Linearização de sistemas de equações não lineares - Histórico de revisão

Jhordan em 19h45min de 19 de maio de 2021

2021-05-19T19:45:27Z

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	{{Ecologia\| [[~~Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas~~]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}		{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

	Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:		Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:
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	<references />		<references />

	{{Ecologia\| [[~~Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas~~]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}		{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

Jhordan em 20h42min de 2 de maio de 2021

2021-05-02T20:42:24Z

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	{{Ecologia\| [[~~Probabilidade básica~~]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}		{{Ecologia\| [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

	Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:		Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:
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	<references />		<references />

	{{Ecologia\| [[~~Probabilidade básica~~]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}		{{Ecologia\| [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

Jhordan em 02h16min de 15 de abril de 2021

2021-04-15T02:16:17Z

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	Onde:		Onde:

	<math display="block">A=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}\qquad B=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(u_{1},\dots,u_{m}\right)}</math>		<math display="block">A=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}\|_{\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)}\qquad B=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(u_{1},\dots,u_{m}\right)}\|_{\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)}</math>

	Onde a matriz <math display="inline">A</math> é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana matriz jacobiana] que representa a diferenciação de <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> em cada ponto onde <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> é diferenciável.		Onde a matriz <math display="inline">A</math> é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana matriz jacobiana] que representa a diferenciação de <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> em cada ponto onde <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> é diferenciável.

	<math display="block">A=\left(\begin{array}{ccc}		<math display="block">\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}
	\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\		\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\
	\vdots & \ddots & \vdots\\		\vdots & \ddots & \vdots\\
	\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}		\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}
	\end{array}\right)\qquad B=\left(\begin{array}{ccc}		\end{array}\right)\qquad\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(u_{1},\dots,u_{m}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}
	\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\		\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\
	\vdots & \ddots & \vdots\\		\vdots & \ddots & \vdots\\

Jhordan em 01h44min de 15 de abril de 2021

2021-04-15T01:44:29Z

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	\frac{\partial f_{n}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial u_{m}}		\frac{\partial f_{n}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial u_{m}}
	\end{array}\right)</math>		\end{array}\right)</math>

			Sendo que as componentes da matrizes <math>A</math> e <math>B</math> são constantes, pois é o valor da derivada no ponto de equilíbrio.

	=== Principais materiais utilizados ===		=== Principais materiais utilizados ===

Jhordan em 19h49min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T19:49:29Z

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	{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[~~Modelo~~ de ~~Lotka-Volterra~~]]}}		{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

	Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:		Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:
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	<references />		<references />

	{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[~~Modelo~~ de ~~Lotka-Volterra~~]]}}		{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Métodos de Lyapunov]]}}

Jhordan em 19h48min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T19:48:14Z

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	~~Primeiro~~ temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:		{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra]]}}

			Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

	<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math>		<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math>
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	=== Citações ===		=== Citações ===
	<references />		<references />

			{{Ecologia\| [[Probabilidade básica]] \|[[Modelo de Lotka-Volterra]]}}

Jhordan em 19h03min de 12 de abril de 2021

2021-04-12T19:03:40Z

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	~~Primeiro~~ temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:		Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

	<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math>		<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math>
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	Os ~~termo~~ <math display="inline">g_{j}\left(t\right)</math> podem ser reescritos em termo das outras equações <math display="inline">x_{j}</math>, Por exemplo <math display="inline">g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)</math>, então:		Os termos <math display="inline">g_{j}\left(t\right)</math> podem ser reescritos em termo das outras equações <math display="inline">x_{j}</math>, Por exemplo <math display="inline">g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)</math>, então:

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		<math display="block">\begin{align}
	\left(\begin{array}{c}		\left(\begin{array}{c}
	\dot{x_{0}}\\		\dot{x_{0}}\\
Linha 49:		Linha 49:
	\vdots\\		\vdots\\
	b_{n}\left(t\right)		b_{n}\left(t\right)
	\end{array}\right)\end{~~aligned~~}</math>~~Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:~~		\end{array}\right)\end{align}</math>

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

			<math display="block">\begin{align}
	\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\		\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\
	& =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\		& =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\
	& =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{~~aligned~~}</math>É comum encontrar na literatura <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz <math display="inline">B</math> podemos escrever <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:		& =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{align}</math>É comum encontrar na literatura <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz <math display="inline">B</math> podemos escrever <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		<math display="block">\begin{align}
	\dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\		\dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\
	\dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{~~aligned~~}</math>Podemos reescrever <math display="inline">\dot{x}</math> por exemplo:		\dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{align}</math>Podemos reescrever <math display="inline">\dot{x}</math> por exemplo:

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		<math display="block">\begin{align}
	\dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\		\dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\
	& =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{~~aligned~~}</math>		& =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{align}</math>


	Podemos ver que precisamos conhecer <math display="inline">y\left(t\right)</math> para conhecermos completamente o comportamento de <math display="inline">x\left(t\right)</math>, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:<math display="block">\begin{~~aligned~~}		Podemos ver que precisamos conhecer <math display="inline">y\left(t\right)</math> para conhecermos completamente o comportamento de <math display="inline">x\left(t\right)</math>, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:<math display="block">\begin{align}
	\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\		\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\
	\left(\begin{array}{c}		\left(\begin{array}{c}
Linha 79:		Linha 81:
	\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\		\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\
	\cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t		\cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t
	\end{array}\right)\end{~~aligned~~}</math>		\end{array}\right)\end{align}</math>


Linha 85:		Linha 87:
	\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}</math>. Mas ainda podemos reescrever como:		\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}</math>. Mas ainda podemos reescrever como:

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		<math display="block">\begin{align}
	\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\		\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\
	\left(\begin{array}{c}		\left(\begin{array}{c}
Linha 104:		Linha 106:
	t^{2}\\		t^{2}\\
	t		t
	\end{array}\right)\end{~~aligned~~}</math>		\end{array}\right)\end{align}</math>

	Onde temos <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc}		Onde temos <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc}
	\cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}</math>. Agora, considerando que as matrizes <math display="inline">A</math> e <math display="inline">B</math> sejam independentes do tempo, temos:		\cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}</math>. Agora, considerando que as matrizes <math display="inline">A</math> e <math display="inline">B</math> sejam independentes do tempo, temos:

	<math display="block">\begin{~~aligned~~}		<math display="block">\begin{align}
	\left(\begin{array}{c}		\left(\begin{array}{c}
	\dot{x_{1}}\\		\dot{x_{1}}\\
Linha 131:		Linha 133:
	u_{m}		u_{m}
	\end{array}\right)\\		\end{array}\right)\\
	\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{~~aligned~~}</math>Então <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)</math>. Omitindo a informação da dependência no tempo <math display="inline">\left(t\right)</math>, temos o seguinte vetor:		\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{align}</math>Então <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)</math>. Omitindo a informação da dependência no tempo <math display="inline">\left(t\right)</math>, temos o seguinte vetor:

	<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c}		<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c}

Jhordan: Criou página com 'Primeiro temos que um mapa linear é um mapa $V\rightarrow W$ entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adiç...'

2021-04-12T18:44:46Z

Criou página com 'Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adiç...'

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Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math>

Onde <math display="inline">\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in V</math> são vetores e <math display="inline">c\in K</math> é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

<math display="block">a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b</math><math display="block">\sum_{j}a_{j}x_{j}=b</math>Onde as variáveis e os coeficientes são <math display="inline">x_{j}</math> e <math display="inline">a_{j}</math> respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

<math display="block">a_{0}\left(t\right)y+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}+\dots+a_{n-1}\left(t\right)\frac{d^{n-1}x\left(t\right)}{dt^{n-1}}+a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(x\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)</math><math display="block">\sum_{n}a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)</math>

Lembrando que os termos <math display="inline">a_{j}\left(t\right)</math> e <math display="inline">b\left(t\right)</math> podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (<math display="inline">n=1</math>) pode ser escrita então como:<math display="block">a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=b\left(t\right)</math><math display="block">\dot{x}=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}x\left(t\right)</math>Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade <math display="inline">g\left(t\right)=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}</math>, <math display="inline">a\left(t\right)=-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}</math> e <math display="inline">x\left(t\right)\rightarrow x</math>:

<math display="block">\dot{x}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f\left(t,x\right)</math>

Se <math display="inline">g\left(t\right)=0</math>, então temos apenas <math display="inline">\dot{x}=a\left(t\right)x</math>, que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que <math display="inline">t</math> ainda pode aparecer explicitamente em <math display="inline">a\left(t\right)</math>, porém se isto não acontecer, ou seja, <math display="inline">a</math> for constante, temos então uma equação autônoma <math display="inline">\dot{x}=ax=f\left(x\right)</math>. Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:<math display="block">\left(\begin{array}{c}
\dot{x_{0}}\\
\vdots\\
\dot{x}_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{0}\left(t\right)\\
\vdots\\
a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n}\left(t\right)
\end{array}\right)</math>

Os termo <math display="inline">g_{j}\left(t\right)</math> podem ser reescritos em termo das outras equações <math display="inline">x_{j}</math>, Por exemplo <math display="inline">g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)</math>, então:

<math display="block">\begin{aligned}
\left(\begin{array}{c}
\dot{x_{0}}\\
\vdots\\
\dot{x}_{n}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c}
a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)\\
\vdots\\
a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n0}\left(t\right)x_{0}+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_{n}\left(t\right)
\end{array}\right)\\
& =\left(\begin{array}{ccc}
a_{0}\left(t\right) & \dots & g_{0n}\left(t\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
g_{n0}\left(t\right) & \dots & a_{n}\left(t\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{0}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
b_{0}\left(t\right)\\
\vdots\\
b_{n}\left(t\right)
\end{array}\right)\end{aligned}</math>Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

<math display="block">\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\
& =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\
& =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{aligned}</math>É comum encontrar na literatura <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz <math display="inline">B</math> podemos escrever <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

<math display="block">\begin{aligned}
\dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\
\dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{aligned}</math>Podemos reescrever <math display="inline">\dot{x}</math> por exemplo:

<math display="block">\begin{aligned}
\dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\
& =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{aligned}</math>

Podemos ver que precisamos conhecer <math display="inline">y\left(t\right)</math> para conhecermos completamente o comportamento de <math display="inline">x\left(t\right)</math>, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:<math display="block">\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\
\left(\begin{array}{c}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
\cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\
\cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\
\cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t
\end{array}\right)\end{aligned}</math>

Ou seja, temos <math display="inline">\boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{cc}
\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}</math>. Mas ainda podemos reescrever como:

<math display="block">\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\
\left(\begin{array}{c}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
\cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\
\cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0\\
1 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\cos\left(t\right)\\
\sin\left(t\right)\\
t^{2}\\
t
\end{array}\right)\end{aligned}</math>

Onde temos <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc}
\cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}</math>. Agora, considerando que as matrizes <math display="inline">A</math> e <math display="inline">B</math> sejam independentes do tempo, temos:

<math display="block">\begin{aligned}
\left(\begin{array}{c}
\dot{x_{1}}\\
\vdots\\
\dot{x}_{n}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \dots & a_{nnn}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
b_{11} & \dots & b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{m1} & \dots & b_{mm}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
\vdots\\
u_{m}
\end{array}\right)\\
\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{aligned}</math>Então <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)</math>. Omitindo a informação da dependência no tempo <math display="inline">\left(t\right)</math>, temos o seguinte vetor:

<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c}
f_{0}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)
\end{array}\right)</math>Onde <math display="inline">x=\left(\boldsymbol{x}_{0},\dots,\boldsymbol{x}_{n}\right)^{T}</math> e <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(u_{0},\dots,u_{n}\right)^{T}</math>. O ponto de equilíbrio <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> ocorre quando para uma entrada constante <math display="inline">\boldsymbol{u}\left(t\right)=\boldsymbol{u}_{0}</math> temos <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}=0</math>:

<math display="block">0=A\boldsymbol{x}_{0}+B\boldsymbol{u}_{0}\rightarrow\boldsymbol{x}_{0}=-A^{-1}B\boldsymbol{u}_{0}</math>

*Se a matriz <math display="inline">A</math> é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
*Se a matriz <math display="inline">A</math> é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores<ref>[https://www.adelaide.edu.au/mathslearning/system/files/media/documents/2020-03/evalue-magic-tricks-handout.pdf Facts About Eigenvalues] (David Butler, University of Adelaide)</ref>, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Posto_matricial posto matricial] (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto <math display="inline">AB</math>:
**<math display="inline">\text{Posto}</math><math display="inline">\left[A\right]=\text{Posto}\left[AB\right]\rightarrow</math> há um infinito número de pontos de equilíbrio;
***Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo<math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}=\overline{\boldsymbol{x}}_{0}+\text{kernel}\left[A\right]</math> (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores <math display="inline">\boldsymbol{v}</math> que satisfazem <math display="inline">A\boldsymbol{v}=0</math><ref>[http://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/math19b_2011/handouts/lecture13.pdf Lecture 13: Image and Kernel] (Oliver Knill, Harvard University)</ref>).
**<math display="inline">\text{Posto}</math><math display="inline">\left[A\right]\neq\text{Posto}\left[AB\right]\rightarrow</math> não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)</math>

Novamente o ponto de equilíbrio <math display="inline">\boldsymbol{x}_{0}</math> ocorre quando para uma entrada constante <math display="inline">\boldsymbol{u}\left(t\right)=\boldsymbol{u}_{0}</math> quando temos <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}=f\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=0</math>. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função <math display="inline">f\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)</math> na vizinhaça do do ponto de equilíbrio <math display="inline">\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)</math>. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de <math display="inline">c</math>:

<math display="block">P_{n}\left(x\right)=\frac{f\left(c\right)\left(x-c\right)^{0}}{0!}+\frac{f'\left(c\right)\left(x-c\right)^{1}}{1!}+\dots+\frac{f^{\left(n\right)}c\left(c\right)\left(x-c\right)^{n}}{n!}</math>

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto <math display="inline">\left(a,b\right)</math> pode ser aproximada por<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables Taylor Polynomials of Functions of Two Variables] (Paul Seeburger, LibreTexts)</ref>:

<math display="block">f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{1}-a\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{2}-b\right)</math>

Mas escrevendo então <math display="inline">\tilde{x}_{1}=\left(x_{1}-a\right)</math> e <math display="inline">\tilde{x}_{2}=\left(x_{2}-b\right)</math>:

<math display="block">f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}|_{\left(a,b\right)}\tilde{x}_{1}+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}|_{\left(a,b\right)}\tilde{x}_{2}</math>

E tendo os vetores <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{x}}=\left(\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2}\right)^{T}</math> e <math display="inline">\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}</math> :

<math display="block">f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\left(x_{2},x_{2}\right)}|_{\left(a,b\right)}\tilde{\boldsymbol{x}}</math>

Onde:

<math display="block">\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\left(x_{2},x_{2}\right)}=\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial\boldsymbol{x}}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\end{array}\right)^{T}</math>

Generalizando para nosso caso temos então:

<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{x}}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right)+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)\left(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}\right)</math><math display="block">f_{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)}{\partial\boldsymbol{x}}=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{m}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}</math>

Uma vez que agora ambos <math display="inline">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(f_{1},\dots,f_{m}\right)^{T}</math> e <math display="inline">\boldsymbol{x}=\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)^{T}</math> são vetores . E como <math display="inline">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{u}_{0}\right)=0</math>, fazendo o deslocamento <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}</math> e <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}</math>, temos:

<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=A\tilde{\boldsymbol{x}}\left(t\right)+B\tilde{\boldsymbol{u}}\left(t\right)</math>

Onde:

<math display="block">A=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)}\qquad B=\frac{\partial\left(f_{1},\dots,f_{n}\right)}{\partial\left(u_{1},\dots,u_{m}\right)}</math>

Onde a matriz <math display="inline">A</math> é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana matriz jacobiana] que representa a diferenciação de <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> em cada ponto onde <math display="inline">\boldsymbol{f}</math> é diferenciável.

<math display="block">A=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right)\qquad B=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_{n}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial u_{m}}
\end{array}\right)</math>

=== Principais materiais utilizados ===

#[https://www.math.arizona.edu/~rsims/ma355/math-355-sv.pdf Analysis of Ordinary Differential Equations] (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
# [http://www.dii.unimo.it/~zanasi/didattica/Teoria_dei_Sistemi/Luc_TDS_ING_2016_Linearization_of_Nonlinear_Systems.pdf Linearization of Nonlinear Systems] (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)

=== Citações ===
<references />