Lucaso em 22h47min de 5 de fevereiro de 2024

2024-02-05T22:47:20Z

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Linha 3:		Linha 3:
	<center><math>		<center><math>
	\frac{u_i^{n+1} - u_i^{n}}{\Delta t} = -v \frac{u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}}{\Delta x}		\frac{u_i^{n+1} - u_i^{n}}{\Delta t} = -v \frac{u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}}{\Delta x}
	</math></center>(22)		</math></center>(4)

	onde		onde
Linha 12:		Linha 12:
	u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i}^n - u_{i-1}^n) - 2r(u_{i}^n - u_{i-1}^n)		u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i}^n - u_{i-1}^n) - 2r(u_{i}^n - u_{i-1}^n)
	\end{cases}		\end{cases}
	</math></center>(23)		</math></center>(5)

	Substituindo os valores de (23) em (22):		Substituindo os valores de (5) em (4):

	<center><math>		<center><math>
	u_i^{n+1} = u_i^{n} - \frac{r}{2}(u_{i+1}^{n} - u_{i-1}^{n}) + \frac{r^2}{2}(u_{i+1}^{n} - 2u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n})		u_i^{n+1} = u_i^{n} - \frac{r}{2}(u_{i+1}^{n} - u_{i-1}^{n}) + \frac{r^2}{2}(u_{i+1}^{n} - 2u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n})
	</math></center>(24)		</math></center>(6)

	<source lang = "python">		<source lang = "python">

Lucaso: Criou página com 'Neste método é usando diferenças adiantadas no espaço e no tempo, tomando médias aritméticas na posição. Assim, $\frac{u_i^{n+1} - u_i^{n}}{\Delta t} = -v \frac{u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}}{\Delta x}$ (22) onde $\begin{cases} u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i}^n) - 2r(u_{i+1}^n - u_{i}^n) \\ u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i}^n...'$

2024-02-04T21:57:41Z

Criou página com 'Neste método é usando diferenças adiantadas no espaço e no tempo, tomando médias aritméticas na posição. Assim, <center><math> \frac{u_i^{n+1} - u_i^{n}}{\Delta t} = -v \frac{u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}}{\Delta x} </math></center>(22) onde <center><math> \begin{cases} u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i}^n) - 2r(u_{i+1}^n - u_{i}^n) \\ u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i}^n...'

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Neste método é usando diferenças adiantadas no espaço e no tempo, tomando médias aritméticas na posição. Assim,

<center><math>
\frac{u_i^{n+1} - u_i^{n}}{\Delta t} = -v \frac{u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}}{\Delta x}
</math></center>(22)

onde

<center><math>
\begin{cases}
u_{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i}^n) - 2r(u_{i+1}^n - u_{i}^n) \\
u_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(u_{i}^n - u_{i-1}^n) - 2r(u_{i}^n - u_{i-1}^n)
\end{cases}
</math></center>(23)

Substituindo os valores de (23) em (22):

<center><math>
u_i^{n+1} = u_i^{n} - \frac{r}{2}(u_{i+1}^{n} - u_{i-1}^{n}) + \frac{r^2}{2}(u_{i+1}^{n} - 2u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n})
</math></center>(24)

<source lang = "python">

# Solução pelo método Lax-Wendroff dois passos para equação de advecção

def LaxW2Pad(L, tf, v, Nx, Nt):
"""
Parâmetros:
- L: comprimento
- tf: tempo final
- v: velocidade de propagação
- Nx: número de pontos na direção espacial
- Nt: número de pontos na direção temporal

Retorna:
- Matriz com a solução da equação da onda
"""

dx = L / (Nx - 1)
dt = tf / (Nt - 1)
r = v * dt / dx

u = np.zeros((Nt, Nx+1))

# Condição inicial: u(x,0) = f(x)
x = np.linspace(0, L, Nx+1)
u[0,:] = 1-np.cos(x) # Função que descreve a perturbação da onda

# Condições de contorno borda infinita:
xpos = np.zeros(Nx+1)
xneg = np.zeros(Nx+1)

for i in range(0,Nx+1):
xpos[i] = i+1
xneg[i] = i-1
xpos[Nx] = 0
xneg[0] = Nx

# Iteração no tempo
for n in range(0, Nt - 1):
for i in range(0, Nx+1):
u[n+1,i] = u[n,i] + (r/2) * (u[n, int(xpos[i])] - u[n,int(xneg[i])]) + (r/2)**2 * (u[n, int(xpos[i])] - 2*u[n,i] + u[n,int(xneg[i])])

return u

</source>

<source lang = "python">

# Parâmetros
L = 2*np.pi
tf =1
v = 1 # -1. muda direção de propagação
Nx = 100
Nt = 500

solv6 = LaxW2Pad(L, tf, v, Nx, Nt)

listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
listT = np.linspace(0, tf, Nt)

X, T = np.meshgrid(listX, listT)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.pcolormesh(X, T, solv6, cmap='viridis', shading='auto')
plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Tempo (t)')
plt.title('Solução Lax - Wendroff (2P) da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
plt.show()

</source>

<center>
{|
|[[Arquivo: lax-w2.png|thumb|upright=0.0|center|Solução pelo método Lax-Wendroff de dois passos|600px]]
|}
</center>

<source lang = "python">

# Teste: Plota todas as curvas amplitude por posição de todos os tempos:

for tt in range(len(listT-1)):
amplitudes_tt = solv6[ tt,:]
plt.plot(listX, amplitudes_tt)

plt.title('Amplitude em Função da Posição')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Amplitude (u)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

</source>

<center>
{|
|[[Arquivo: amplitude lax-w2.png|thumb|upright=0.0|center|Solução pelo método Lax-Wendroff de dois passos|600px]]
|}
</center>

Método Lax-Wendroff de dois passos - Histórico de revisão

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