Grupo5 - Eq. Schroedinger - Histórico de revisão

Alvaroe: /* Método numérico */

2018-01-17T15:52:27Z

Método numérico

← Edição anterior		Edição das 12h52min de 17 de janeiro de 2018
Linha 20:		Linha 20:
	<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math> (implícita)		<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math> (implícita)

	No método implícito as diferenças são tomadas no tempo <math> n+1 </math> ao invés de tomá-las no tempo <math> n </math>, como no método explícito.		No método implícito as diferenças são tomadas no tempo <math> n+1 </math> ao invés de tomá-las no tempo <math> n </math> como no método explícito.

	<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j+1} - 2\Psi^{n+1}_{j} + \Psi^{n+1}_{j-1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>		<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j+1} - 2\Psi^{n+1}_{j} + \Psi^{n+1}_{j-1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>

Alvaroe: /* Método numérico */

2018-01-17T15:45:02Z

Método numérico

← Edição anterior		Edição das 12h45min de 17 de janeiro de 2018
Linha 28:		Linha 28:
	<math>\Psi^{n}_{j} = - \lambda\Psi^{n+1}_{j+1} + (1 + 2 \lambda)\Psi^{n+1}_{j} - \lambda\Psi^{n+1}_{j-1}</math>		<math>\Psi^{n}_{j} = - \lambda\Psi^{n+1}_{j+1} + (1 + 2 \lambda)\Psi^{n+1}_{j} - \lambda\Psi^{n+1}_{j-1}</math>

	Considerando <math>0 \leq n \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.		Considerando <math>0 \leq j \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.

			Para obter os valores no dado tempo <math> n+1 </math> se resolve o conjunto de equações simultaneamente dado pela equação acima que pode ser escrita na forma matricial,

			:<math>
			\begin{pmatrix}
			-\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda
			\end{pmatrix}
			\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_1^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n+1}\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_1^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n} \end{pmatrix}
			</math>

	Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.		Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

Alvaroe: /* Método numérico */

2018-01-17T15:24:36Z

Método numérico

← Edição anterior		Edição das 12h24min de 17 de janeiro de 2018
Linha 29:		Linha 29:

	Considerando <math>0 \leq n \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.		Considerando <math>0 \leq n \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.




	Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.		Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

Alvaroe: /* Método numérico */

2018-01-16T19:54:20Z

Método numérico

← Edição anterior		Edição das 16h54min de 16 de janeiro de 2018
Linha 35:		Linha 35:
	Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.		Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

	O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:		O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Essa combinação dá a estabilidade do método implícito e a precisão do método explícito, apesar de causar oscilações numéricas (podendo ser contornadas usando passos de tempo menores). Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

	<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{} \Psi^{n}_{j} + a^\Psi^{n}_{j+1},</math>		<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{} \Psi^{n}_{j} + a^\Psi^{n}_{j+1},</math>

Alvaroe: /* Método numérico */

2018-01-16T19:48:23Z

Método numérico

← Edição anterior		Edição das 16h48min de 16 de janeiro de 2018
Linha 19:		Linha 19:

	<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math> (implícita)		<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math> (implícita)

			No método implícito as diferenças são tomadas no tempo <math> n+1 </math> ao invés de tomá-las no tempo <math> n </math>, como no método explícito.

			<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j+1} - 2\Psi^{n+1}_{j} + \Psi^{n+1}_{j-1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>

			fazendo <math>\lambda = \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}</math>, temos:

			<math>\Psi^{n}_{j} = - \lambda\Psi^{n+1}_{j+1} + (1 + 2 \lambda)\Psi^{n+1}_{j} - \lambda\Psi^{n+1}_{j-1}</math>

			Considerando <math>0 \leq n \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.




	Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.		Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

Detemisseru123: /* Aplicações */

2017-12-27T14:08:02Z

Aplicações

← Edição anterior		Edição das 11h08min de 27 de dezembro de 2017
Linha 162:		Linha 162:
	===Linearidade da função de onda===		===Linearidade da função de onda===

	[[Arquivo:~~gaussian_linearity~~.gif]]		[[Arquivo:gaussian_sho.gif]]


	===Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico===		===Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico===

	[[Arquivo:~~gaussian_sho~~.gif]]
			[[Arquivo:gaussian_linearity.gif]]


	===Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial===		===Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial===

Detemisseru123: /* Aplicações */

2017-12-27T14:02:39Z

Aplicações

← Edição anterior		Edição das 11h02min de 27 de dezembro de 2017
Linha 159:		Linha 159:

	==Aplicações==		==Aplicações==
	~~===Partícula livre===~~

	~~Colocando o potencial como 0 e definindo as fronteiras~~ de ~~maneira periódica, obtém-se~~		===Linearidade da função de onda===

	[[Arquivo:~~free_particle_Re~~.gif]]		[[Arquivo:gaussian_linearity.gif]]

	~~[[Arquivo:free_particle_Im.gif]]~~		===Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico===

	[[Arquivo:~~free_particle_norm2~~.gif]]		[[Arquivo:gaussian_sho.gif]]

	===~~Poço infinito~~===		===Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial===

	[[Arquivo: ~~Infinite box V Re~~.gif]]		[[Arquivo:gaussian_barrier.gif]]

	~~[[Arquivo:box_Im.gif]]~~

	~~[[Arquivo:box_norm2.gif]]~~

	~~===Oscilador harmônico unidimensional===~~

	==Referências==		==Referências==

Detemisseru123: /* Poço infinito */

2017-11-20T16:43:34Z

Poço infinito

← Edição anterior		Edição das 13h43min de 20 de novembro de 2017
Linha 171:		Linha 171:
	===Poço infinito===		===Poço infinito===

			[[Arquivo: Infinite box V Re.gif]]

			[[Arquivo:box_Im.gif]]

			[[Arquivo:box_norm2.gif]]

	===Oscilador harmônico unidimensional===		===Oscilador harmônico unidimensional===

Detemisseru123: /* Partícula livre */

2017-11-20T16:40:54Z

Partícula livre

← Edição anterior		Edição das 13h40min de 20 de novembro de 2017
Linha 160:		Linha 160:
	==Aplicações==		==Aplicações==
	===Partícula livre===		===Partícula livre===
	~~Colocando o potencial como 0 e definindo as fronteiras como limitadas, obtém-se~~

			Colocando o potencial como 0 e definindo as fronteiras de maneira periódica, obtém-se

			[[Arquivo:free_particle_Re.gif]]

	[~~GIF da particula livre com condições de contorno limitadas~~]		[[Arquivo:free_particle_Im.gif]]

	~~Colocando o potencial como 0 e definindo as fronteiras de maneira periódica, obtém-se~~

	[~~GIF da particula livre com condições de contorno periódicas~~]		[[Arquivo:free_particle_norm2.gif]]

	===Poço infinito===		===Poço infinito===

Viniciussgarcia: /* Condição de contorno limitada */

2017-11-12T20:08:44Z

Condição de contorno limitada

← Edição anterior		Edição das 17h08min de 12 de novembro de 2017
Linha 68:		Linha 68:
	==Implementação em C==		==Implementação em C==

	~~===Condição de contorno limitada===~~


Linha 74:		Linha 74:

	<source lang="c">		<source lang="c">
	~~void CN(double~~ complex u, double ~~complex u_aux, double complex *u_next, double complex a~~)		#include <stdio.h>
			#include <math.h>
			#include <complex.h>

			#define N_steps 100000
			#define L 1000
			#define dt 1
			#define dx 4.0
			#define w 0.002

			double V(int x_rel)
	{		{
	//~~Nomeia-se E a matriz da equação matricial que multiplica o estado evoluído no tempo~~.		return - pow(w,2) * pow(x_rel - 500,2) / 2.0; //SHO
	//~~Tem~~-~~se L~~, ~~dx e dt definidos~~
			//return 0;
			}

			double complex b(int i)
			{
			return 0.5 * dt * I * (1.0 / pow(dx,2.0) + V(i)) + 1.0;
			}

			double u_0(int x_rel)
			{
			//return sqrt(2 / L) * sin(5x_rel M_PI / L); //eigenstate of infinite square well

			//return (1.0/ sqrt(5 * M_PI)) * exp(I * 0.5 * x_rel) * exp(-pow(x_rel - 500, 2) / (2 * 25)); //gaussian packet

	//u -- ~~vetor de estado atual~~		return (w / M_PI) * exp(-w * pow(x_rel - 500, 2) / 2.0);
	//~~u_aux -- conj(E~~) * u		}
	~~//u_next -- o novo estado~~

	//~~Esta função resolve resolve E * u_next~~ = ~~conj~~(E) * u		void CN(double complex u, double complex u_aux, double complex *u_next, double complex a, int bi)
			{
			//bi = 1 (bounded); bi = 0 (periodic)

	int i;		int i;

	~~//atualização do vetor~~ u_aux		for(i = bi; i <= L - bi; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[(i-1+L)%L] + u[(i+1+L)%L]) + conj(b(i)) * u[i];

	~~for(i = 1; i < L; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[i-1+] + u[i+1]) + conj(b(i)) * u[i];~~		//thomas algorithm

	//~~para resolver E * u_next = u_aux, utiliza-se do Método de Thomas:~~

	double complex c_new[L+1], d_new[L+1];		double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

	c_new[1] = a / b(1);		c_new[bi] = a / b(bi);
	for(i = 2; i < L; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);		for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	d_new[1] = u_aux[1] / b(1);		d_new[bi] = u_aux[bi] / b(bi);
	for(i = 2; i < L; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);		for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	u_next[0] = u_next[L] = 0;		if (bi == 1) u_next[0] = u_next[L] = 0;
	u_next[L-1] = d_new[L-1];		u_next[L-bi] = d_new[L-bi];
	for(i = L-2; i > 0; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];		for(i = L-1-bi; i >= bi; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];

	//~~atualiza-se o valor do estado:~~ u = u_next		//u = u_next

	for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];		for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
	}		}

			int main(void)
			{
			int i, j, n = 0;

			double complex u[L+1], u_next[L+1], u_aux[L+1], a = - 0.25 * I * dt / pow(dx,2.0);

			//Initial Contition
			for(i = 0; i <= L; i ++) u[i] = u_0(i);

			while(n < N_steps)
			{
			CN(u, u_aux, u_next, a, 0);
			printf("set title 'Time = %d'\nplot \'-' w lp pt 7 ps 0.1", n);
			for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%.10lf\n",i,pow(creal(u[i]),2) + pow(cimag(u[i]),2));
			//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,cimag(u[i]));
			//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,creal(u[i]));
			printf("e\npause 0.1\n");
			n ++;
			}

			return 0;

			}

	</source><br />		</source><br />