Histogramas e Densidade de Probabilidade - Histórico de revisão

Leon em 15h48min de 16 de maio de 2013

2013-05-16T15:48:15Z

← Edição anterior		Edição das 12h48min de 16 de maio de 2013
Linha 20:		Linha 20:
	2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos		2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
	anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note		anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
	que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:		que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes (prove!):
	<math>\sigma^2=\frac{1}{M}\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\frac{1}{M}\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>		<math>\sigma^2=\frac{1}{M}\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\frac{1}{M}\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

Leon em 15h47min de 16 de maio de 2013

2013-05-16T15:47:36Z

← Edição anterior		Edição das 12h47min de 16 de maio de 2013
Linha 21:		Linha 21:
	anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note		anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
	que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:		que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:
	<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>		<math>\sigma^2=\frac{1}{M}\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\frac{1}{M}\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

Leon em 15h46min de 16 de maio de 2013

2013-05-16T15:46:27Z

← Edição anterior		Edição das 12h46min de 16 de maio de 2013
Linha 19:		Linha 19:

	2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos		2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
	anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>.		anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
			que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:
	~~3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados~~. Note
	que pode~~-se~~ calcular esses valores de duas formas equivalentes:
	<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>		<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

Leon em 13h09min de 16 de maio de 2013

2013-05-16T13:09:28Z

← Edição anterior		Edição das 10h09min de 16 de maio de 2013
Linha 23:		Linha 23:
	3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note		3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note
	que pode-se calcular esses valores de duas formas equivalentes:		que pode-se calcular esses valores de duas formas equivalentes:
	<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-\bar h^2</math>		<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

Leon em 13h08min de 16 de maio de 2013

2013-05-16T13:08:08Z

← Edição anterior		Edição das 10h08min de 16 de maio de 2013
Linha 22:		Linha 22:

	3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note		3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note
	que pode-se calcular esses valores de duas formas:		que pode-se calcular esses valores de duas formas equivalentes:
	\bar		<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-\bar h^2</math>

Tekkito: Criou página com 'Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular nas simulações da área de Mecânica Estatística onde são usados para imitar o efeito da temperatu...'

2011-09-19T17:40:31Z

Criou página com 'Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular nas simulações da área de Mecânica Estatística onde são usados para imitar o efeito da temperatu...'

Página nova

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>.

3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note
que pode-se calcular esses valores de duas formas:
\bar

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.