Jhordan em 18h07min de 16 de junho de 2021

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			Antes de começar, duas curiosidades é que a necessidade de trabalhar com equações diferenciais com atrasos tem como um dos marcos iniciais ter sido enfatizado inicialmente por Lotka em modelos epidemiológicos de malária, e a história do desenvolvimento das equações diferenciais com atraso se mistura com das equações intetegro-diferenciais.

			Prosseguindo, definindo então <math display="inline">x\left(t\right)</math> como uma variável <math display="inline">n-dimensional</math> que descreve o comportamento de um processo no intervalo <math display="inline">\left[t_{0}-\tau_{max},t_{1}\right]</math>, para definir uma equação diferencial funcional (''functional differential equation'' - FDE) precisamos definir:

			*<math display="inline">T_{1}\left(t\right)</math> e <math display="inline">T_{2}\left(t\right)</math> são conjuntos de números reais dependentes do tempo definido para todo <math display="inline">t\in\left[t_{0},t_{1}\right]</math>;
			*<math display="inline">x</math> é uma função contínua em <math display="inline">\left[t_{0},t_{1}\right]</math>;
			** <math display="inline">\dot{x}\left(t\right)</math> é a derivada de <math display="inline">x</math>.
			* Para cada <math display="inline">t\in\left[t_{0},t_{1}\right]</math>, tem-se <math display="inline">x_{t}\left(s\right)=x\left(t+s\right)</math> onde <math display="inline">s\in T_{1}\left(t\right)</math>;
			**Da mesma forma <math display="inline">\dot{x}_{t}\left(s\right)=\dot{x}\left(t+s\right)</math> onde <math display="inline">s\in T_{2}\left(t\right)</math>.

			Ou seja, para cada instante <math display="inline">t</math>, temos uma função <math display="inline">x_{t}\left(s\right)</math> que é a função <math display="inline">x</math> no instante <math display="inline">t</math> deslocada no tempo por uma quantidade <math display="inline">s</math>, onde <math display="inline">s</math> é retirado do conjunto <math display="inline">T_{1}\left(t\right)</math> no instante <math display="inline">t</math>. Um ponto importante é que <math display="inline">x\left(t\right),T_{1}\left(t\right)</math> e <math display="inline">T_{2}\left(T\right)</math> são <math>n-dimensionais</math>, então podem representar um sistema de equações. Podemos dizer que <math display="inline">x</math> satisfaz uma FDE se para quase todo <math display="inline">t\in\left[t_{0},t_{1}\right]</math>a seguinte igualdade é válida:

			<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=f\left(t,x_{t},\dot{x}_{t},u\left(t\right)\right)</math>
			[[Ficheiro:RFDE.png\|miniaturadaimagem\|Classificação das FDE e RFDE de acordo com Gerhard Manfred Schoen (1995).]]
			Onde <math display="inline">u\left(t\right)</math> é chamado muitas vezes de entrada na teoria de controle e é dado para todo o intervalo de tempo necessário. Essa equação contém três tipos de equações diferenciais:

			*'''Equação diferencial funcional com retardo''' (''retarded functional differential equations'' - RFDE)''':''' Se <math display="inline">T_{1}\left(t\right)\subset\left(-\infty,0\right]</math> e <math display="inline">T_{2}\left(t\right)=\oslash</math>. Isto é, a condição para <math display="inline">T_{2}</math> implica que não depende da derivada de <math display="inline">x_{t}</math> e a primeira condição implica que o deslocamento representa sempre um atraso. Denotando <math display="inline">T\subset\left[0,\infty\right)</math>, então <math display="inline">x_{t}\left(s\right)=x\left(t-s\right)</math> onde <math display="inline">s\geq0</math>.

			<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=f\left(t,x_{t},u\left(t\right)\right)</math>

			Ou seja, em outras palavras, a taxa da variação do estado de uma RFDE é determinado pela entrada <math display="inline">u\left(t\right)</math>, bem como os estados atuais e passados do sistema.. Em teoria do controle é chamado de sistema com atraso no tempo.

			*'''Equação diferencial funcional neutral ('''''neutral functional differential equations'' - NFDE''')''': Se a taxa de variação do sistema depende dos seus valores passados, incluindo a derivada, isto é <math display="inline">T_{1}\left(t\right)\subset\left(-\infty,0\right]</math> e <math display="inline">T_{2}\left(t\right)\subset\left(-\infty,0\right]</math>. Um exemplo de sistema escalar linear seria:

			<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=\dot{x}\left(t-1\right)+x\left(t\right)+u\left(t\right)</math>

			*'''Equação diferencioal funcional avançada ('''''Advanced functional differential equations'' - AFDE''')''': parecido com RFDE, mas ao invés do atraso, temos um avanço, isto é <math display="inline">T_{1}\left(t\right)\subset\left[0,\infty\right)</math> e <math display="inline">T_{2}\left(t\right)=\oslash</math>. Neste caso a taxa de variação do sistema depende dos seus atuais e futuros valores, além da entrada <math display="inline">u\left(t\right)</math>.

			Uma observação é que RFDE se converte em AFDE para <math display="inline">t<0</math> e vice-versa. O foco nos próximos tópicos será em RFDE. Se o conjunto <math display="inline">T_{1}\left(t\right)</math> é finito para cada <math display="inline">t\in\left[t_{0},t_{1}\right]</math>, então é chamado de FDE com atrasos discretos. Se <math display="inline">T_{1}\left(t\right)</math> é contínuo, então os atrasos são distribuídos. No caso de atrasos discretos, ainda podemos separar em sistemas em que os atrasos são relacionados por inteiros, chamando-os de atrasos comensuráveis. Como por exemplo:

			<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum_{i=1}^{k}A_{i}x\left(t-ih\right)</math>

			E quando não estão relacionados é chamado de incomensuráveis.

			====== Principais materiais utilizados: ======

			* [https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/142209/eth-39927-02.pdf Stability and stabilization of time-delay systems] (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)


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Introdução à equações diferenciais com atraso - Histórico de revisão

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