Lançamento Oblíquo Estocástico - Histórico de revisão

Msmm: /* Resultados */

2024-08-19T20:59:07Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 20h59min de 19 de agosto de 2024
Linha 182:		Linha 182:
	== Resultados ==		== Resultados ==

			Aqui temos alguns gráficos comparativos, nesses dois primeiros comparamos os dois modelos para a mesma distribuição de ruídos.
			[[File:multeuler.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Aditivo_euler.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]

	~~[[File:Multiplicativo1.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Aditivo.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]~~

			Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo para diferentes distribuições.
	Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo ~~considerando o chão em zero~~.

	[[File:Ruido_multiplicativo2.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Ruido_aditivo2.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]		[[File:Ruido_multiplicativo2.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Ruido_aditivo2.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]

Msmm: /* Resultados */

2024-08-19T20:43:16Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 20h43min de 19 de agosto de 2024
Linha 183:		Linha 183:


	[[File:Multiplicativo1.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Aditivo~~.gif~~.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]		[[File:Multiplicativo1.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Aditivo.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]

Msmm: /* Resultados */

2024-08-19T20:43:01Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 20h43min de 19 de agosto de 2024
Linha 181:		Linha 181:

	== Resultados ==		== Resultados ==


			[[File:Multiplicativo1.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Aditivo.gif.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]


	Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.		Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.

Msmm: /* Resultados */

2024-08-19T20:16:09Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 20h16min de 19 de agosto de 2024
Linha 198:		Linha 198:
	[[File:N=10000_SCC2.png\|400px\|Figura 4 - Médias para N = 10000]]		[[File:N=10000_SCC2.png\|400px\|Figura 4 - Médias para N = 10000]]

	Nos gráficos abaixo temos as trajetórias para o ruído multiplicativo, as médias para os dois métodos e a solução por euler levando em conta o solo, para as trajetória é visível a dispersão em torno da solução de euler que acontece por causa do ruído, porém como comentado anteriormente essa dispersão não influência na trajetória média, da mesma forma que as duas primeiras figuras conforme a diminuição das velocidades pelo termo dissipativo temos maior influência do ruído no trajeto que pode até mesmo ocasionar em um retorno do objeto na direção da posição inicial porém a média continua somente para a ~~esquerda~~.		Nos gráficos abaixo temos as trajetórias para o ruído multiplicativo, as médias para os dois métodos e a solução por euler levando em conta o solo, para as trajetória é visível a dispersão em torno da solução de euler que acontece por causa do ruído, porém como comentado anteriormente essa dispersão não influência na trajetória média, da mesma forma que as duas primeiras figuras conforme a diminuição das velocidades pelo termo dissipativo temos maior influência do ruído no trajeto que pode até mesmo ocasionar em um retorno do objeto na direção da posição inicial porém a média continua somente para a direita.

	[[File:N=1000_CCC2.png\|400px\|Figura 5 - Médias para N = 1000]]		[[File:N=1000_CCC2.png\|400px\|Figura 5 - Médias para N = 1000]]

Joaovgm: /* Equação diferencial estocástica */

2024-08-18T17:51:00Z

Equação diferencial estocástica

← Edição anterior		Edição das 17h51min de 18 de agosto de 2024
Linha 127:		Linha 127:


	Entretanto, o termo <math>B(X,t)</math> depende do processo estocástico e ruído é dito multiplicativo, assim, devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis etc, se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:		Entretanto, o termo <math>B(X,t)</math> depende do processo estocástico e o ruído é dito multiplicativo, assim, devemos utilizar um cálculo estocástco especial, por exemplo o cálculo de Itô e de Stratonovich. No cálculo de Stratonovich, as regras de integração, diferenciação, mudança de variáveis etc, se mantém as mesmas do cálculo usual, e a equação é escrita como:

	<math>		<math>

Joaovgm: /* Equação diferencial estocástica */

2024-08-18T16:11:49Z

Equação diferencial estocástica

← Edição anterior		Edição das 16h11min de 18 de agosto de 2024
Linha 115:		Linha 115:

	<math>		<math>
	\Delta v_{x_i} = -k v_{x_i} \Delta t + \beta \Delta ~~W_i~~		\Delta v_{x_i} = -k v_{x_i} \Delta t + \beta \Delta W_{x_i}
	</math>		</math>

Linha 123:		Linha 123:

	<math>		<math>
	\Delta v_{y_i} = \left(-g -k v_{x_i} \right) \Delta t + \beta \Delta ~~W_i~~		\Delta v_{y_i} = \left(-g -k v_{x_i} \right) \Delta t + \beta \Delta W_{x_i}
	</math>		</math>

Msmm: /* Resultados */

2024-08-18T16:07:35Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 16h07min de 18 de agosto de 2024
Linha 184:		Linha 184:
	Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.		Nas figuras abaixo podemos ver as trajetórias de certo objeto para ruído aditivo e ruído multiplicativo considerando o chão em zero.

	[[File:~~Ruido multiplicativo~~.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:~~Ruido aditivo~~.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]		[[File:Ruido_multiplicativo2.gif\|400px\|Figura 1 - Ruído multiplicativo]][[File:Ruido_aditivo2.gif\|400px\|Figura 2 - Ruído aditivo]]


	Esperávamos que as média para ruído aditivo e multiplicativos fossem iguais, dado que o ruído não interfere no cálculo da média pois a probabilidade de puxar em qualquer direção é a mesma, porém como pode ser visto no gráfico abaixo há divergência para o ruído multiplicativo.		Esperávamos que as média para ruído aditivo e multiplicativos fossem iguais, dado que o ruído não interfere no cálculo da média pois a probabilidade de puxar em qualquer direção é a mesma, porém como pode ser visto no gráfico abaixo há divergência para o ruído multiplicativo.

	[[File:N=~~1000 SCC~~.png\|400px\|Figura 3 - Médias para N = 1000]]		[[File:N=1000_SCC2.png\|400px\|Figura 3 - Médias para N = 1000]]

	Tanto a divergência da médias como o aumento da dispersão da trajetórias podem ser explicados pelo modelo que estamos usando na EDE-ito <math>(\beta e^{- \frac{y_i}{H}})</math>, nesse modelo conforme temos y variando para valores negativos a exponencial explode consequentemente temos aumento na intensidade do ruído, esse aumento pode ser observado no gráfico abaixo.		Tanto a divergência da médias como o aumento da dispersão da trajetórias podem ser explicados pelo modelo que estamos usando na EDE-ito <math>(\beta e^{- \frac{y_i}{H}})</math>, nesse modelo conforme temos y variando para valores negativos a exponencial explode consequentemente temos aumento na intensidade do ruído, esse aumento pode ser observado no gráfico abaixo.
Linha 196:		Linha 196:

	Temos que para poucos passos o ganho do ruído em qual direção causara grande divergência, ou seja, para termos vermos a convergência para média do ruído multiplicativo precisamos incrementar o número de trajetórias, a figura a seguir foi feita para um aumento de dez vezes no número de passos comparado ao da figura anterior.		Temos que para poucos passos o ganho do ruído em qual direção causara grande divergência, ou seja, para termos vermos a convergência para média do ruído multiplicativo precisamos incrementar o número de trajetórias, a figura a seguir foi feita para um aumento de dez vezes no número de passos comparado ao da figura anterior.
	[[File:~~Medias~~ N=~~10000 SCC~~.png\|400px\|Figura 4 - Médias para N = 10000]]		[[File:N=10000_SCC2.png\|400px\|Figura 4 - Médias para N = 10000]]

	Nos gráficos abaixo temos as trajetórias para o ruído multiplicativo, as médias para os dois métodos e a solução por euler levando em conta o solo, para as trajetória é visível a dispersão em torno da solução de euler que acontece por causa do ruído, porém como comentado anteriormente essa dispersão não influência na trajetória média, da mesma forma que as duas primeiras figuras conforme a diminuição das velocidades pelo termo dissipativo temos maior influência do ruído no trajeto que pode até mesmo ocasionar em um retorno do objeto na direção da posição inicial porém a média continua somente para a esquerda.		Nos gráficos abaixo temos as trajetórias para o ruído multiplicativo, as médias para os dois métodos e a solução por euler levando em conta o solo, para as trajetória é visível a dispersão em torno da solução de euler que acontece por causa do ruído, porém como comentado anteriormente essa dispersão não influência na trajetória média, da mesma forma que as duas primeiras figuras conforme a diminuição das velocidades pelo termo dissipativo temos maior influência do ruído no trajeto que pode até mesmo ocasionar em um retorno do objeto na direção da posição inicial porém a média continua somente para a esquerda.

	[[File:~~Medias~~ N=~~1000 CCC~~.png\|400px\|Figura 5 - Médias para N = 1000]]		[[File:N=1000_CCC2.png\|400px\|Figura 5 - Médias para N = 1000]]


	Agora para um maior valor de ruído podemos observar o gráfico a seguir, onde notamos que a média, na região de contato com o solo, fica acima da solução de euler, isso ocorre pela condição de contorno que estamos utilizando, quando a posição da partícula chega em zero invertemos o sinal da velocidade mas ao fazermos isso alteramos também o ruído que posteriormente faria a partícula tender para baixo porém agora, com a troca de sinal, estará contribuído para cima assim temos uma deslocamento da média para cima. Neste caso temos que o deslocamento para o aditivo é maior do que o do multiplicativo logo o ruído do aditivo é mais intenso.		Agora para um maior valor de ruído podemos observar o gráfico a seguir, onde notamos que a média, na região de contato com o solo, fica acima da solução de euler, isso ocorre pela condição de contorno que estamos utilizando, quando a posição da partícula chega em zero invertemos o sinal da velocidade mas ao fazermos isso alteramos também o ruído que posteriormente faria a partícula tender para baixo porém agora, com a troca de sinal, estará contribuído para cima assim temos uma deslocamento da média para cima. Neste caso temos que o deslocamento para o aditivo é maior do que o do multiplicativo logo o ruído do aditivo é mais intenso.
	[[File:~~Ruidoalto~~.png\|400px\|Figura 6 - Médias para ruido alto]]		[[File:Ruidoalto2.png\|400px\|Figura 6 - Médias para ruido alto]]

Joaovgm: /* Equação diferencial estocástica */

2024-08-18T15:55:36Z

Equação diferencial estocástica

← Edição anterior		Edição das 15h55min de 18 de agosto de 2024
Linha 178:		Linha 178:
	</math>		</math>

	É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{\Delta t}</math>.		É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{\Delta t}</math>. Além disso, um detalhe interessante é que a equação para <math>\Delta v_x</math> é semelhante à equação para <math>\Delta v_y</math> em que <math>g = 0</math>.

	== Resultados ==		== Resultados ==

Joaovgm: /* Equação diferencial estocástica */

2024-08-18T15:25:14Z

Equação diferencial estocástica

← Edição anterior		Edição das 15h25min de 18 de agosto de 2024
Linha 96:		Linha 96:
	0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}} & 0 \\		0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}} & 0 \\
	0 & 0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}}		0 & 0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}}
			\end{pmatrix}, \quad
			\xi = \begin{pmatrix}
			0 \\ 0 \\ \xi_x(t) \\ \xi_y(t)
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>

Joaovgm: /* Equação diferencial estocástica */

2024-08-18T15:18:30Z

Equação diferencial estocástica

← Edição anterior		Edição das 15h18min de 18 de agosto de 2024
Linha 79:		Linha 79:

	<math>		<math>
	\frac{dX}{dt} = A(X(t)) + B(X(t))\xi(t).		\frac{dX}{dt} = A(X(t)) + B(X(t))\xi(t),
			</math>

			onde

			<math>
			X = \begin{pmatrix}
			x \\ y \\ v_x \\ v_y
			\end{pmatrix}, \quad
			A = \begin{pmatrix}
			v_x \\ v_y \\ -k v_x \\ -g-kv_y
			\end{pmatrix}, \quad
			B = \begin{pmatrix}
			0 & 0 & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 0 \\
			0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}} & 0 \\
			0 & 0 & 0 & \beta e^{-\frac{y}{H}}
			\end{pmatrix}
	</math>		</math>

Linha 119:		Linha 136:
	</math>		</math>

	~~Ao subsituir os valores de~~ <math>A(X(t))</math> e de <math>B(X(t))</math> ~~na equação acima~~, ~~chega-se em:~~		Agora, é necessário explicitar o <math>\Delta X(t)</math> na equação acima, porém a dependência de <math>B(X(t))</math> não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.

	~~<math>~~
	~~\Delta x_i = v_{x_i} \Delta t~~		Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:
	~~</math>~~

	<math>		<math>
	~~\Delta v_{x_i}~~ = ~~-k v_{x_i}~~ \~~Delta~~ t + ~~\beta e^{-~~\frac{~~y_i~~}{H}~~} e^{-~~ \frac{\~~Delta y_i~~}{~~2H}~~} \~~Delta W_i~~		dX(t) = \left[A(X(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial X}B(X(t))\right] dt + B(X(t)) \bullet dW(t)
	</math>		</math>

	<math>		No caso em que <math>B</math> não depende de <math>X(t)</math>, a derivada que aparece na equação é zero e é recuperado o caso de ruído aditivo já mencionado. Aqui, vale ressaltar que <math>B(X(t))</math> é uma matriz e está sendo derivada com relação ao vetor <math>X(t)</math>, então o cálculo para as componentes de <math>X_i(t)</math> são:
	~~\Delta y_i = v_{y_i} \Delta~~ t
	</math>

	<math>		<math>
	~~\Delta v_~~{~~y_i~~} ~~= \left~~(~~-g -k v_{x_i} \right~~) ~~\Delta t~~ + \~~beta e^~~{-\~~frac{y_i}{H}~~} e^{-\~~frac{~~\~~Delta y_i}{2H}}~~ \~~Delta W_i~~		dX_i(t) = A^{(I)}_i(X(t))dt + \sum_{\alpha=1}^m B_{i,\alpha}(X(t)) \bullet dW_\alpha(t),
	</math>		</math>

	É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{\Delta t}</math>. Agora, é necessário explicitar os <math>\Delta y_i</math>na equação acima, porém a dependência de <math>B(X(t))</math> não é linear em relação à altura, o que torna inviável esse procedimento.		onde


	~~Com isso, a atenção volta-se para o cálculo de Itô, dado por:~~

	<math>		<math>
	dX(t) = ~~\left[A~~(X(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial X}~~B(X(t))~~\~~right] dt + B~~(X(t)) ~~\bullet dW(t)~~		A^{(I)}_i(X(t)) = A_i(X(t)) + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \sum_{\alpha=1}^m \frac{\partial B_{i,\alpha}}{\partial X_j} B_{j,\alpha}(X(t)).
	</math>		</math>

	Após a substituição dos valores de <math>A(X(t))</math> e <math>B(X(t))</math>, obtêm-se as seguintes expressões:		Após a substituição dos valores de <math>A_i(X(t))</math> e <math>B_i(X(t))</math>, obtêm-se as seguintes expressões:

	<math>		<math>
Linha 153:		Linha 164:

	<math>		<math>
	\Delta v_{x_i} = -k v_{x_i} \Delta t + \beta e^{- \frac{y(t)}{H}} \Delta ~~W_i~~		\Delta v_{x_i} = \left[ - k v_{x_i} -\frac{\beta^2}{2H} e^{-\frac{2}{H} y_i} \right] \Delta t + \beta e^{- \frac{y(t)}{H}} \Delta W_{x_i}
	</math>		</math>

Linha 161:		Linha 172:

	<math>		<math>
	\Delta v_{y_i} = \left[ -g - k v_{x_i} -\frac{\beta^2}{2H} e^{-\frac{2}{H} y_i} \right] \Delta t + \beta e^{- \frac{y_i}{H}} \Delta ~~W_i~~		\Delta v_{y_i} = \left[ -g - k v_{x_i} -\frac{\beta^2}{2H} e^{-\frac{2}{H} y_i} \right] \Delta t + \beta e^{- \frac{y_i}{H}} \Delta W_{y_i}
	</math>		</math>

			É importante ressaltar que os incrementos de Wiener que aparecem nas equações para velocidade são independentes entre si, isto é, deverá ser gerado duas variáveis aleatórias com distribuição gaussiana de largura <math>\sqrt{\Delta t}</math>.

	== Resultados ==		== Resultados ==