.		relembrando que u(x) é a função que representa o deslocamento do corpo, ou seja, a deformação.
Linha 251:		Linha 256:

	:<math>		:<math>
	\~~frac{\partial{F^{~~(~~e)}}}{\partial{V_n}} =~~ \frac{~~\partial~~}{~~\partial V_n~~} \~~int_~~{e}^{} \frac{1}{2} \~~varepsilon^(e~~) ~~E^2 d\Omega~~		\int w (\frac{d}{dx} (AE \frac{du}{dx}) +b)dx=0
			</math>

			:<math>
			w A(E\frac{du}{dx} + \tau)=0
	</math>		</math>


	Aqui vale notar que a integral da condição de contorno foi substituída pela multiplicação pela área, já que o domínio dessa condição de contorno é a área da seção transversal mas só em x=0, ou seja, ela age só em um ponto		Aqui vale notar que a integral da condição de contorno foi substituída pela multiplicação pela área, já que o domínio dessa condição de contorno é a área da seção transversal mas só em x=0, ou seja, ela age só em um ponto
Linha 258:		Linha 268:

	:<math>		:<math>
	\~~frac~~{~~\partial{F~~^{~~(e)}}~~}{\~~partial~~{~~V_n~~}} = \frac{~~\partial~~}{~~\partial V_n~~} [ \~~frac~~{1}{2} \~~varepsilon^~~{~~(e)~~} E^~~2 \int_~~{e} ~~d\Omega] =~~ \frac{~~1}{2~~} ~~\varepsilon^~~{~~(e)~~} \frac{~~D \partial{E^2}~~}{~~2 \partial{V_n}~~}		\int_{0}^{l} w\frac{d}{dx} (AE \frac{du}{dx})dx = (wA \tau)\|_{0}^{l} - \int_{0}^{l} \frac{dw}{dx} AE \frac{du}{dx}dx

	</math>		</math>

	Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como		Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente, e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como

	:<math>		:<math>
			\int_{0}^{l} \frac{dw}{dx} AE \frac{du}{dx} dx= (wA \tau)_{x=0} + \int_{0}^{l} wb dx

	~~\int \frac{dw}{dx} AE \frac{du}{dx} = (wA \tau)_{x=0} + \int_{0}^{l} wb dx~~		</math>

	~~</math>~~

	que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema		que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema

	Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= ~~<math>\tau</math>~~ também será solução da equação diferencial original do nosso problema		Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)=u também será solução da equação diferencial original do nosso problema

	Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.

	~~Usando o problema eletrostático para exemplificar o Método Variacional:~~

	~~Obtém-~~se ~~uma equação~~ funcional ~~associada à~~ energia do sistema		Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.
	A ~~equação~~ que ~~rege~~ o problema ~~eletrostático é~~ a ~~equação de laplace, e em um problema 2D fica:~~

	:~~<math>~~		Podemos usar um problema eletrostático sem cargas livres para exemplificar esse método, conhecido como Método Variacional. Tomando as equações de Maxwell temos, então:
	~~\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0~~
	~~</math>~~

	:<math>		:<math>
Linha 303:		Linha 307:
	\nabla ^2 V = 0		\nabla ^2 V = 0
	</math>		</math>


			A equação que rege esse problema eletrostático é a equação de laplace, e em um problema 2D fica:

			:<math>
			\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0
			</math>

			Obtém-se, então, uma equação funcional associada à energia do sistema

	:<math>		:<math>
Linha 308:		Linha 321:
	</math>		</math>

	Pelo método variacional, eu satisfaço a equação de laplace quando a energia armazenada no sistema, que é o meu funcional, ~~forma~~ mínima. Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado		Pelo método variacional, eu satisfaço a equação de laplace quando a energia armazenada no sistema, que é o meu funcional, for mínima. Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado
	dentro desse elemento, para tal, eu minimizo o funcional com relação a cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como matriz elementar, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.		dentro desse elemento, para tal, eu minimizo o funcional com relação a cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como matriz elementar, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.
	Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento		Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde <math>F^e</math> é o valor do funcional em cada elemento

	:<math>		:<math>
Linha 322:		Linha 335:
	</math>		</math>

	Se consideramos a permissividade e o campo elétrico constante em cada elemento, eles podem sair da integral. A integral de ~~ÔMEGA~~ no elemento é a área do elemento, que é o determinante dividido por 2, com isso, obtemos que:		Se consideramos a permissividade e o campo elétrico constante em cada elemento, eles podem sair da integral. A integral de <math>\Omega</math> no elemento é a área do elemento, que é o determinante (D) dividido por 2, com isso, obtemos que:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}
	</math>		</math>

Renanrs em 22h44min de 23 de outubro de 2021

2021-10-23T22:44:04Z

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Linha 1:		Linha 1:
	~~'''Em construção - as referencias e imagens ainda estão faltando'''~~

	'''Grupo: Antônio Carlan, Gabriela Pereira, Renan Soares e Victor Gandara'''		'''Grupo: Antônio Carlan, Gabriela Pereira, Renan Soares e Victor Gandara'''

Linha 208:		Linha 206:
	Para a construção da forma fraca nós podemos escolher uma função arbitrária w(x) e multiplicá-la pela forma forte, que é a equação diferencial original que descreve o problema, e pela condição de contorno em x=0. Em sequência nós integramos ambas dentro do domínio onde elas foram definidas. Como w(x) é uma função arbitrária que pode ser qualquer função, ela força a solução, já que qualquer coisa multiplicada por ela tem que ser 0.		Para a construção da forma fraca nós podemos escolher uma função arbitrária w(x) e multiplicá-la pela forma forte, que é a equação diferencial original que descreve o problema, e pela condição de contorno em x=0. Em sequência nós integramos ambas dentro do domínio onde elas foram definidas. Como w(x) é uma função arbitrária que pode ser qualquer função, ela força a solução, já que qualquer coisa multiplicada por ela tem que ser 0.
	Para entender esse método, nós podemos olhar o problema de uma barra elástica carregada axialmente.		Para entender esse método, nós podemos olhar o problema de uma barra elástica carregada axialmente.
			Imagem.jpg
			[[Arquivo:Imagem.jpg\|400px\|thumb\|center\|]]

	Considerando que a barra está em equilíbrio, nós podemos representar a relação entre as forças internas p(x) e as externas b(x) por essa equação		Considerando que a barra está em equilíbrio, nós podemos representar a relação entre as forças internas p(x) e as externas b(x) por essa equação

Renanrs: /* Forma Fraca */

2021-10-23T22:40:42Z

Forma Fraca

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Linha 219:		Linha 219:
	:<math>		:<math>

	\frac{p(x + \Delta_x) - p(x)}{Delta_x} + b (x + \frac{\Delta_x}{2}) = 0		\frac{p(x + \Delta_x) - p(x)}{\Delta_x} + b (x + \frac{\Delta_x}{2}) = 0

	</math>		</math>
Linha 251:		Linha 251:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 d\Omega		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 d\Omega
	</math>		</math>

Linha 258:		Linha 258:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}
	</math>		</math>

Linha 313:		Linha 313:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \sum_{e=1}^{M} \frac{\partial F^e}{\partial V_n} = 0		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \sum_{e=1}^{M} \frac{\partial F^e}{\partial V_n} = 0
	</math>		</math>

Linha 319:		Linha 319:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 d\Omega		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} E^2 d\Omega
	</math>		</math>

Linha 325:		Linha 325:

	:<math>		:<math>
	\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}		\frac{\partial{F^{(e)}}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^{(e)} E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}
	</math>		</math>

Renanrs em 22h35min de 23 de outubro de 2021

2021-10-23T22:35:17Z

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Linha 263:		Linha 263:
	Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como		Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como

	~~QUINTA EQ DO SLIDE~~		:<math>

			\int \frac{dw}{dx} AE \frac{du}{dx} = (wA \tau)_{x=0} + \int_{0}^{l} wb dx

			</math>

	que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema		que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema

	Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= \tau também será solução da equação diferencial original do nosso problema		Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= <math>\tau</math> também será solução da equação diferencial original do nosso problema

	Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.		Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.
Linha 308:		Linha 312:
	Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento		Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento

	~~EQ 2 DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \sum_{e=1}^{M} \frac{\partial F^e}{\partial V_n} = 0
			</math>

	onde,		onde,

	~~EQ 3 DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 d\Omega
			</math>

	Se consideramos a permissividade e o campo elétrico constante em cada elemento, eles podem sair da integral. A integral de ÔMEGA no elemento é a área do elemento, que é o determinante dividido por 2, com isso, obtemos que:		Se consideramos a permissividade e o campo elétrico constante em cada elemento, eles podem sair da integral. A integral de ÔMEGA no elemento é a área do elemento, que é o determinante dividido por 2, com isso, obtemos que:

	~~EQ 4 DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}
			</math>

	utilizando elementos triangulares e interpolação linear 2D, podemos escrever a derivada segunda do campo elétrico como:		utilizando elementos triangulares e interpolação linear 2D, podemos escrever a derivada segunda do campo elétrico como:

	~~ÚLTIMA EQ DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial E^2}{\partial V_1} = \frac{2}{D^2} [(q_1 V_1 + q_2 V_2 + q_3 V_3)q_1 + (r_1 V_1 + r_2 V_2 + r_3 V_3)r_1
			</math>

	Com isso, eu posso escrever a matriz elementar como:		Com isso, eu posso escrever a matriz elementar como:

Renanrs: /* Forma Fraca */

2021-10-22T21:34:48Z

Forma Fraca

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Linha 209:		Linha 209:
	Para entender esse método, nós podemos olhar o problema de uma barra elástica carregada axialmente.		Para entender esse método, nós podemos olhar o problema de uma barra elástica carregada axialmente.

	~~IMAGEM~~		Considerando que a barra está em equilíbrio, nós podemos representar a relação entre as forças internas p(x) e as externas b(x) por essa equação

	~~Considerando que a barra está em equilíbrio, nós podemos representar a relação entre as forças internas~~ p(x) ~~e as externas~~ b(x) ~~por essa~~ equação		:<math>
			-p(x) + b (x + \frac{\Delta x}{2}) \Delta_x + p(x + \Delta_x) = 0
			</math>

			Reorganizando e tomando o limite quando <math>\Delta_x</math> tende a 0 nós chegamos em uma equação diferencial para descrever esse problema.

	~~PRIMEIRA EQ DO SLIDE~~		:<math>

	~~Reorganizando e tomando o limite quando DELTAX tende a~~ 0 ~~nós chegamos em uma equação diferencial para descrever esse problema.~~		\frac{p(x + \Delta_x) - p(x)}{Delta_x} + b (x + \frac{\Delta_x}{2}) = 0

	~~SEGUNDA EQ DO SLIDE~~		</math>

	No entanto, ela está em termos das forças internas, para reescrever isso, basta lembrar que a tensão é definida como a força pela área da seção transversal e, pela lei de tensão deformação para um material elástico linear, nós temos que		No entanto, ela está em termos das forças internas, para reescrever isso, basta lembrar que a tensão é definida como a força pela área da seção transversal e, pela lei de tensão deformação para um material elástico linear, nós temos que

	~~SIGMA~~ = ~~E*EPSILON~~		:<math>
			\sigma = E_(x) \varepsilon_(x)
			</math>

	onde E é o módulo de young e épsilon é a deformação, definida como		onde E é o módulo de young e épsilon é a deformação, definida como

	~~EPISLON~~ = ~~NANANA~~		:<math>
			\varepsilon_(x)= \frac{u(x + \Delta_x) - u(x)}{\Delta_x}
			</math>

	Então, lembrando também da definição de derivada, eu posso reescrever a equação para esse problema como		Então, lembrando também da definição de derivada, eu posso reescrever a equação para esse problema como

	~~PRIMEIRA EQ SLIDE 2~~		:<math>
			\frac{d}{dx} (AE \frac{du}{dx}) +b = 0
			</math>

	E, para resolver essa equação, precisamos das condições de contorno, as quais podemos tomar como sendo		E, para resolver essa equação, precisamos das condições de contorno, as quais podemos tomar como sendo

	~~SEGUNDA EQ DO SLIDE 2~~		:<math>
			\sigma(0) = (E \frac{du}{dx})_{x=0} = \frac{p(0)}{A(0)} \equiv \tau
			</math>

	relembrando que u(x) é a função que representa o deslocamento do corpo, ou seja, a deformação.		relembrando que u(x) é a função que representa o deslocamento do corpo, ou seja, a deformação.
	Agora, para obter a forma fraca, eu multiplico e integro a equação diferencial e a condição de contorno que diz respeito a tensão		Agora, para obter a forma fraca, eu multiplico e integro a equação diferencial e a condição de contorno que diz respeito a tensão

	~~TERCEIRA EQ DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} \int_{e}^{} \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 d\Omega
			</math>

	Aqui vale notar que a integral da condição de contorno foi substituída pela multiplicação pela área, já que o domínio dessa condição de contorno é a área da seção transversal mas só em x=0, ou seja, ela age só em um ponto		Aqui vale notar que a integral da condição de contorno foi substituída pela multiplicação pela área, já que o domínio dessa condição de contorno é a área da seção transversal mas só em x=0, ou seja, ela age só em um ponto
	Agora, utilizando a definição de integração por partes, eu consigo escrever		Agora, utilizando a definição de integração por partes, eu consigo escrever

	~~QUARTA EQ DO SLIDE~~		:<math>
			\frac{\partial{F^(e)}}{\partial{V_n}} = \frac{\partial}{\partial V_n} [ \frac{1}{2} \varepsilon^(e) E^2 \int_{e} d\Omega] = \frac{1}{2} \varepsilon^(e) \frac{D \partial{E^2}}{2 \partial{V_n}}
			</math>

	Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como		Olhando pra esse termo e para a equação da condição de contorno mostrada anteriormente e lembrando da definição de sigma, eu vejo que eu posso reescrever essa equação integral como
Linha 251:		Linha 267:
	que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema		que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema

	Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= ~~UBARRA~~ também será solução da equação diferencial original do nosso problema		Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= \tau também será solução da equação diferencial original do nosso problema

	Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.		Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.
Linha 288:		Linha 304:
	</math>		</math>

	Pelo método variacional, eu satisfaço a equação de laplace quando a energia armazenada no sistema, que é o meu funcional, ~~for~~ mínima. Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado		Pelo método variacional, eu satisfaço a equação de laplace quando a energia armazenada no sistema, que é o meu funcional, forma mínima. Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado
	dentro desse elemento, para tal, eu minimizo o funcional com relação a cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como matriz elementar, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.		dentro desse elemento, para tal, eu minimizo o funcional com relação a cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como matriz elementar, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.
	Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento		Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento

Renanrs: /* Forma Fraca */

2021-10-22T19:43:51Z

Forma Fraca

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Linha 227:		Linha 227:
	EPISLON = NANANA		EPISLON = NANANA

	Então, eu posso reescrever a equação para esse problema como		Então, lembrando também da definição de derivada, eu posso reescrever a equação para esse problema como

	PRIMEIRA EQ SLIDE 2		PRIMEIRA EQ SLIDE 2

Renanrs: /* Forma Fraca */

2021-10-22T19:37:09Z

Forma Fraca

← Edição anterior		Edição das 19h37min de 22 de outubro de 2021
Linha 251:		Linha 251:
	que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema		que é a forma fraca da equação diferencial que descreve o nosso problema

	Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(0)=0 e u(l)= UBARRA também será solução da equação diferencial original do nosso problema		Qualquer solução que satisfizer a forma fraca, com w(l)=0 e u(l)= UBARRA também será solução da equação diferencial original do nosso problema

			Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos sem carga livre no domínio de estudo. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 equações (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.





	Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos ~~(eq~~ de ~~laplace)~~. A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 eq (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.

	Usando o problema eletrostático para exemplificar o Método Variacional:		Usando o problema eletrostático para exemplificar o Método Variacional:
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	</math>		</math>

			Pelo método variacional, eu satisfaço a equação de laplace quando a energia armazenada no sistema, que é o meu funcional, for mínima. Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado
			dentro desse elemento, para tal, eu minimizo o funcional com relação a cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como matriz elementar, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.
			Podemos escrever a derivada total do funcional como a soma da derivada em cada elemento, onde F^E é o valor do funcional em cada elemento

			EQ 2 DO SLIDE

			onde,

			EQ 3 DO SLIDE

			Se consideramos a permissividade e o campo elétrico constante em cada elemento, eles podem sair da integral. A integral de ÔMEGA no elemento é a área do elemento, que é o determinante dividido por 2, com isso, obtemos que:

			EQ 4 DO SLIDE

			utilizando elementos triangulares e interpolação linear 2D, podemos escrever a derivada segunda do campo elétrico como:

	~~Como analisamos elemento por elemento, podemos dizer que o funcional vai ser constante dentro de um elemento, e tem que ser minimizado~~		ÚLTIMA EQ DO SLIDE
	~~dentro desse elemento, para tal~~, eu ~~minimizo o funcional com relação~~ a ~~cada nó do elemento, o que me leva a um conjunto de equações que podemos organizar no que se conhece como~~ matriz elementar~~, se eu tenho 3 nós em cada elemento vou ter uma matriz 3 por 3.~~
			Com isso, eu posso escrever a matriz elementar como:

	[[Arquivo:Matriz elementar.png\|400px\|thumb\|center\|]]		[[Arquivo:Matriz elementar.png\|400px\|thumb\|center\|]]

Renanrs: /* Solução Global */

2021-10-22T19:17:05Z

Solução Global

@@ Linha 200: / Linha 200: @@
 Porém os valores nodais são as nossas incógnitas e são eles quem queremos descobrir, a interpolação será a predição dos valores entre os valores nodais.
-Como visto, no MEF cada elemento terá suas próprias equações baseadas nos seus valores nodais e nas coordenadas destes valores. Para de fato introduzir o problema físico precisamos da forma fraca dele.
+Como visto, no MEF cada elemento terá suas próprias equações baseadas nos seus valores nodais e nas coordenadas destes valores. Para de fato introduzir o problema físico precisamos da forma fraca dele, já que é a partir da forma fraca que chegaremos no sistema de equações que nos permite obter os valores nodais
 ===== Forma Fraca =====
@@ Linha 206: / Linha 206: @@
 Quando se tem uma problema envolvendo um operador diferencial, é possível usar o que se conhece por forma fraca do operador, que nada mais é que a representação integral do problema, a qual já engloba/explicita as condições de contorno e utiliza-se o método de resíduos ponderados para isso.
-Para a construção da forma fraca nós podemos escolher uma função arbitrária w(x) e multiplicá-la pela forma forte, que é a equação diferencial original que descreve o problema, e pela condição de contorno em x=0. Em sequência nós integramos ambas dentro do domínio onde elas foram definidas. Como w(x) ´e uma função arbitrária que pode ser qualquer função, ela força a solução, já que qualquer coisa multiplicada por ela tem que ser 0.
+Para a construção da forma fraca nós podemos escolher uma função arbitrária w(x) e multiplicá-la pela forma forte, que é a equação diferencial original que descreve o problema, e pela condição de contorno em x=0. Em sequência nós integramos ambas dentro do domínio onde elas foram definidas. Como w(x) é uma função arbitrária que pode ser qualquer função, ela força a solução, já que qualquer coisa multiplicada por ela tem que ser 0.
 Alternativamente, podemos encontrar a forma fraca através da minimização de um funcional, um método chamado de Método Variacional, dentro de um espaço de funções válido para o nosso problema e suas condições de contorno. A obtenção desse funcional não é um processo trivial, mas quando se trata de problemas físicos, esse funcional coincide com a energia do sistema, sendo, por exemplo, a energia potencial elástica do sólido para problemas de mecânica dos sólidos e a energia eletrostática armazenada na região de cálculo para problemas eletrostáticos (eq de laplace). A função que minimiza essa energia é a solução do problema original. Como discretizamos o problema, devemos minimizar o funcional com relação a cada nó. Se eu tenho 10 nós vou ter 10 eq (derivadas igualadas a 0) para minimizar o funcional nos 10 nós.
@@ Linha 263: / Linha 314: @@
 Por fim tendo a matriz global determinada e com as condições de contorno aplicadas, sua resolução trará enfim a solução do problema pelo método de elementos finitos.
 === Programas CAE ===

Renanrs em 17h55min de 15 de outubro de 2021

2021-10-15T17:55:33Z

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	:<math>		:<math>
	\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0		\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0
	<\math>		</math>

	:<math>		:<math>

Renanrs em 17h54min de 15 de outubro de 2021

2021-10-15T17:54:59Z

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Linha 217:		Linha 217:
	:<math>		:<math>
	\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0		\frac{\partial^2 {V}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 {V}}{\partial y^2} = 0
	<math>		<\math>

	:<math>		:<math>