Tekkito: Criou página com '==Definição== Partimos da definição de autocorrelação de um sistema de agentes em relação ao estado do mesmo sistema em $t = \tau$ : $corr(\tau,...'$

2011-09-19T18:32:49Z

Criou página com '==Definição== Partimos da definição de autocorrelação de um sistema de agentes em relação ao estado do mesmo sistema em <math>t = \tau</math>: <center><math>corr(\tau,...'

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==Definição==

Partimos da definição de autocorrelação de um sistema de agentes em relação ao estado do mesmo sistema em <math>t = \tau</math>:

<center><math>corr(\tau,t) = \frac{\sum_i^N w_i(\tau)w_i(\tau+t)}{\sum_i^N w_i(\tau)w_i(\tau)}</math></center>

sendo <math>N</math> o número de agentes e <math>w_i</math> a riqueza do <math>i</math>-ésimo agente. Também na forma na forma de produto escalar:

<center><math>corr(\tau,t) = \frac{\vec{W}(\tau) \cdot \vec{W}(\tau + t)}{\vec{W}(\tau) \cdot \vec{W}(\tau)}</math></center>

sendo <math>\vec{W}</math> o vetor que representa o sistema de agentes.

==Autocorrelação para distribuição uniforme entre 0 e 1==

Reconhecemos da definição acima que o denominador depende somente de <math>\tau</math>. Portanto, é esperado que ao longo da simulação, teremos para cada estado de referência <math>\vec{W}(\tau)</math> um denominador diferente, pois a distribuição de renda do sistema vai se alterando. Entretanto, o denominador será sempre o mesmo em <math>\tau = 0</math> pois trata-se do estado inicial do sistema, que é uma distribuição uniforme de riqueza entre 0 e 1. Pode-se mostrar que, para uma distribuição uniforme,

<center><math>\sum_{i=1}^N w_i^2 = \frac{N}{3}</math></center>

para <math>w_i = \lbrack 0,1 \rbrack</math> uniforme.

===Caso particular: quando um agente suga toda a riqueza===

Seja o <math>j</math>-ésimo agente o agente que vai concentrar toda a riqueza. Então,

<center>
<math>\lim_{t \rightarrow \infty} w_j(t) = W </math>
</center>

em que <math>W</math> representa a riqueza total do sistema. Como o sistema é conservativo, podemos usar o estado inicial do sistema para obter <math>W</math> de acordo com

<center>
<math>W = \sum_{i=1}^N w_{i}(0) = \frac{N}{2}</math>
</center>

A autocorrelação <math>t \rightarrow \infty</math> para <math>\tau = 0</math> vale, portanto,

<center>
<math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left\langle corr(t) \right\rangle = \frac{3}{N} \lim_{t \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N \left\langle w_{i}(0) w_{i}(t) \right\rangle
</math>
</center>

Como a riqueza é concentrada em apenas um agente, sobrevive apenas a <math>j</math>-ésima parcela da soma, correspondente à riqueza do <math>j</math>-ésimo agente:

<center>
<math>\lim_{t \rightarrow \infty} \langle corr(t) \rangle=
\frac{3}{N} \lim_{t \rightarrow \infty} \langle w_{j}(0) w_{j}(t)\rangle =
\frac{3}{N} \langle w_{j}(0) \rangle \lim_{t \rightarrow \infty} w_{j}(t)
</math>
</center>

Mas
<center>
<math>\langle w_{j}(0) \rangle = 1/2</math>
</center>

de modo que
<center>
<math>
\lim_{t \rightarrow \infty} \langle corr(t) \rangle = \frac{3}{N} \frac{1}{2} \frac{N}{2} = \frac{3}{4}
</math>
</center>

==Denominador da autocorrelação em função de <math>\tau</math>==

Abaixo, gráficos do denominador em função de <math>\tau</math> e de <math>f</math> (parâmetro de assimetria) para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras) para as regras do mínimo e do perdedor. Observe como o denominador não é afetado por <math>f</math> para <math>\tau = 0</math>.

<gallery>
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr_denom-tau(3).jpg|minimum
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr_denom-tau(3).jpg|loser
</gallery>

=="Anomalias" da autocorrelação==

Abaixo, gráficos de <math>corr(f,\tau, t)</math> para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras), sendo um gráfico para cada <math>f</math>.
Para manter os gráficos limpos, eles são apresentados sem legendas.

'''Informações úteis:'''
<li>cada gráfico contem 41 curvas de autocorrelação;
<li>cada curva de autocorrelação é traçada em relação aos estados do sistema nos tempos <math>\tau = 0, 100, 200, 300, ... , 3900, 4000</math>;
<li>observe que, à medida que o sistema se aproxima do estado de equilíbrio, as curvas de autocorrelação se "empacotam" em torno de um certo valor;
<li>observe que, para a regra do perdedor, há um certo tempo durante o qual a autocorrelação é maior do que 1, mas que cai para um valor menor do que 1 ao se aproximar do estado de equilíbrio.
<li>observe que há uma curva de autocorrelação vermelha destacada de todas as outras: é a autocorrelação em relação ao estado inicial (<math>\tau = 0</math>), cujo valor assintótico visivelmente independe tanto de <math>f</math> como da regra em questão. Essa é uma anomalia ainda em estudo.

<gallery>
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f50.jpg|minimum, f = 0.50
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f40.jpg|minimum, f = 0.40
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f30.jpg|minimum, f = 0.30
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f20.jpg|minimum, f = 0.20
Image:Gaspar_2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f10.jpg|minimum, f = 0.10
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr-tau-f50.jpg|loser, f = 0.50
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr-tau-f40.jpg|loser, f = 0.40
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr-tau-f30.jpg|loser, f = 0.30
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr-tau-f20.jpg|loser, f = 0.20
Image:Gaspar_2006-08-17-LOSER-corr-tau-f10.jpg|loser, f = 0.10
</gallery>

=="Miolo" do programa utilizado para cálculo de autocorrelação==
Tendo em vista as anomalias apresentadas acima, apresentamos o pedaço do programa empregado para calcular a autocorrelação. Está sob análise pois, se há alguma real anomalia, deve haver um erro nessa parte do programa.

Breve legenda

B(agente) := vetor de $$$ dos agentes
B_TAU(agente,tau) := matriz com estado do sistema para cada tau
CORR_DENOM(tau) := vetor com denominadores da autocorrelação para
cada tau
MEAN_CORR(tempo,tau) := matriz com valores de autocorrelação para cada
tau e para cada tempo além de tau; no final, é
feita uma média entre todas as amostras para
obter melhor resolução

Cálculo do denominador no estado inicial:

CORR_DENOM(0) = DOT_PRODUCT(B,B)

DO j = 1, agents !!!salva o estado
B_TAU(j,0) = B(j) !!!inicial do
END DO !!!sistema

MEAN_CORR(0,0) = MEAN_CORR(0,0) + 1 !!!por def, a correlação
!!!no estado inicial = 1
...

Função que calcula autocorrelação:

corr = 0

DO j = 1, agents
corr = corr + B(j)*B_TAU(j,k)
END DO

corr = corr/CORR_DENOM(k)

Investigações posteriores sobre autocorrelação (Gaspar) - Histórico de revisão

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