Método Lax-Friedrich - Histórico de revisão

Lucaso em 22h41min de 5 de fevereiro de 2024

2024-02-05T22:41:00Z

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Linha 3:		Linha 3:
	<center><math>		<center><math>
	u_i^{n+1}= \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i-1}^n) + \frac{r}{2} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)		u_i^{n+1}= \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i-1}^n) + \frac{r}{2} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)
	</math></center>~~(11)~~		</math></center>

	A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:		A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:
Linha 9:		Linha 9:
	<center><math>		<center><math>
	A = \cos(k \Delta x) - ir\sin^2(k \Delta x)		A = \cos(k \Delta x) - ir\sin^2(k \Delta x)
	</math></center>~~(12)~~		</math></center>

	Portanto		Portanto
Linha 15:		Linha 15:
	<center><math>		<center><math>
	\|A\|^2 = 1 - (1-r^2)\sin^2(k \Delta x)		\|A\|^2 = 1 - (1-r^2)\sin^2(k \Delta x)
	</math></center>~~(13)~~		</math></center>

	Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de <math>r</math> menor do que 1. Pela definição de <math>r</math>, temos que:		Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de <math>r</math> menor do que 1. Pela definição de <math>r</math>, temos que:
Linha 21:		Linha 21:
	<center><math>		<center><math>
	\Delta t < \frac{\Delta x}{v}		\Delta t < \frac{\Delta x}{v}
	</math></center>~~(13)~~		</math></center>

	= Implementação do método =		= Implementação do método =

Lucaso em 20h00min de 4 de fevereiro de 2024

2024-02-04T20:00:59Z

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Linha 109:		Linha 109:
	<source lang = "python">		<source lang = "python">

	# Teste: Plota todas as ~~cuvas~~ amplitude por posição de todos os tempos:		# Teste: Plota todas as curvas amplitude por posição de todos os tempos:

	for tt in range(len(listT-1)):		for tt in range(len(listT-1)):

Lucaso em 19h59min de 4 de fevereiro de 2024

2024-02-04T19:59:05Z

@@ Linha 103: / Linha 103: @@
 <center>
 {|
-|[[Arquivo: lax-friedrich.png|thumb|upright=0.0|center|Solução pelo método Lax-Friedrich|300px]]
+|[[Arquivo: lax-friedrich.png|thumb|upright=0.0|center|Solução pelo método Lax-Friedrich|600px]]
 |}
 </center>

Lucaso em 19h55min de 4 de fevereiro de 2024

2024-02-04T19:55:55Z

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Linha 103:		Linha 103:
	<center>		<center>
	{\|		{\|
	\|[[Arquivo:lax-friedrich.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Solução pelo método Lax-Friedrich\|300px]]		\|[[Arquivo: lax-friedrich.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Solução pelo método Lax-Friedrich\|300px]]
	\|}		\|}
	</center>		</center>

Lucaso em 19h54min de 4 de fevereiro de 2024

2024-02-04T19:54:34Z

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Linha 100:		Linha 100:

	</source>		</source>

			<center>
			{\|
			\|[[Arquivo:lax-friedrich.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Solução pelo método Lax-Friedrich\|300px]]
			\|}
			</center>

Lucaso em 19h50min de 4 de fevereiro de 2024

2024-02-04T19:50:33Z

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Linha 28:		Linha 28:

	* Condições de contorno para bordas cíclicas.		* Condições de contorno para bordas cíclicas.

			<source lang = "python>

			# Solução pelo método Lax-Friedrichs para equação de advecção

			def LaxFad(L, tf, v, Nx, Nt):
			"""
			Parâmetros:
			- L: comprimento
			- tf: tempo final
			- v: velocidade de propagação
			- Nx: número de pontos na direção espacial
			- Nt: número de pontos na direção temporal

			Retorna:
			- Matriz com a solução da equação da onda
			"""

			dx = L / (Nx - 1)
			dt = tf / (Nt - 1)
			r = v * dt / dx

			u = np.zeros((Nt, Nx+1))

			# Condição inicial: u(x,0) = f(x)
			x = np.linspace(0, L, Nx+1)
			u[0,:] = 1-np.cos(x) # Função que descreve a perturbação da onda

			# Condições de contorno borda infinita:
			xpos = np.zeros(Nx+1)
			xneg = np.zeros(Nx+1)

			for i in range(0,Nx+1):
			xpos[i] = i+1
			xneg[i] = i-1
			xpos[Nx] = 0
			xneg[0] = Nx

			# Iteração no tempo
			for n in range(0, Nt - 1):
			for i in range(0, Nx+1):
			u[n+1,i] = (1/2) * (u[n, int(xpos[i])] + u[n,int(xneg[i])]) + (r/2) * (u[n, int(xpos[i])] - u[n,int(xneg[i])])

			return u

			</source>

			<source lang = "python">

			# Parâmetros
			L = 2*np.pi
			tf =1
			v = 1 # -1. muda direção de propagação
			Nx = 100
			Nt = 500

			solv2 = LaxFad(L, tf, v, Nx, Nt)

			listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
			listT = np.linspace(0, tf, Nt)

			X, T = np.meshgrid(listX, listT)

			plt.figure(figsize=(10, 6))
			plt.pcolormesh(X, T, solv2, cmap='viridis', shading='auto')
			plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
			plt.xlabel('Posição (x)')
			plt.ylabel('Tempo (t)')
			plt.title('Solução Lax-Friedrichs da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
			plt.show()

			</source>

Lucaso: Criou página com 'A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo $u_i^n$ no lado direito pela média espacial de $u$ calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos: $u_i^{n+1}= \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i-1}^n) + \frac{r}{2} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$ (11) A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação: $A = \cos(k \De...'$

2024-02-04T19:44:30Z

Criou página com 'A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo <math>u_i^n</math> no lado direito pela média espacial de <math>u</math> calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos: <center><math> u_i^{n+1}= \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i-1}^n) + \frac{r}{2} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) </math></center>(11) A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação: <center><math> A = \cos(k \De...'

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A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo <math>u_i^n</math> no lado direito pela média espacial de <math>u</math> calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos:

<center><math>
u_i^{n+1}= \frac{1}{2}(u_{i+1}^n + u_{i-1}^n) + \frac{r}{2} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)
</math></center>(11)

A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:

<center><math>
A = \cos(k \Delta x) - ir\sin^2(k \Delta x)
</math></center>(12)

Portanto

<center><math>
|A|^2 = 1 - (1-r^2)\sin^2(k \Delta x)
</math></center>(13)

Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de <math>r</math> menor do que 1. Pela definição de <math>r</math>, temos que:

<center><math>
\Delta t < \frac{\Delta x}{v}
</math></center>(13)

= Implementação do método =

* Condição inicial: <math>u(x,0) = 1-\cos(x)</math>;

* Condições de contorno para bordas cíclicas.